基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程微分方程与定解条件（初始条件或其它条件）联立就得到一个定解问题但在实际问题中，微分方程的建立，都是在抓住问题的本质忽略了一些次要因素后得到的数学模型，可以说是实际问题的理想化或简化所得到的解也仅是对问题的一种近似描述，通常考虑定解问题需要确定以下三个问题（1）定解问题是否至少存在一个解，即存在性（2）定解问题是否至多只有一个解，即唯一性：（3）解是否连续依赖于所给初始条件和参数，即连续依赖性求微分方程的解，是一个相当困难和复杂的问题，但从上面的一些具体例子看出，求解的过程就是一个积分的过程，所以当微分方程的通积分（或通解）能够用初等函数及初等函数的不定积分来表示，则称方程为可积微分方程，而导出这种解的方法称为初等积分法返回全屏关闭退出6/22
Ä Vg ©lCþ{ àg§ zàg§ 5§ ©§½)^ (Щ^½Ù§^) éáÒ½)¯K. 3¢S¯K¥, ©§ïá, Ñ´384¯K Ñ g ÏêÆ ., ±`´¢S¯Knz½{z. ¤) =´é¯K«Cq£ã. Ï~Ľ)¯KI(½±en¯K: (1) ½)¯K´Ä3), =35; (2) ½)¯K´Äõk), =5; (3) )´ÄëY6u¤Ð©^Úëê, =ëY65. ¦©§), ´(JÚE,¯K. lþ¡ äN ~fwÑ, ¦)L§Ò´È©L§. ¤±©§ÏÈ© (½Ï )) U ^Ð ¼ê9Ð ¼êؽȩ5L«, K¡§È© §, Ñù«){¡Ð È©{. 6/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
基本概念分离变量法齐次方程可化齐次方程一阶线性方程86.2一阶微分方程分离变量法6.2.1我们考虑形如dy=f(a,y)(6.1)da的一阶方程，即便是这样简单的方程，求解也是一个困难的事情，当方程具有某种特殊类型时，则易于用初等积分法解决若 f(a,y)= g(α)h(y),这里 g,h分别是α和 y的连续函数,且 h(y)不恒为零，则方程为dy(6.2)= g(α)h(y).dr这可（分离变量）化为dy(6.3)g(c)dc.h(y)返回全屏关闭退出?7/22
Ä Vg ©lCþ{ àg§ zàg§ 5§ §6.2 ©§ 6.2.1 ©lCþ{ ·Ä/X dy dx = f(x, y) (6.1) §. =B´ù{ü§, ¦)´(J¯. §äk ,«AÏa., K´u^Ð È©{)û. e f(x, y) = g(x)h(y), ùp g, h ©O´ x Ú y ëY¼ê, h(y) Ø ð". K§ dy dx = g(x)h(y). (6.2) ù (©lCþ) z dy h(y) = g(x)dx. (6.3) 7/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
基本概念齐次方程分离变量法可化齐次方程一阶线性方程我们注意，根据一阶微分形式的不变性，若u为自变量时有dy= H(y) + C,h(y)则当y是的可微函数时，等式仍然成立：所以，在（6.3）式两边分别求关于y和α的不定积分，得出H(y) :(6.4)g(α) da = G(α) + C,其中G(α)是g(α)的一个原函数,C是任意常数.这就是方程(6.2)的通积分注意,对 h(y)的任一零点：h(a)= 0,常值函数 y= a显然是方程(6.2)的解.这些解，往往在分离变量（即（6.2）化为（6.3)）时丢失，且有时不能包含在通积分（6.4）中，故应将这样的解补上我们看到,方程（6.2)中，可将其中a的函数与dc置于等式一边，而将y的函数与dy置于等式的另一边，从而两边可各自求不定积分，这样的方程称为可分离变量的方程，这一解法也称为分离变量法返回全屏关闭退出8/22
Ä Vg ©lCþ{ àg§ zàg§ 5§ ·5¿, â ©/ªØC5, e y gCþk Z dy h(y) = H(y) + C, K y ´ x ¼ê, ªE,¤á. ¤±, 3 (6.3) ªü>©O¦'u y Ú x ؽȩ, Ñ H(y) = Z g(x) dx = G(x) + C, (6.4) Ù¥ G(x) ´ g(x) ¼ê, C ´?¿~ê. ùÒ´§ (6.2) ÏÈ©. 5¿, é h(y) ?":: h(a) = 0, ~¼ê y = a w,´§ (6.2) ). ù ), 3©lCþ (= (6.2) z (6.3)) ¿, kØU¹ 3ÏÈ© (6.4) ¥, Aòù)Öþ. ·w, § (6.2) ¥, òÙ¥ x ¼ê dx u ª>, ò y ¼ê dy u ª,>, l ü>g¦Ø½È©. ù§ ¡©lCþ§, ù){¡©lCþ{. 8/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ