第9卷第1期 智能系统学报 Vol.9 No.1 2014年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feb.2014 D0:10.3969/j.issn.1673-4785.201305003 网s络出版地址：http:/www.cmki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1673-4785.201305003.html 频率型联系概率与随机事件转化定理 赵森烽1，赵克勤23 (1.浙江工业大学之江学院理学系，浙江杭州310024：2.诸暨市联系数学研究所，浙江诸暨311811：3.浙江大学非 传统安全与和平发展研究中心，浙江杭州310058) 摘要：为进一步研究联系概率与概率的关系，借助一种新的“掷硬币”和“掷骰子”随机试验，导出频率型概率的联 系概率。在此基础上给出随机事件的“转化定理”与“大概率原理”，并讨论其与“小概率原理”的关系。以“掷骰子” 为例给出同异反联系概率和多元联系概率的定义，说明频率型联系概率与古典概型、几何概型的联系概率具有同样 的数学形式和性质，实例表明联系概率客观地反映了随机试验结果。 关键词：随机试验；频率型概率：联系概率；转化定理；小概率原理；大概率原理：同异反概率：多元联系概率 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2014)01-0053-07 中文引用格式：赵森烽，赵克勤.频率型联系概率与随机事件转化定理[J].智能系统学报，2014,9(1)：53-59 英文引用格式：ZHAO Senfeng,ZHAO Keqin.Frequency-type contact probability and random events transformation theorem[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems,2014,9(1):53-59. Frequency-type contact probability and random events transformation theorem ZHAO Senfeng',ZHAO Keqin23 (1.Department of Science,Zhijiang College,Zhejiang University of Technology,Hangzhou 310024,China;2.Zhuji Institute of Con- nection Mathematics,Zhuji 311811,China;3.Center for Non-traditional Security and Peaceful Development Studies,Zhejiang Uni- versity,Hangzhou 310058,China) Abstract:In order to further research the relation between contact probability and probability,with the aid of a new random test of"tossing a coin"and "rolling the dice",the frequency-type contact probability is derived,and on this basis,the transformation theorem of random events and the "big probability principle"are proposed and its re- lation with the"small probability principle"is discussed.Taking the game of"rolling the dice"as an example,the definitions of the same-indefinite-contrary connection probability and the multiple contact probability are given, showing that the frequency type contact probability has the same mathematical form and nature with the classical type and geometrical type contact probability.The examples show the contact probability reflects the result of the random test objectively. Keywords:random test;frequency type probability:contact probability;transformation theorem;small probability principle;big probability principle;same-indefinite-contrary connection probability;multiple contact probability 基于集对分析不确定性系统理论和方法] 模型。文献[6]给出了几何概型的联系概率计算、 赵森烽与赵克勤在文献[4]中借助“白球加黑球”古 随机事件的表现定理以及联系概率意义下的概率补 典概型随机试验说明事物的随机性来自事物与事物 数定理。由于这些概念与经典概率论中的相关概念 的联系以及随机事件成对存在，并且给出了随机事 在内涵上有重要区别，因此为了从形式上表明这种 件成对存在定理和联系概率的定义。文献[5]把联 区别和应用上的方便，沿用经典概率论中的习惯记 系概率应用于风险决策，得到了一种新的风险决策 法，文献[6]把由赵森烽与赵克勤在文献[4]中提出 的“联系概率”称为“赵森烽-克勤概率”，把随机事 收稿日期：2013-05-03.网络出版日期：2014-02-20. 件成对存在定理称为“赵森烽-克勤存在定理”，把 基金项目：国家社会科学基金重点资助项目(08ASHO06):教育部哲 学社会科学研究重大课题攻关项目(08ZD0021-D). 随机事件表现定理称为“赵森烽-克勤表现定理”， 通信作者：赵克勤.E-mail:zizhaok@sohu.com 把联系概率意义下的概率补数定理称为“赵森烽-
第 ９ 卷第 １ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．９ №．１ ２０１４ 年 ２ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｆｅｂ． ２０１４ ＤＯＩ：１０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１３０５００３ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｏｉ ／ １０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１３０５００３．ｈｔｍｌ 频率型联系概率与随机事件转化定理 赵森烽１ ，赵克勤２，３ （１．浙江工业大学之江学院 理学系，浙江 杭州 ３１００２４； ２．诸暨市联系数学研究所，浙江 诸暨 ３１１８１１； ３．浙江大学 非 传统安全与和平发展研究中心，浙江 杭州 ３１００５８） 摘 要：为进一步研究联系概率与概率的关系，借助一种新的“掷硬币”和“掷骰子”随机试验，导出频率型概率的联 系概率。 在此基础上给出随机事件的“转化定理”与“大概率原理”，并讨论其与“小概率原理”的关系。 以“掷骰子” 为例给出同异反联系概率和多元联系概率的定义，说明频率型联系概率与古典概型、几何概型的联系概率具有同样 的数学形式和性质，实例表明联系概率客观地反映了随机试验结果。 关键词：随机试验；频率型概率；联系概率；转化定理；小概率原理；大概率原理；同异反概率；多元联系概率 中图分类号：ＴＰ１８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１４）０１⁃００５３⁃０７ 中文引用格式：赵森烽，赵克勤．频率型联系概率与随机事件转化定理［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（１）： ５３⁃５９． 英文引用格式：ＺＨＡＯ Ｓｅｎｆｅｎｇ， ＺＨＡＯ Ｋｅｑｉｎ． Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ⁃ｔｙｐｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｒａｎｄｏｍ ｅｖｅｎｔｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９（１）： ５３⁃５９． Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ⁃ｔｙｐｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｒａｎｄｏｍ ｅｖｅｎｔｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ＺＨＡＯ Ｓｅｎｆｅｎｇ １ ， ＺＨＡＯ Ｋｅｑｉｎ ２，３ （１． Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｚｈｉｊｉａｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００２４， Ｃｈｉｎａ； ２． Ｚｈｕｊｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｏｎ⁃ ｎｅｃｔｉｏｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， Ｚｈｕｊｉ ３１１８１１， Ｃｈｉｎａ； ３． Ｃｅｎｔｅｒ ｆｏｒ Ｎｏｎ－ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ Ｓｅｃｕｒｉｔｙ ａｎｄ Ｐｅａｃｅｆｕｌ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｓｔｕｄｉｅｓ， Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉ⁃ ｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００５８， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ａ ｎｅｗ ｒａｎｄｏｍ ｔｅｓｔ ｏｆ “ｔｏｓｓｉｎｇ ａ ｃｏｉｎ” ａｎｄ “ｒｏｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｃｅ”， ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ⁃ｔｙｐｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ， ａｎｄ ｏｎ ｔｈｉｓ ｂａｓｉｓ， ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｒａｎｄｏｍ ｅｖｅｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ “ｂｉｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ” ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅ⁃ ｌａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ “ｓｍａｌｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ” ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｇａｍｅ ｏｆ “ｒｏｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｃｅ” ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ⁃ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ⁃ｃｏｎｔｒａｒｙ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ， ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｆｏｒｍ ａｎｄ ｎａｔｕｒｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｙｐｅ ａｎｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｔｙｐｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ． Ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｔｅｓｔ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒａｎｄｏｍ ｔｅｓｔ； ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｔｙｐｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ； ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ； ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ； ｓｍａｌｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ； ｂｉｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ； ｓａｍｅ⁃ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ⁃ｃｏｎｔｒａｒｙ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ； ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ 收稿日期：２０１３⁃０５⁃０３． 网络出版日期：２０１４⁃０２⁃２０． 基金项目：国家社会科学基金重点资助项目（ ０８ＡＳＨ００６）；教育部哲 学社会科学研究重大课题攻关项目（０８ＪＺＤ００２１⁃Ｄ）． 通信作者：赵克勤． Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｚｊｚｈａｏｋ＠ ｓｏｈｕ．ｃｏｍ． 基于集对分析不确定性系统理论和方法［１⁃３］ ， 赵森烽与赵克勤在文献［４］中借助“白球加黑球”古 典概型随机试验说明事物的随机性来自事物与事物 的联系以及随机事件成对存在，并且给出了随机事 件成对存在定理和联系概率的定义。 文献［５］把联 系概率应用于风险决策，得到了一种新的风险决策 模型。 文献［６］给出了几何概型的联系概率计算、 随机事件的表现定理以及联系概率意义下的概率补 数定理。 由于这些概念与经典概率论中的相关概念 在内涵上有重要区别，因此为了从形式上表明这种 区别和应用上的方便，沿用经典概率论中的习惯记 法，文献［６］把由赵森烽与赵克勤在文献［４］中提出 的“联系概率”称为“赵森烽－克勤概率”，把随机事 件成对存在定理称为“赵森烽－克勤存在定理”，把 随机事件表现定理称为“赵森烽－克勤表现定理”， 把联系概率意义下的概率补数定理称为“赵森烽－
·54 智能系统学报 第9卷 克勤补数定理”。 随机性可言：接下来，把这枚硬币变成同时有“正 从概率论的历史看，以频率稳定值作为概率的 面”和“反面”的硬币，这时的事件A因具有随机性 理论值是概率的一个重要来源]，与此相对应的随 而成为一个随机事件。 机试验称为频率型随机试验，“掷硬币”和“掷骰子” 由上面的试验看出：使事件A具有随机性而成 是2种典型的频率型随机试验。人们会问：对于 为一个随机事件的客观原因是所掷的硬币同时存在 “掷硬币”和“掷骰子”这类随机试验，是否也能说明 事物的随机性来自事物与事物的联系？是否也可以 “正面”和“反面”（先掷两面都是“反面”的硬币，再 导出“赵森烽-克勤概率”？本文对此作出回答，并 把这枚硬币变成有“正面”和“反面”的硬币也能得 给出随机事件的“转化定理”和“大概率原理”，探讨 出同样的结论)。也就是说，硬币“正面”和硬币“反 它们与“小概率原理”的关系：借助“掷骰子”试验导 面”的客观存在，才使得掷一枚硬币的结果A(或事 出同异反联系概率（同异反赵森烽-克勤概率）和多 件不为“硬币反面朝上”)成为一个随机事件。进而 元联系概率（多元赵森烽-克勤概率）的定义，据此 言之，对于一个同时存在“正面”和“反面”的硬币来 说明基于频率的联系概率（赵森烽-克勤概率）与古 说，随机事件A与随机事件石成对存在，符合文献 典概型、几何概型的联系概率（赵森烽-克勤概率） [4]中给出的“赵森烽-克勤存在定理”，并在此基础 具有同样的形式和性质，可统称为“赵森烽-克勤 上再作随机表现。 概率”。 1.3经典的掷骰子试验 12种不同的频率型随机试验 掷骰子试验是另一种典型的频率型随机试验。 1.1经典的掷硬币试验 通常在随机试验中用的骰子，是一个有上、下、左、 掷硬币试验是一种典型的频率型随机试验。历 右、前、后6个面的均质正立方体，每个面上依次刻 史上有不少学者做过掷硬币的随机试验（如表1）。 有“1、2、3、4、5、6”6个数，任意抛掷一次，结果是随 表1历史上的抛掷硬币试验 机地有一个面朝上，当抛掷次数足够多时，每个面朝 Table 1 The throw coin test on the history 上的频率将稳定地在1/6左右摆动，这个1/6就称 实验者 投掷次数 正面朝上的次数 频率 为掷骰子出现某个点数的频率型概率，也简称概率。 德摩根 2048 1061 0.5181 1.4掷骰子的赵森烽-克勤试验 布丰 4040 2048 0.5069 不难想见，可以用类似于1.2节中说的方法做 一种新的掷骰子试验：先考虑一种6个面都是刻着 费勒 10000 4979 0.4979 相同数字（例如“2”）的骰子，这时，任意抛掷这个骰 皮尔逊 24000 12012 0.5005 子，事件A为“2朝上”是一个必然事件，无随机性可 罗曼诺夫斯基 80640 40173 0.4982 言：接下来，把这个骰子的6个面依次刻上“1、2、3 学者们根据试验结果得出结论：随着投掷硬币 4、5、6”,则事件A为“2朝上”就变为一个随机事件， 次数增多，硬币正面朝上的频率稳定地在0.5左右 说明事件A的随机性是不同事物（刻有“1、2、3、4、 摆动，这个0.5可以作为事件A(“硬币正面朝上”) 5、6”不同数字的面)相互关系的一个属性，随机事 的概率，本文把这种依据频率稳定性得到的概率称 件A为“2朝上”与不为“除2以外的数朝上”成对存 为频率型概率。 在，符合“赵森烽-克勒存在定理”，在此基础上再作 概率论历史上的掷硬币试验和根据试验得出的 随机表现。 结论，以及与之相对应的频率型概率的形成，应该说 需说明的是：为从形式上明确与经典的掷硬币 无可非议。 随机试验与掷骰子随机试验相区别，这里称新给出 1.2掷硬币的赵森烽-克勤试验 的掷硬币与掷骰子随机试验为“赵森烽-克勤掷硬 现在观察一种新的掷硬币随机试验：与传统掷 币与掷骰子随机试验”，并统一简称为“赵森烽-克 硬币随机试验所不同的是，先掷一种两面都是“正 勤随机试验”。连同文献[4]给出的新的“随机摸球 面”的硬币，且不计硬币的厚度，并记A为“硬币正 试验”和文献[6]给出的新的“随机投针试验”，统称 面朝上”：显然，这时的事件A是一个必然事件，无 其为“赵森烽-克勤系列随机试验
克勤补数定理”。 从概率论的历史看，以频率稳定值作为概率的 理论值是概率的一个重要来源［７］ ，与此相对应的随 机试验称为频率型随机试验，“掷硬币”和“掷骰子” 是 ２ 种典型的频率型随机试验［８］ 。 人们会问：对于 “掷硬币”和“掷骰子”这类随机试验，是否也能说明 事物的随机性来自事物与事物的联系？ 是否也可以 导出“赵森烽－克勤概率”？ 本文对此作出回答，并 给出随机事件的“转化定理”和“大概率原理”，探讨 它们与“小概率原理”的关系；借助“掷骰子”试验导 出同异反联系概率（同异反赵森烽－克勤概率）和多 元联系概率（多元赵森烽－克勤概率）的定义，据此 说明基于频率的联系概率（赵森烽－克勤概率）与古 典概型、几何概型的联系概率（赵森烽－克勤概率） 具有同样的形式和性质，可统称为“赵森烽－克勤 概率”。 １ ２ 种不同的频率型随机试验 １．１ 经典的掷硬币试验 掷硬币试验是一种典型的频率型随机试验。 历 史上有不少学者做过掷硬币的随机试验［９］ （如表 １）。 表 １ 历史上的抛掷硬币试验 Ｔａｂｌｅ １ Ｔｈｅ ｔｈｒｏｗ ｃｏｉｎ ｔｅｓｔ ｏｎ ｔｈｅ ｈｉｓｔｏｒｙ 实验者 投掷次数 正面朝上的次数 频率 德摩根 ２ ０４８ １ ０６１ ０．５１８ １ 布丰 ４ ０４０ ２ ０４８ ０．５０６ ９ 费勒 １０ ０００ ４ ９７９ ０．４９７ ９ 皮尔逊 ２４ ０００ １２ ０１２ ０．５００ ５ 罗曼诺夫斯基 ８０ ６４０ ４０ １７３ ０．４９８ ２ 学者们根据试验结果得出结论：随着投掷硬币 次数增多，硬币正面朝上的频率稳定地在 ０．５ 左右 摆动，这个 ０．５ 可以作为事件 Ａ （“硬币正面朝上”） 的概率，本文把这种依据频率稳定性得到的概率称 为频率型概率。 概率论历史上的掷硬币试验和根据试验得出的 结论，以及与之相对应的频率型概率的形成，应该说 无可非议。 １．２ 掷硬币的赵森烽－克勤试验 现在观察一种新的掷硬币随机试验：与传统掷 硬币随机试验所不同的是，先掷一种两面都是“正 面”的硬币，且不计硬币的厚度，并记 Ａ 为“硬币正 面朝上”；显然，这时的事件 Ａ 是一个必然事件，无 随机性可言；接下来，把这枚硬币变成同时有“正 面”和“反面”的硬币，这时的事件 Ａ 因具有随机性 而成为一个随机事件。 由上面的试验看出：使事件 Ａ 具有随机性而成 为一个随机事件的客观原因是所掷的硬币同时存在 “正面”和“反面”（先掷两面都是“反面”的硬币，再 把这枚硬币变成有“正面”和“反面”的硬币也能得 出同样的结论）。 也就是说，硬币“正面”和硬币“反 面”的客观存在，才使得掷一枚硬币的结果 Ａ （或事 件 Ａ 为“硬币反面朝上”）成为一个随机事件。 进而 言之，对于一个同时存在“正面”和“反面”的硬币来 说，随机事件 Ａ 与随机事件 Ａ 成对存在，符合文献 ［４］中给出的“赵森烽－克勤存在定理”，并在此基础 上再作随机表现。 １．３ 经典的掷骰子试验 掷骰子试验是另一种典型的频率型随机试验。 通常在随机试验中用的骰子，是一个有上、下、左、 右、前、后 ６ 个面的均质正立方体，每个面上依次刻 有“１、２、３、４、５、６”６ 个数，任意抛掷一次，结果是随 机地有一个面朝上，当抛掷次数足够多时，每个面朝 上的频率将稳定地在 １ ／ ６ 左右摆动，这个 １ ／ ６ 就称 为掷骰子出现某个点数的频率型概率，也简称概率。 １．４ 掷骰子的赵森烽－克勤试验 不难想见，可以用类似于 １．２ 节中说的方法做 一种新的掷骰子试验：先考虑一种 ６ 个面都是刻着 相同数字（例如“２”）的骰子，这时，任意抛掷这个骰 子，事件 Ａ 为“２ 朝上”是一个必然事件，无随机性可 言；接下来，把这个骰子的 ６ 个面依次刻上“１、２、３、 ４、５、６”，则事件 Ａ 为“２ 朝上”就变为一个随机事件， 说明事件 Ａ 的随机性是不同事物（刻有“１、２、３、４、 ５、６”不同数字的面）相互关系的一个属性，随机事 件 Ａ 为“２ 朝上”与 Ａ 为“除 ２ 以外的数朝上”成对存 在，符合“赵森烽－克勤存在定理”，在此基础上再作 随机表现。 需说明的是：为从形式上明确与经典的掷硬币 随机试验与掷骰子随机试验相区别，这里称新给出 的掷硬币与掷骰子随机试验为“赵森烽－克勤掷硬 币与掷骰子随机试验”，并统一简称为“赵森烽－克 勤随机试验”。 连同文献［４］给出的新的“随机摸球 试验”和文献［６］给出的新的“随机投针试验”，统称 其为“赵森烽－克勤系列随机试验”。 ·５４· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第1期 赵森烽，等：频率型联系概率与随机事件转化定理 ·55. 为以A为主事件，不为A的伴随事件的赵森烽-克勤 2 基于频率的赵森烽-克勤概率 概率，或记为 2.1频率型概率 P.(A)=p+gi,i∈[-1,1] (2) 1936年奥地利数学家冯·米西斯(R.Von Mi- 根据文献[6]给出的赵森烽-克勤补数定理，还 ss,1883一1953)最早给出频率型概率定义[)。现 可以给出基于频率的赵森烽-克勤概率的另一个定 有文献给出的频率型概率定义如下。 义如下。 定义1在相同的一组条件S下，重复做n次 定义3如果P(A)=P是事件A的一个频率型 试验，记n,为n次试验中事件A出现的频数，当试 概率，事件A与事件A是互不相容的对立事件，则有 验的次数n很大时，如果事件A出现的频率n,/n总 事件A的基于频率的赵森烽-克勤概率P(A): 是在某一数值p附近摆动，而且在通常情况下随着 P(A)=P(A)+(1-P(A))i,i∈[-1,1] 试验次数n的增大，这种摆动的幅度越来越小，则称 (3) 数值p为事件A的概率，记作P(A)=p。 或 P(A)=P(A)+P(A)i,i∈[-1,1](4) 基于频率的概率定义建立在试验和观察之上， 或P(A,A)=P(A)+P()i,i∈[-1,1](5) 克服了基本事件等可能要求的局限，具有重要的实 定义2与定义3从不同角度阐述了基于频率的 际意义。当一个事件的概率不便求得时，可以取n 赵森烽-克勤概率，因而等价。定义2较为严格地 较大时的频率作为这个事件概率的近似值。 叙述了基于频率的赵森烽-克勤概率的含义：定义3 2.2基于频率的赵森烽-克勤概率 的实际意义是，当事件A的频率型概率P(A)已知 2.2.1原理 时，可以直接根据P(A)写出事件A的赵森烽-克勤 第1节中给出的赵森烽-克勤随机试验以及文 概率。 献[4,6]中给出的赵森烽-克勤系列随机试验表明： 事实上，注意到定义2中P(A)=P,P(A)=q, 在随机试验E中，给定一个事件A,若存在伴随事 式(5)即成为式(2)。 件不，且A与不互不相容，则事件A与石各自为随机 从定义2和定义3还可以看出，基于事件A频 事件。因此，当需要定量描述A与不其中之一的随 率的赵森烽-克勤概率与基于古典概型和几何概型 机性时，必须同时定量描述事件A与伴随事件不的 的赵森烽-克勤概率具有相同的数学形式，且具有 随机性，并把描述结果组成一个相互联系的数学表 相同的性质（证明从略，可参见文献[4,6]）。 达式，以刻划它们之间的关系。 以上原理为基于频率的赵森烽-克勤概率原 3随机事件的转化定理 理，以下简称原理。 3.1随机事件的转化 2.2.2定义 定义4设在随机试验E中，事件A与事件不 根据上述原理和仿照定义1，给出基于频率的 客观存在，但表现为一对互不相容的对立事件，则称 赵森烽-克勤概率定义如下。 试验结果从A到第一次出现A(或从A到第一次出 定义2在相同的一组条件S下，重复做n次 现A)为随机事件的转化。 试验，记na为n次试验中事件A出现的频数，nx为 3.2转化定理 n次试验中事件不(A的伴随事件)出现的频数： “掷硬币”和“掷骰子”这类频率型随机试验的 n4+nx=n;当试验的次数n很大时，如果事件A出 一个特点是试验次数n可以足够多，甚至无穷。对 现的频率n4/n总是在某一数值p附近摆动，A出现 于这类次数可以足够多的随机试验，有以下定理。 的频率nr/n总是在某一数值q附近摆动，而且在 定理1（随机事件转化定理的准备定理）设事 通常情况下随着试验次数n的增大，这2种摆动的 件A与事件A在随机试验E中客观存在，但表现为 幅度越来越小，则称数值P为事件A的概率，记作 一对互不相容的对立事件，则在相同的一组条件S P(A)=pq为事件A的概率，记作P(A)=q,P+q= 下重复做n次试验，当试验次数n足够大时，必然出 1,称 现事件A和事件A。 P(A,0=p+qi,i∈[-1,1] (1) 证明由于在随机试验E中，事件A与事件不
２ 基于频率的赵森烽－克勤概率 ２．１ 频率型概率 １９３６ 年奥地利数学家冯·米西斯（Ｒ．Ｖｏｎ Ｍｉ⁃ ｓｅｓ，１８８３—１９５３）最早给出频率型概率定义［９］ 。 现 有文献给出的频率型概率定义如下。 定义 １ 在相同的一组条件 Ｓ 下，重复做 ｎ 次 试验，记 ｎＡ 为 ｎ 次试验中事件 Ａ 出现的频数，当试 验的次数 ｎ 很大时，如果事件 Ａ 出现的频率 ｎＡ ／ ｎ 总 是在某一数值 ｐ 附近摆动，而且在通常情况下随着 试验次数 ｎ 的增大，这种摆动的幅度越来越小，则称 数值 ｐ 为事件 Ａ 的概率，记作 Ｐ（Ａ） ＝ ｐ 。 基于频率的概率定义建立在试验和观察之上， 克服了基本事件等可能要求的局限，具有重要的实 际意义。 当一个事件的概率不便求得时，可以取 ｎ 较大时的频率作为这个事件概率的近似值。 ２．２ 基于频率的赵森烽－克勤概率 ２．２．１ 原理 第 １ 节中给出的赵森烽－克勤随机试验以及文 献［４，６］中给出的赵森烽－克勤系列随机试验表明： 在随机试验 Ｅ 中，给定一个事件 Ａ ，若存在伴随事 件 Ａ ，且 Ａ 与 Ａ 互不相容，则事件 Ａ 与 Ａ 各自为随机 事件。 因此，当需要定量描述 Ａ 与 Ａ 其中之一的随 机性时，必须同时定量描述事件 Ａ 与伴随事件 Ａ 的 随机性，并把描述结果组成一个相互联系的数学表 达式，以刻划它们之间的关系。 以上原理为基于频率的赵森烽－克勤概率原 理，以下简称原理。 ２．２．２ 定义 根据上述原理和仿照定义 １，给出基于频率的 赵森烽－克勤概率定义如下。 定义 ２ 在相同的一组条件 Ｓ 下，重复做 ｎ 次 试验，记 ｎＡ 为 ｎ 次试验中事件 Ａ 出现的频数， ｎＡ 为 ｎ 次试验中事件 Ａ （ Ａ 的伴随事件） 出现的频数； ｎＡ ＋ ｎＡ ＝ ｎ ；当试验的次数 ｎ 很大时，如果事件 Ａ 出 现的频率 ｎＡ ／ ｎ 总是在某一数值 ｐ 附近摆动， Ａ 出现 的频率 ｎＡ ／ ｎ 总是在某一数值 ｑ 附近摆动，而且在 通常情况下随着试验次数 ｎ 的增大，这 ２ 种摆动的 幅度越来越小，则称数值 ｐ 为事件 Ａ 的概率，记作 Ｐ（Ａ） ＝ ｐ ； ｑ 为事件 Ａ 的概率，记作 Ｐ（Ａ） ＝ ｑ，ｐ ＋ ｑ ＝ １ ，称 Ｐ(Ａ，Ａ) ＝ ｐ ＋ ｑｉ， ｉ ∈ ［ － １，１］ （１） 为以 Ａ 为主事件， Ａ 为 Ａ 的伴随事件的赵森烽－克勤 概率，或记为 Ｐｃ（Ａ） ＝ ｐ ＋ ｑｉ， ｉ ∈ ［ － １，１］ （２） 根据文献［６］给出的赵森烽－克勤补数定理，还 可以给出基于频率的赵森烽－克勤概率的另一个定 义如下。 定义 ３ 如果 Ｐ（Ａ） ＝ ｐ 是事件 Ａ 的一个频率型 概率，事件 Ａ 与事件 Ａ 是互不相容的对立事件，则有 事件 Ａ 的基于频率的赵森烽－克勤概率 Ｐｃ（Ａ） ： Ｐｃ（Ａ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ （１ － Ｐ（Ａ））ｉ， ｉ ∈ ［ － １，１］ （３） 或 Ｐｃ（Ａ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ａ）ｉ， ｉ ∈ ［ － １，１］ （４） 或 Ｐ（Ａ，Ａ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ａ）ｉ， ｉ ∈ ［ － １，１］ （５） 定义 ２ 与定义 ３ 从不同角度阐述了基于频率的 赵森烽－克勤概率，因而等价。 定义 ２ 较为严格地 叙述了基于频率的赵森烽－克勤概率的含义；定义 ３ 的实际意义是，当事件 Ａ 的频率型概率 Ｐ（Ａ） 已知 时，可以直接根据 Ｐ（Ａ） 写出事件 Ａ 的赵森烽－克勤 概率。 事实上，注意到定义 ２ 中 Ｐ（Ａ） ＝ ｐ，Ｐ（Ａ） ＝ｑ ， 式（５）即成为式（２）。 从定义 ２ 和定义 ３ 还可以看出，基于事件 Ａ 频 率的赵森烽－克勤概率与基于古典概型和几何概型 的赵森烽－克勤概率具有相同的数学形式，且具有 相同的性质（证明从略，可参见文献［４，６］）。 ３ 随机事件的转化定理 ３．１ 随机事件的转化 定义 ４ 设在随机试验 Ｅ 中，事件 Ａ 与事件 Ａ 客观存在，但表现为一对互不相容的对立事件，则称 试验结果从 Ａ 到第一次出现 Ａ （或从 Ａ 到第一次出 现 Ａ ）为随机事件的转化。 ３．２ 转化定理 “掷硬币”和“掷骰子”这类频率型随机试验的 一个特点是试验次数 ｎ 可以足够多，甚至无穷。 对 于这类次数可以足够多的随机试验，有以下定理。 定理 １（随机事件转化定理的准备定理） 设事 件 Ａ 与事件 Ａ 在随机试验 Ｅ 中客观存在，但表现为 一对互不相容的对立事件，则在相同的一组条件 Ｓ 下重复做 ｎ 次试验，当试验次数 ｎ 足够大时，必然出 现事件 Ａ 和事件 Ａ 。 证明 由于在随机试验 Ｅ 中，事件 Ａ 与事件 Ａ 第 １ 期 赵森烽，等：频率型联系概率与随机事件转化定理 ·５５·
·56· 智能系统学报 第9卷 是一对互不相容事件，根据随机事件的赵森烽-克 和“赵森烽-克勤概率”定义，如果在某次随机试验 勤存在定理可知事件A与事件万客观存在：又根据 中，不确定性因素恰好全部转化为有利于小概率事 随机事件的赵森烽-克勤表现定理知，事件A和事 件A发生，则小概率事件A就有可能在这一次试验 件不在随机试验E中都有可能出现，当试验次数n 中发生。前者侧重对A在随机试验过程宏观层面上 足够大时，事件A和事件不必然出现。证毕。 的数量规律负责，而后者不仅对A在随机试验宏观 定理2（随机事件转化定理）在试验次数n足 层面上的数量规律负责，还要对A在每一次随机试 够大(n→∞)的一个频率型随机试验E中，如果在 验微观层面上的系统规律负责。为此需要对每次随 第K(K≥1，K∈n)次试验中第一次出现事件A,则 机试验所涉及到的不确定因素（诸如观测者的因 必然在K+m(m≥1，K+m∈n)次试验中出现事 素、仪器仪表因素、观测对象自身因素、观测对象与 件不。 其他事物的关联（时空关联、物理关联、化学关联 证明根据定理1即得证。 等)因素、环境与温度因素、试验观察以及记录方法 为了方便地识别和记忆上述随机事件转化定 因素等，这些因素构成一个不确定性系统)展开系 理，称其为“赵森烽-克勤转化定理”，简称“转化定 统分析，在数学形式上则表现为是对i展开系统分 理”。“转化定理”在研究一些随机事件转化问题中 析。显而易见，小概率联系数化后得到的这种“赵 有重要意义。 森烽-克勤概率”既需要有“确定性的数学计算”，又 33与小概率原理的关系 需要有“不确定性的系统分析”。这种“确定性计算 “小概率原理”是经典概率统计中的一个重要 加上不确定性分析”的集对分析方法)，是对“小 原理，它是指如果一个事件发生的概率很小的话，那 概率事件”是否会在一次试验中出现作出的客观回 么它在一次试验中几乎不可能发生。但人们在陈述 答。这种回答在理论和实践两方面都有重要意义， 因为在现实工作和生活中，不少“小概率事件”的发 这个“小概率原理”时，会同时说明，概率很小的事 件在多次重复试验中几乎会必然发生。显而易 生会给人们带来灾难性的后果，例如航天飞机爆炸， 大地震，山体滑坡，核泄漏，列车追尾相撞，高速行驶 见，这个说明其实就是前面给出的“赵森烽-克勤转 的汽车遭受不明物体的袭击，桥梁突然断裂等，为了 化定理”所陈述的内容，从这个意义上说，这里给出 防范这种灾难性“小概率事件”的发生，分析的侧重 的随机事件转化定理与“小概率原理”有异曲同工 点显然不仅仅是发生的可能性是多少这个数字上， 之意。 而是在各种不确定性因素的系统分析上，特别是其 但重要的是：“赵森烽-克勤转化定理”是基于 中的物理成因分析，从而采取有针对性的防范措施， 赵克勤集对分析联系数的一个定理，根据文献[4， 杜绝人为的责任事故。对于不可抗拒的自然灾害这 6]中给出的“赵森烽-克勤概率”定义和集对分析不 类“小概率事件”，则尽最大努力减少其损失。当 确定性系统理论3，o,经典概率统计学中P(A)≤ 然，对于“购彩票中大奖”这类小概率事件，既不需 0.05或P(A)≤0.01这种“小概率”可以联系数化， 要防范，也没有必要进行系统分析。由此也看出，如 例如P(A)≤0.01联系数化为P.(A)=0.01+0.99i, 果把所有的小概率事件作为一个集合，则从经济学 从而表明，不仅仅是当试验次数足够多时小概率事 的角度可以把这个集合中的元素分成2个有不同经 件A会必然发生，例如P(A)=0.01+0.99i在直观 济性质的子集合。 上表明，小概率事件A(P(A)=0.01)几乎在100次 随机试验中可能会发生1次。而且还从数学形式上 4多元赵森烽-克勤概率 直观表明当不确定因素（承载体为赵森烽-克勤概 4.1同异反赵森烽-克勤概率 率P(A)=0.01+0.99i中的i)转化为有利于小概 由前述知，在掷硬币的随机试验中，人们常常把 率事件A发生（赵森烽-克勤概率中的i=1时有 硬币的厚度忽略不计，这样就只需考虑硬币“正面 P.(A)=0.01+0.99i=1)时，此小概率事件A就将发 朝上”还是“正面不朝上”2件事。但实际掷的硬币 生。指出和理解这一点具有重要的现实意义。因为 都有厚度。试验还告诉人们，如果试验用的硬币越 “小概率原理”给人的印象性知识是：某小概率事件 厚（如把多枚硬币粘在一起的“硬币组”），抛掷中也 不大可能在一次试验中发生：但根据集对分析理论 有可能出现硬币侧立的情况（见表2）
是一对互不相容事件，根据随机事件的赵森烽－克 勤存在定理可知事件 Ａ 与事件 Ａ 客观存在；又根据 随机事件的赵森烽－克勤表现定理知，事件 Ａ 和事 件 Ａ 在随机试验 Ｅ 中都有可能出现，当试验次数 ｎ 足够大时，事件 Ａ 和事件 Ａ 必然出现。 证毕。 定理 ２（随机事件转化定理） 在试验次数 ｎ 足 够大（ ｎ → ¥）的一个频率型随机试验 Ｅ 中，如果在 第 Ｋ（Ｋ≥１，Ｋ∈ｎ） 次试验中第一次出现事件 Ａ， 则 必然在 Ｋ ＋ ｍ（ｍ ≥ １，Ｋ ＋ ｍ ∈ ｎ） 次试验中出现事 件 Ａ 。 证明根据定理 １ 即得证。 为了方便地识别和记忆上述随机事件转化定 理，称其为“赵森烽－克勤转化定理”，简称“转化定 理”。 “转化定理”在研究一些随机事件转化问题中 有重要意义。 ３．３ 与小概率原理的关系 “小概率原理” 是经典概率统计中的一个重要 原理，它是指如果一个事件发生的概率很小的话，那 么它在一次试验中几乎不可能发生。 但人们在陈述 这个“小概率原理”时，会同时说明，概率很小的事 件在多次重复试验中几乎会必然发生［７⁃９］ 。 显而易 见，这个说明其实就是前面给出的“赵森烽－克勤转 化定理”所陈述的内容，从这个意义上说，这里给出 的随机事件转化定理与“小概率原理”有异曲同工 之意。 但重要的是：“赵森烽－克勤转化定理”是基于 赵克勤集对分析联系数的一个定理，根据文献［４， ６］中给出的“赵森烽－克勤概率”定义和集对分析不 确定性系统理论［１⁃３，１０］ ，经典概率统计学中 Ｐ（Ａ） ≤ ０．０５ 或 Ｐ（Ａ） ≤ ０．０１ 这种“小概率”可以联系数化， 例如 Ｐ（Ａ） ≤０．０１ 联系数化为 Ｐｃ（Ａ） ＝ ０．０１ ＋ ０．９９ｉ， 从而表明，不仅仅是当试验次数足够多时小概率事 件 Ａ 会必然发生，例如 Ｐｃ（Ａ） ＝ ０．０１ ＋ ０．９９ｉ 在直观 上表明，小概率事件 Ａ （ Ｐ（Ａ） ＝ ０．０１）几乎在 １００ 次 随机试验中可能会发生 １ 次。 而且还从数学形式上 直观表明当不确定因素（承载体为赵森烽－克勤概 率 Ｐｃ（Ａ） ＝ ０．０１ ＋ ０．９９ｉ 中的 ｉ ）转化为有利于小概 率事件 Ａ 发生（赵森烽－克勤概率中的 ｉ ＝ １ 时有 Ｐｃ（Ａ） ＝ ０．０１ ＋ ０．９９ｉ ＝ １）时，此小概率事件 Ａ 就将发 生。 指出和理解这一点具有重要的现实意义。 因为 “小概率原理”给人的印象性知识是：某小概率事件 不大可能在一次试验中发生；但根据集对分析理论 和“赵森烽－克勤概率”定义，如果在某次随机试验 中，不确定性因素恰好全部转化为有利于小概率事 件 Ａ 发生，则小概率事件 Ａ 就有可能在这一次试验 中发生。 前者侧重对 Ａ 在随机试验过程宏观层面上 的数量规律负责，而后者不仅对 Ａ 在随机试验宏观 层面上的数量规律负责，还要对 Ａ 在每一次随机试 验微观层面上的系统规律负责。 为此需要对每次随 机试验所涉及到的不确定因素（诸如观测者的因 素、仪器仪表因素、观测对象自身因素、观测对象与 其他事物的关联（时空关联、物理关联、化学关联 等）因素、环境与温度因素、试验观察以及记录方法 因素等，这些因素构成一个不确定性系统） 展开系 统分析，在数学形式上则表现为是对 ｉ 展开系统分 析。 显而易见，小概率联系数化后得到的这种“赵 森烽－克勤概率”既需要有“确定性的数学计算”，又 需要有“不确定性的系统分析”。 这种“确定性计算 加上不确定性分析” 的集对分析方法［１１］ ，是对“小 概率事件”是否会在一次试验中出现作出的客观回 答。 这种回答在理论和实践两方面都有重要意义， 因为在现实工作和生活中，不少“小概率事件”的发 生会给人们带来灾难性的后果，例如航天飞机爆炸， 大地震，山体滑坡，核泄漏，列车追尾相撞，高速行驶 的汽车遭受不明物体的袭击，桥梁突然断裂等，为了 防范这种灾难性“小概率事件”的发生，分析的侧重 点显然不仅仅是发生的可能性是多少这个数字上， 而是在各种不确定性因素的系统分析上，特别是其 中的物理成因分析，从而采取有针对性的防范措施， 杜绝人为的责任事故。 对于不可抗拒的自然灾害这 类“小概率事件”，则尽最大努力减少其损失。 当 然，对于“购彩票中大奖”这类小概率事件，既不需 要防范，也没有必要进行系统分析。 由此也看出，如 果把所有的小概率事件作为一个集合，则从经济学 的角度可以把这个集合中的元素分成 ２ 个有不同经 济性质的子集合。 ４ 多元赵森烽－克勤概率 ４．１ 同异反赵森烽－克勤概率 由前述知，在掷硬币的随机试验中，人们常常把 硬币的厚度忽略不计，这样就只需考虑硬币“正面 朝上”还是“正面不朝上”２ 件事。 但实际掷的硬币 都有厚度。 试验还告诉人们，如果试验用的硬币越 厚（如把多枚硬币粘在一起的“硬币组”），抛掷中也 有可能出现硬币侧立的情况（见表 ２）． ·５６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第1期 赵森烽，等：频率型联系概率与随机事件转化定理 ·57. 表2赵森烽-克勒掷硬币试验 的研究中，i的取值范围需要扩展到[-∞，1]，这一 Table 2 ZHAO Sengfeng-Keqin's the throw coin test 点将在后续研究中给予进一步的说明。 硬币（角币） 抛掷次数正面朝上A反面朝上A,侧立五 此外，根据集对分析同异反系统理论，定义5给 定的同异反联系概率是一个同异反系统，该系统中 1枚组 110 48 62 0 的“同、异、反”可以在一定条件下相互转化2】，对 2枚组 110 52 少 0 此需要作深入研究。 3枚组 110 38 68 4 4.2多元赵森烽-克勤概率定义 4枚组 110 48 47 15 如果说前面考虑硬币厚度的随机试验导出多元 5枚组 110 29 38 43 赵森烽-克勤概率尚有牵强之意的话，那么由“掷骰 6枚组 110 31 31 48 子”试验来导出多元赵森烽-克勤概率就显得自然。 7枚组 110 15 21 64 因为从第1节中看到，“掷骰子”这类频率型随机试 8枚组 13 3 75 验结果要比“掷硬币”随机试验结果多，原因是骰子 110 有6个面，因而在随机试验中有6个需要关注的基 这时的不(“硬币正面不朝上”)就成为一个复 本事件，如果把“1朝上”设为“主事件A”,把“6朝 合事件，不由不(“硬币反面朝上”)和不，(“硬币侧 上”设为“反事件C”,则其他的“2、3、4、5点朝上” 立”)2个事件复合而成。相应的“赵森烽-克勤概 就是介于A与C之间的“异事件”，依次记事件B“2 率”P(A,)=P(A)+P()i中的P(不)就要展开 朝上”、事件B2“3朝上”、B3“4朝上”、事件B,“5朝 成P(不)和P(A2)来表示，由此得到关于A、不1A2 上”，则仿照上一节的思路得到有关基于“主事件 的“赵森烽-克勤概率”为 A”和“反事件C”的“同异反赵森烽-克勤概率” P(A,A)=P(A,不1，A2)= 如下： P(A)+P(A)i1+P(A2)i2, (6) P(A,B1,B2,B3,B4,C)= 按照集对分析同异反思想和赵森烽-克勤概率 P(A)+P(B)i1+P(B2)i2+ 知识，当把事件A定义为主事件时，实际出现的“硬 P(B)i +P(B)i P(C)j (9) 币正面朝上”事件A定义为“硬币正面朝上”事件A 或者 的“同事件”，实际出现的“硬币反面朝上”事件不 P(A)=P(A)+P(B,)i1+P(B2)i2+ 定义为A的“反事件”，实际出现的“硬币侧立”事件 P(B3)is +P(B)i+P(C)j (10) 不2定义为介于事件A与不，之间的异事件，于是式 式(9)、(10)既可以看作是一种“同异反赵森烽-克 (6)就称为基于事件A的同异反概率，为此给出“同 勤概率”（式(8）)的展开式，也可以看作是一种用多 异反赵森烽-克勤概率”定义如下。 元联系数表示的“赵森烽-克勤概率”。为此有如下 定义5在一个频率型随机试验E中，如果在 的“多元赵森烽-克勤概率”定义。 一对互不相容的对立事件A与C(C=①)之间，还存 定义6在一个频率型随机试验E中，如果在 在既异于A,也异于C,且与A和C都互不相容的 一对互不相容的对立事件A与C(C=①之间，还存 中介事件B,则称中介事件B为与A和C皆异的异 在既异于A,也异于C的n(n≥1)个两两互不相容 事件，简称异事件，并把A作为主事件时的联系概率 的中介事件B(k=1,2,…,n),则称把A作为主事 P(A,B,C)=P(A)+P(B)i+P(C)j (7) 件(B,、C为伴随事件)时的“赵森烽-克勤概率” 称为“同异反赵森烽-克勤概率”。 P(A,B4,C)=P(A)+P(B:)i1+P(B2)i2+ 式(7)中的j为“反事件”C概率P(C)的系数或 …+P(Bn)in+P(C)j (11) 标识，作为系数时通常取j=一1，不计值时，仅作为 称为“多元赵森烽-克勤概率”。 “反事件”C概率P(C)的标识。 “多元赵森烽-克勤概率”中的B,B2,…,Bn依 按文献[1]中给出的“赵森烽-克勤概率”记法， 次称为主事件A的第1伴随事件或第2关注事件 以A为主事件，B、C为伴随事件时的“赵森烽-克 第2伴随事件或第3关注事件…第n-1伴随事 勤概率”可写成： 件或第n关注事件，把C事件（主事件A的反事件） P(A)=P(A)+P(B)i+P(C)j (8） 称为第n伴随事件或第n+1关注事件。相应的概 根据集对分析理论，式(7)、(8)中的j=-1, 率称为第1伴随事件或第2关注事件概率、第2伴 i∈[-1,1]，但在随机事件转化现象和转化机理 随事件或第3关注事件概率…第n伴随事件或第
表 ２ 赵森烽－克勤掷硬币试验 Ｔａｂｌｅ ２ ＺＨＡＯ Ｓｅｎｇｆｅｎｇ⁃Ｋｅｑｉｎ′ｓ ｔｈｅ ｔｈｒｏｗ ｃｏｉｎ ｔｅｓｔ 硬币（角币） 抛掷次数 正面朝上 Ａ 反面朝上 Ａ１ 侧立 Ａ２ １ 枚组 １１０ ４８ ６２ ０ ２ 枚组 １１０ ５２ ５８ ０ ３ 枚组 １１０ ３８ ６８ ４ ４ 枚组 １１０ ４８ ４７ １５ ５ 枚组 １１０ ２９ ３８ ４３ ６ 枚组 １１０ ３１ ３１ ４８ ７ 枚组 １１０ １５ ２１ ６４ ８ 枚组 １１０ １３ ２２ ７５ 这时的 Ａ （“硬币正面不朝上”）就成为一个复 合事件， Ａ 由 Ａ１（ “硬币反面朝上”）和 Ａ２（ “硬币侧 立”）２ 个事件复合而成。 相应的“赵森烽－克勤概 率” Ｐ（Ａ，Ａ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ａ）ｉ 中的 Ｐ（Ａ） 就要展开 成 Ｐ（Ａ１ ） 和 Ｐ（Ａ２ ） 来表示，由此得到关于 Ａ、Ａ１ 、Ａ２ 的“赵森烽－克勤概率”为 Ｐ（Ａ，Ａ） ＝ Ｐ（Ａ，Ａ１ ，Ａ２ ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ａ１ ）ｉ １ ＋ Ｐ（Ａ２ ）ｉ ２ ， （６） 按照集对分析同异反思想和赵森烽－克勤概率 知识，当把事件 Ａ 定义为主事件时，实际出现的“硬 币正面朝上”事件 Ａ 定义为“硬币正面朝上”事件 Ａ 的“同事件”，实际出现的“硬币反面朝上” 事件 Ａ１ 定义为 Ａ 的“反事件”，实际出现的“硬币侧立”事件 Ａ２ 定义为介于事件 Ａ 与 Ａ１ 之间的异事件，于是式 （６）就称为基于事件 Ａ 的同异反概率，为此给出“同 异反赵森烽－克勤概率”定义如下。 定义 ５ 在一个频率型随机试验 Ｅ 中，如果在 一对互不相容的对立事件 Ａ 与 Ｃ（Ｃ ＝ Ａ） 之间，还存 在既异于 Ａ ，也异于 Ｃ ，且与 Ａ 和 Ｃ 都互不相容的 中介事件 Ｂ ，则称中介事件 Ｂ 为与 Ａ 和 Ｃ 皆异的异 事件，简称异事件，并把 Ａ 作为主事件时的联系概率 Ｐ（Ａ，Ｂ，Ｃ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ｂ）ｉ ＋ Ｐ（Ｃ）ｊ （７） 称为“同异反赵森烽－克勤概率”。 式（７）中的 ｊ 为“反事件”Ｃ 概率 Ｐ（Ｃ） 的系数或 标识，作为系数时通常取 ｊ ＝ － １，不计值时，仅作为 “反事件”Ｃ 概率 Ｐ（Ｃ） 的标识。 按文献［１］中给出的“赵森烽－克勤概率”记法， 以 Ａ 为主事件， Ｂ 、 Ｃ 为伴随事件时的“赵森烽－克 勤概率”可写成： Ｐｃ（Ａ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ｂ）ｉ ＋ Ｐ（Ｃ）ｊ （８） 根据集对分析理论，式（ ７）、（ ８） 中的 ｊ ＝ － １， ｉ ∈ ［ － １，１］， 但在随机事件转化现象和转化机理 的研究中， ｉ 的取值范围需要扩展到 ［ － ¥，１］ ，这一 点将在后续研究中给予进一步的说明。 此外，根据集对分析同异反系统理论，定义 ５ 给 定的同异反联系概率是一个同异反系统，该系统中 的“同、异、反” 可以在一定条件下相互转化［１２］ ，对 此需要作深入研究。 ４．２ 多元赵森烽－克勤概率定义 如果说前面考虑硬币厚度的随机试验导出多元 赵森烽－克勤概率尚有牵强之意的话，那么由“掷骰 子”试验来导出多元赵森烽－克勤概率就显得自然。 因为从第 １ 节中看到，“掷骰子”这类频率型随机试 验结果要比“掷硬币”随机试验结果多，原因是骰子 有 ６ 个面，因而在随机试验中有 ６ 个需要关注的基 本事件，如果把“１ 朝上”设为“主事件 Ａ ”，把“６ 朝 上”设为“反事件 Ｃ ”，则其他的“２、３、４、５ 点朝上” 就是介于 Ａ 与 Ｃ 之间的“异事件”，依次记事件 Ｂ１“２ 朝上”、事件 Ｂ２“３ 朝上”、 Ｂ３“４ 朝上”、事件 Ｂ４“５ 朝 上”，则仿照上一节的思路得到有关基于“主事件 Ａ ”和“反事件 Ｃ ” 的“同异反赵森烽－克勤概率” 如下： Ｐ（Ａ，Ｂ１ ，Ｂ２ ，Ｂ３ ，Ｂ４ ，Ｃ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ｂ１ ）ｉ １ ＋ Ｐ（Ｂ２ ）ｉ ２ ＋ Ｐ（Ｂ３ ）ｉ ３ ＋ Ｐ（Ｂ４ ）ｉ ４ ＋ Ｐ（Ｃ）ｊ （９） 或者 Ｐｃ（Ａ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ｂ１ ）ｉ １ ＋ Ｐ（Ｂ２ ）ｉ ２ ＋ Ｐ（Ｂ３ ）ｉ ３ ＋ Ｐ（Ｂ４ ）ｉ ４ ＋ Ｐ（Ｃ）ｊ （１０） 式（９）、（１０）既可以看作是一种“同异反赵森烽－克 勤概率”（式（８））的展开式，也可以看作是一种用多 元联系数表示的“赵森烽－克勤概率”。 为此有如下 的“多元赵森烽－克勤概率”定义。 定义 ６ 在一个频率型随机试验 Ｅ 中，如果在 一对互不相容的对立事件 Ａ 与 Ｃ（Ｃ ＝ Ａ） 之间，还存 在既异于 Ａ ，也异于 Ｃ 的 ｎ（ｎ ≥１） 个两两互不相容 的中介事件 Ｂｋ（ｋ ＝ １，２，…，ｎ） ，则称把 Ａ 作为主事 件（ Ｂｋ 、 Ｃ 为伴随事件）时的“赵森烽－克勤概率” Ｐ（Ａ，Ｂｋ，Ｃ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ｂ１ ）ｉ １ ＋ Ｐ（Ｂ２ ）ｉ ２ ＋ … ＋ Ｐ（Ｂｎ ）ｉ ｎ ＋ Ｐ（Ｃ）ｊ （１１） 称为“多元赵森烽－克勤概率”。 “多元赵森烽－克勤概率”中的 Ｂ１ ，Ｂ２ ，…，Ｂｎ 依 次称为主事件 Ａ 的第 １ 伴随事件或第 ２ 关注事件、 第 ２ 伴随事件或第 ３ 关注事件……第 ｎ － １ 伴随事 件或第 ｎ 关注事件，把 Ｃ 事件（主事件 Ａ 的反事件） 称为第 ｎ 伴随事件或第 ｎ ＋ １ 关注事件。 相应的概 率称为第 １ 伴随事件或第 ２ 关注事件概率、第 ２ 伴 随事件或第 ３ 关注事件概率……第 ｎ 伴随事件或第 第 １ 期 赵森烽，等：频率型联系概率与随机事件转化定理 ·５７·