第一章微分几何 微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。 微分几何解决问题的一般思路是: 参数方程定 求导从微积分导出能说 义几何体 明几何学某些性质 的几何量 给定某些微 求解 分量 确定几何体 几何量 微分方程的解集即几何体 满足的条件(微分方程)↑
2021/2/7 第一章 微分几何 微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。 微分几何解决问题的一般思路是： 参数方程定 义几何体 求导 从微积分导出能说 明几何学某些性质 的几何量 给定某些微 分量 求解 确定几何体 几何量 满足的条件（微分方程） 微分方程的解集即几何体 8
第一章微分几何 1、三维空间中的曲线; 2、三维空间中的曲面; 3、曲面的第一、二基本形式; 4、曲面的曲率; 5、测地线; 6、张量简述
2021/2/7 9 第一章 微分几何 1、三维空间中的曲线； 2、三维空间中的曲面； 3、曲面的第一、二基本形式； 4、曲面的曲率； 5、测地线； 6、张量简述
g:第一章微分几何 推荐用书: 《数学物理方法》王一平主编,电子工业出版社 《微分几何的理论和习题》利普舒茨著,上海科学 技术出版社 《微分几何讲义》陈省身陈维恒著,北京大学出 版社 《微分几何》梅向明黄敬之编,高等教育出版社
2021/2/7 10 ： 推荐用书： 《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社 《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社 《微分几何讲义》陈省身 陈维恒著，北京大学出 版社 《微分几何》梅向明 黄敬之编，高等教育出版社 第一章 微分几何
§1.1.曲线的表示 §1.1三维空间中的曲线 曲线的表示 在E3中 Descartes角坐标系Oxz下运动质点的位置为 r()=x()i+y(1)j+z(1)k 其中i,j,k为单位正交基向量 空间曲线定义: 区间(a,b)上点t在映射:t(x(O,y(O,(0)下像的集 曲线C的表示: C可用向量形式的参数方程表示为 f()=x(t)i+y()j+(1)k=[x(t),y(1.() 或写为分量形式的参数方程=x0 y=y(1),t∈(a,b 式中t称为C的参数 z()
2021/2/7 11 § 1.1 三维空间中的曲线 在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下运动质点的位置为 其中 为单位正交基向量． 空间曲线定义： 区间(a, b)上点t 在映射：t→ (x(t), y(t), z(t)) 下像的集合 曲线C的表示： § 1.1.1 曲线的表示 式中t 称为 C 的参数 C 可用向量形式的参数方程表示为 或写为分量形式的参数方程 x = x(t) y = y(t) z = z(t) , t(a, b) ． 一、曲线的表示 r t x t i y t j z t k ( ) ( ) ( ) ( ) = + + i j k , , r t x t i y t j z t k x t y t z t ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] = + + =
§1.1.曲线的表示 §1.1三维空间中的曲线 正则 假定所研究的曲线r(1)至少是t的一阶连续可微函数。 定义:如果给定参数曲线C:=r(t),t∈(ab) 若(t)10,则称t=t的对应点()为C的一个正则点 若)=0,则称t=t的对应点产()为C的一个奇点; 若曲线上所有点正则,则称C为正则曲线,并称参数t为正 则参数 几何意义: 视参数曲线为动点轨迹,正则点的几何意义则是当参数在该点 处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动
2021/2/7 12 § 1.1 三维空间中的曲线 假定所研究的曲线 至少是t 的一阶连续可微函数。 § 1.1.1 曲线的表示 二、正则 定义 ：如果给定参数曲线C: , t(a, b) ． • 若 ，则称 t = t0 的对应点 为 C 的一个正则点． • 若 ，则称 t = t0 的对应点 为 C 的一个奇点； 若曲线上所有点正则，则称C 为正则曲线，并称参数t 为正 则参数． 几何意义： • 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点 处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动． r r t = ( ) r t( ) 0 r t ¢( ) 0 ¹ 0 r t( )0 r t( ) 0 r t ¢( ) 0 =