§1.1.曲线的表示 §1.1三维空间中的曲线 例1若参数曲线C:产=f()=常矢,te∈R,则其几何图形 仅仅表示一点,而不是正常的曲线,此时所有的参数值 对应于图形实体的同一点.这是非正则曲线的极端例 子 例2半径为a,螺距为2mν的圆柱螺线,如视为动点的轨 迹,表示为r()=(acos(at),asin(atD,vt),t∈R, 其中三个常数a>0,0≠0和v≠0分别为动点运动的圆 周半径、角速率和向上速率.此时 (0)=(- basin(o),amc0s(00),v)≠0, 说明该参数化使之成为正则曲线 或者称该曲线是(一∞,∞)上的正则曲线
2021/2/7 13 § 1.1.1 曲线的表示 § 1.1 三维空间中的曲线 例1 若参数曲线 C: , tR ，则其几何图形 仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值 对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例 子． 例2 半径为a，螺距为2πv的圆柱螺线，如视为动点的轨 迹，表示为 (t) = (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ， 其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的圆 周半径、角速率和向上速率．此时 (t) = (−aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ， 说明该参数化使之成为正则曲线。 或者称该曲线是（－, ）上的正则曲线。 r r t = = ( ) 常矢 r r
§1.1.曲线的表示 §1.1三维空间中的曲线 例3半立方抛物线光滑曲线 r()=(,2,0),t∈R, 则F'()=(3,2t,0) 故此时其奇点有且仅有一个:r0) 该曲线是(-∞,0)和(0,∞)上的正则曲线。 同一曲线的不同参数表示 同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为(,用t=t(t1) 引入新参量t1,则()=r(t(t1)=n(1),为保障t一一对应且 为使,t1增加的方向均相应于曲线正向,要求 曲线C上一点如取参数时为正则点,则在取1表示时也为正则点
2021/2/7 14 § 1.1.1 曲线的表示 § 1.1 三维空间中的曲线 例3 半立方抛物线光滑曲线 (t) = (t 3 , t 2 , 0) , tR ， 则 (t) = (3t 2 , 2t , 0) ， 故此时其奇点有且仅有一个：r(0)． 该曲线是（－, 0）和（0, ）上的正则曲线。 同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为 (t)，用t＝t(t1 ) 引入新参量t1，则 (t) = (t (t1 )) ＝ 1 (t1 )，为保障t, t1一一对应且 为使t, t1增加的方向均相应于曲线正向，要求 三、同一曲线的不同参数表示 1 0 dt dt > 曲线C上一点如取参数t 时为正则点，则在取t1表示时也为正则点 r r r r r r
§1.1.曲线的表示 §1.1三维空间中的曲线 四、正则曲线的意义 可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线 设曲线C:产=f(,t∈(a,b)正则,则曲线从参数到处的弧长 为 dr d r S=t其中dt dt(1)￥2⊥(d()+(dt dz(1) 是曲线切矢量的长度。 注意: 弧长是代数量; 弧长只依赖于曲线上所选取的始末点,而与参数的选择无关; 对正则曲线可选取弧长作为表示曲线的新参数,这时切矢量 为一单位矢量
2021/2/7 15 § 1.1.1 曲线的表示 § 1.1 三维空间中的曲线 可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线． 是曲线切矢量的长度。 注意： • 弧长是代数量； • 弧长只依赖于曲线上所选取的始末点，而与参数的选择无关； • 对正则曲线可选取弧长s作为表示曲线的新参数，这时切矢量 为一单位矢量。 四、正则曲线的意义 设曲线 C: = (t) , t(a, b) 正则，则曲线从参数t0到t处的弧长 为 0 t t d s dt dt r = ò ( ) ( ) ( ) 2 2 2 dx t dy t dz t ( ) ( ) ( ) dt dt dt d dt r 其中 = + + r r
§1.1.曲线的表示 §1.1三维空间中的曲线 单位速率曲线的意义 选取弧长作为参数的曲线称为单位速率曲线。 类比:空间曲线—质点在空间的运动轨迹 参数t—时间 dr 质点的运动速度 r 质点经历的路程 选取弧长作为曲线的参数的好处是曲线上每一点的切向量都 是单位向量
2021/2/7 16 § 1.1.1 曲线的表示 § 1.1 三维空间中的曲线 选取弧长作为参数的曲线称为单位速率曲线。 单位速率曲线的意义 类比： 0 t t d s dt dt = ò r 空间曲线——质点在空间的运动轨迹 参数t ——时间 ——质点的运动速度 ——质点经历的路程 dr dt 选取弧长作为曲线的参数的好处是曲线上每一点的切向量都 是单位向量
§1.1.曲线的表示 §1.1三维空间中的曲线 例4圆柱螺线参数化为f(=(acos(an),asin(an),v),t∈R, 其中三个常数a>0,0≠0和v≠0.试求其从点(a,0,0) 计起的弧长参数,并确定其一个螺纹的长度. 解:因F(o=Vao2+n2≠0t为正则参数且有 ds=Ir(ol dt=1 a202+12 dt s(1)-s(1)=∫ r(ul du 202+y+dn=yo2+p2(-t) 点(a,0,0)对应于参数t=0,故从点(a,0,0计起的弧长参数 s(2)-(0)= t sgrt(a2a2+v2) 故一个螺纹对应于参数取值区间为tt+|2mo]的长度为 s(2m/o)-(0)=2r/ ol sqrt(a22+y2)
2021/2/7 17 § 1.1.1 曲线的表示 § 1.1 三维空间中的曲线 t 为正则参数，且有 ds = |r (t) | dt = a 2w2 + v 2 dt s(t) − s(t 0 ) = t t 0 |r (u) | du = t t 0 a 2w2 + v 2 du = a 2w2 + v 2 (t − t 0 ) ． 点(a, 0, 0)对应于参数t＝0，故从点(a, 0, 0)计起的弧长参数 s(t) − s(0) = t sqrt (a 2w2+v 2 ) 故一个螺纹对应于参数t取值区间为[t0，t0+|2π/ω|]的长度为 s(2π/ω) − s(0) = |2π/ω| sqrt (a 2w2+v 2 ) 2 2 2 r t a v ( ) 0 = + w 例4 圆柱螺线参数化为 (t) = (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ， 其中三个常数a > 0 , w 0 和 v 0 ．试求其从点(a, 0, 0) 计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度． r 解：因