第2卷第2期 智能系统学报 Vol.2 Na 2 2007年4月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Apr.2007 模糊推理的统计敏感性分析 王士同，谢振平1，李涵雄 (1,江南大学信息工程学院，江苏无锡214122：2.香港城市大学制造工程与工程管理系，香港) 摘要：在设计模糊逻辑系统时，如何实现其对输入噪声的鲁棒性是一个首要的问题，相应地如何很好地分析其对 输入噪声的鲁棒性（也称敏感性分析）也就成了一个重要问题.使用统计的方法，对常见的模糊推理方法进行了敏感 性分析.首先以均值与方差为基础，提出了2个模糊集的统计相等的概念：随后导出了常见的模糊推理方法的统计 敏感性，这包括链接模糊推理与多规则模糊推理.与前人相关工作不同的是，更着重于模糊推理的方差分析，这一方 法从数理统计的角度来看能更好地揭示模糊推理本质的敏感性 关键词：模糊推理：模糊规则：链接模糊推理：统计敏感性 中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：1673-4785(2007)02-0057-08 Statistical sensitivity analysis of fuzzy reasoning WANG Shi-tong'XIE Zhemping',LI Hanxiong (1.College of Information Engineering,Southern Yangtze University,Wuxi 214122,China;2.Department of MEEM,Faculty of Sci.Eng.,City University of Hong Kong,Hong Kong SAR,China) Abstract:Robustness of input noise is an important issue when designing a fuzzy logic system.In this pa- per,a statistics based method is introduced to analyze the sensitivity of various popular fuzzy reasoning methods.Using the new concept of statistical-equalities,the statistical sensitivity between two fuzzy sets is analyzed based on their means and variances.Then the statistical sensitivities of various popular fuzzy reasoning methods are derived,including syllogistic fuzzy reasoning and fuzzy reasoning with multiple rules.Different from other research work,the variance analysis of fuzzy reasoning is particularly empha- sized to better reveal the sensitivity of fuzzy reasoning from a statistical perspective. Key words:fuzzy reasoning;fuzzy rule;syllogistic fuzzy reasoning;statistical sensitivity 自从Zadeh提出了模糊推理的合成规则4,1以集，4(x)和4e(x)分别表示它们各自的隶属度函 后，众多的蕴涵与连接算子被引入到模糊推理中形 数，若满足s山()-4（川≤，则称A与B逼 成了各种模糊推理方法8,0,2).模糊推理尝试 近相等，记为A≈B,常数ε称为逼近度 摄取人类推理的本质，并在设计与分析模糊控制器 随之，Hong和Hwangl)使用相似性度量对上 中扮演着关键的角色，在模糊推理中人类专家的主 式进行了扩展，重新定义如下： 观经验被转换成定量的推理规则.在设计模糊控制 设U是某一论域，A和B是U上的2个模糊 器时，通常要分析其对实际输入信号中所含噪音的 集，44(x)和(x)分别表示它们各自的隶属度函 鲁棒性.目前，对模糊推理的鲁棒性分析己有了不少 研究.Pappis使用了逼近度来分析模糊推理的敏感 数，若满足1-s罗l4(xW-4m(x川，a∈0,1]， 性2161，Pappis在论文中引入了如下的定义： 则称A与Ba-,记为A≈aB, 设U是某一论域，A和B是U上的2个模糊 近来，Cai使用模糊集的&相等概念把原有的 定义泛化成了下面的形式： 收稿日期：20061008. 基金项目：南京大学计算机软件新技术国家重点实验室开放课题， 设U是某一论域，A和B是U上的2个模糊 集，4(x)和(x分别表示它们各自的隶属度函 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 2 卷第 2 期 智 能 系 统 学 报 Vol. 2 №. 2 2007 年 4 月 CAA I Transactions on Intelligent Systems Apr. 2007 模糊推理的统计敏感性分析 王士同1 ,谢振平1 ,李涵雄2 (1 . 江南大学 信息工程学院 ,江苏 无锡 214122 ;2. 香港城市大学 制造工程与工程管理系 ,香港) 摘 要 :在设计模糊逻辑系统时 ,如何实现其对输入噪声的鲁棒性是一个首要的问题 ,相应地如何很好地分析其对 输入噪声的鲁棒性(也称敏感性分析)也就成了一个重要问题. 使用统计的方法 ,对常见的模糊推理方法进行了敏感 性分析. 首先以均值与方差为基础 ,提出了 2 个模糊集的ε2统计相等的概念 ;随后导出了常见的模糊推理方法的统计 敏感性 ,这包括链接模糊推理与多规则模糊推理. 与前人相关工作不同的是 ,更着重于模糊推理的方差分析 ,这一方 法从数理统计的角度来看能更好地揭示模糊推理本质的敏感性. 关键词 :模糊推理 ;模糊规则 ;链接模糊推理 ;统计敏感性 中图分类号 : TP18 文献标识码 :A 文章编号 :167324785 (2007) 0220057208 Statistical sensitivity analysis of fuzzy reasoning WAN G Shi2tong 1 ,XIE Zhen2ping 1 ,L I Han2xiong 2 (1. College of Information Engineering , Southern Yangtze University , Wuxi 214122 , China ; 2. Department of MEEM , Faculty of Sci. & Eng. , City University of Hong Kong , Hong Kong SAR , China) Abstract :Robust ness of inp ut noise is an important issue when designing a f uzzy logic system. In t his pa2 per , a statistics2based met hod is introduced to analyze t he sensitivity of various pop ular f uzzy reasoning met hods. Using t he new concept ofε2statistical2equalities , t he statistical sensitivity between two f uzzy sets is analyzed based on their means and variances. Then t he statistical sensitivities of various pop ular f uzzy reasoning methods are derived , including syllogistic f uzzy reasoning and f uzzy reasoning wit h multiple rules. Different from ot her research work , t he variance analysis of f uzzy reasoning is particularly emp ha2 sized to better reveal t he sensitivity of f uzzy reasoning from a statistical perspective. Keywords :f uzzy reasoning ; f uzzy rule ; syllogistic f uzzy reasoning ; statistical sensitivity 自从 Zadeh 提出了模糊推理的合成规则[4 - 6 ]以 后 ,众多的蕴涵与连接算子被引入到模糊推理中形 成了各种模糊推理方法[1 ,4 - 8 ,10 ,12 - 13 ] . 模糊推理尝试 摄取人类推理的本质 ,并在设计与分析模糊控制器 中扮演着关键的角色 ,在模糊推理中人类专家的主 观经验被转换成定量的推理规则. 在设计模糊控制 器时 ,通常要分析其对实际输入信号中所含噪音的 鲁棒性. 目前 ,对模糊推理的鲁棒性分析已有了不少 研究. Pappis 使用了逼近度来分析模糊推理的敏感 性[2 ,16 ] ,Pappis 在论文中引入了如下的定义 收稿日期 :2006210208. 基金项目 :南京大学计算机软件新技术国家重点实验室开放课题. : 设 U 是某一论域 , A 和 B 是 U 上的 2 个模糊 集 ,μA ( x) 和μB ( x) 分别表示它们各自的隶属度函 数 ,若满足sup x ∈U |μA ( x) - μB ( x) | ≤ε,则称 A 与 B 逼 近相等 ,记为 A≈B ,常数ε称为逼近度. 随之 , Hong 和 Hwang [17 ]使用相似性度量对上 式进行了扩展 ,重新定义如下 : 设 U 是某一论域 , A 和 B 是 U 上的 2 个模糊 集 ,μA ( x) 和μB ( x) 分别表示它们各自的隶属度函 数 ,若满足 1 - sup x ∈U |μA ( x) - μB ( x) | ≥α,α∈[0 , 1 ] , 则称 A 与 Bα- ,记为 A≈aB. 近来 ,Cai [2 ]使用模糊集的ε2相等概念把原有的 定义泛化成了下面的形式 : 设 U 是某一论域 , A 和 B 是 U 上的 2 个模糊 集 ,μA ( x) 和μB ( x) 分别表示它们各自的隶属度函
·58 智能系统学报 第2卷 数，若满足1-s罗4(x)-4h(川≤66∈0,1]， E(PA(x-s(x))=0, 则称A与B8.相等，记为A≈⑨B.然后他给出了 i.e.E(4x)= dP= 一个用于模糊推理的鲁棒性分析的系统框架.与 Pappis的定义相似，Ying)提出了模糊推理的最大 E(4a(x)= f(dP( (1) 与平均扰动的概念，其中用一个固定的参数￡来评 d(4(x)-(x)应该趋向于0， 估在模糊集或模糊推理中的扰动程度，据此可估计 i.e.d(u4(x)≈0(ax) 2 得出最大与平均扰动的参数值，详细的相关研究内 此处E()和()分别表示求均值与方差.对于 容可参考[19-36]，特别地，文献[26-28]的研究代 上面的条件，等价于当扰动足够小时，4(x)应逼近 表了鲁棒模糊推理的最新进展.综合而言，目前所有 于(x),同时d(4(x)也应逼近于0((x). 的模糊推理的鲁棒性分析方法均是基于2类模糊集 这样可以对模糊集引入如下的统计相等的定义 的隶属度函数(MFs)的绝对差的上界而展开分析 定义1令U是某一具有概率分布P(x)的论 的 域，A和B是U上的2个模糊集，4(x)和a(x分 事实上，对于实际中产生的噪音，可以假设它的 别为它们的连续MFs,假设B是A一个扰动，即 均值为0，并且标准差很小.这就意味着鲁棒性分析 xs(x)=4(x)+6(x,此处6(x表示独立随 必须建立在下面2个基础假设之上：1)实际数据与 机噪声，满足E(6(x))=0,则如果下面几个公式同 真实数据间的均值应保持不变，且方差也不会由于 时满足，则称A与BE-统计相等，记为B=gA 噪音的存在而产生较大幅度的增大.2)在失真的数 E((x)=E(g(x), (3 据上作任何的鲁棒性讨论是没有现实意义的.所以 从统计学的观点来看，前面的一些定义是不全面的， (x⊥d(4ax2 max <1+e. 0(ax)'0(4(x) 应以均值与标准差的概论为视角，研究分析模糊推 0<￡<1 (4) 理的鲁棒性.据此提出了s统计相等的概念，并理论 为讨论的方便，不失一般性，可假设d((x)> 上探讨了在使用不同的模糊推理方法时它们的均值 (4(x),则式4)可简化如下： 与方差将会产生怎样的变化，分析所得的结果将有助 d(4ax⊥ 于在设计模糊逻辑系统时选择最佳的模糊推理方法. <1+e= d(4(x划) d(⊙xL<e.(5) d(4(x) 文中提出了在模糊集上的e统计等式的概念， 定义2 据此可以理论地推导出模糊推理的统计敏感性.2 1)令0<，<1,6,6上的算子⊙定义如下： 个模糊集的ε统计相等要求两个模糊集具有相等的 6⊙6=6+6+号5 (6) 均值与e相近的方差.需要指出的是Ying在文献 2)定义：矢量W=(1,w2,wd为d维权重矢 [3]中使用概率的方法讨论了模糊推理的平均扰动， 从这一角度来看，本文的工作与此有相似性.然而与 量，若满足w,∈0,1]沮，w,=1:映射WM.:R→R Ying、Cai等所做工作显然不同的是：首先，更着重 为d维权重平均(WM),若满足： 于均值与标准差的分析，且文中的方法是完全基于 d WM.(am,a,…aal= (7) 统计的，这与目前大都数鲁棒性分析方法相吻合，更 适合于现实的要求，其次，文中的方法由于在e统计 基于上述定义，显然可得： 相等中使用了非固定变量ε而具有更好的普遍意义， 6⊙6>6,9⊙6>6 min(am,m,adl≤ 1 基本定义和引理 WMw(a ,.aa)max(a ,.aa) 首先定义2个模糊集的：统计相等的概念，设 引理1设A,A是论域U上的2个模糊集，U U是某一具有概率分布P(x)的论域，A和B是U 中概率分布为P(x),B,B是论域V上的2个模糊 上的2个模糊集，4(x)和(x)分别表示它们各自 集，V中概率分布为Q(y以，若A'=()A,B'= 的隶属度函数.假设A是B的一个扰动，从统计学 ()B,令AUB表示模糊集A与B的关系并，A'U 的角度来看，若此扰动很小以至于可以忽略不计，那 B表示模糊集A与B的关系并，且模糊集的关系 么A与B应满足如下条件： 并算子定义为 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
数 ,若满足 1 - sup x ∈U |μA ( x) - μB ( x) | ≤δ,δ∈[0 , 1 ] , 则称 A 与 Bδ- 相等 ,记为 A≈(δ) B. 然后他给出了 一个用于模糊推理的鲁棒性分析的系统框架. 与 Pappis 的定义相似 , Ying [3 ] 提出了模糊推理的最大 与平均扰动的概念 ,其中用一个固定的参数ε来评 估在模糊集或模糊推理中的扰动程度 ,据此可估计 得出最大与平均扰动的参数值 ,详细的相关研究内 容可参考[19 - 36 ] ,特别地 ,文献[26 - 28 ]的研究代 表了鲁棒模糊推理的最新进展. 综合而言 ,目前所有 的模糊推理的鲁棒性分析方法均是基于 2 类模糊集 的隶属度函数 (MFs) 的绝对差的上界而展开分析 的. 事实上 ,对于实际中产生的噪音 ,可以假设它的 均值为 0 ,并且标准差很小. 这就意味着鲁棒性分析 必须建立在下面 2 个基础假设之上 :1) 实际数据与 真实数据间的均值应保持不变 ,且方差也不会由于 噪音的存在而产生较大幅度的增大. 2) 在失真的数 据上作任何的鲁棒性讨论是没有现实意义的. 所以 从统计学的观点来看 ,前面的一些定义是不全面的 , 应以均值与标准差的概论为视角 ,研究分析模糊推 理的鲁棒性. 据此提出了ε2统计相等的概念 ,并理论 上探讨了在使用不同的模糊推理方法时它们的均值 与方差将会产生怎样的变化 ,分析所得的结果将有助 于在设计模糊逻辑系统时选择最佳的模糊推理方法. 文中提出了在模糊集上的ε2统计等式的概念 , 据此可以理论地推导出模糊推理的统计敏感性. 2 个模糊集的ε2统计相等要求两个模糊集具有相等的 均值与ε相近的方差. 需要指出的是 Ying 在文献 [3 ]中使用概率的方法讨论了模糊推理的平均扰动 , 从这一角度来看 ,本文的工作与此有相似性. 然而与 Ying、Cai 等所做工作显然不同的是 :首先 ,更着重 于均值与标准差的分析 ,且文中的方法是完全基于 统计的 ,这与目前大都数鲁棒性分析方法相吻合 ,更 适合于现实的要求;其次 ,文中的方法由于在ε2统计 相等中使用了非固定变量ε而具有更好的普遍意义. 1 基本定义和引理 首先定义 2 个模糊集的ε2统计相等的概念 ,设 U 是某一具有概率分布 P ( x) 的论域 , A 和 B 是 U 上的 2 个模糊集 ,μA ( x) 和μB ( x) 分别表示它们各自 的隶属度函数. 假设 A 是 B 的一个扰动 ,从统计学 的角度来看 ,若此扰动很小以至于可以忽略不计 ,那 么 A 与 B 应满足如下条件 : E(μA ( x) - μB ( x) ) = 0 , i. e. E(μA ( x) ) =∫μA ( x) d P( x) = E(μB ( x) ) =∫μB ( x) d P( x) . (1) σ2 (μA ( x) - μB ( x) ) 应该趋向于 0 , i. e. σ2 (μA ( x) ) ≈σ2 (μB ( x) ) . (2) 此处 E( ·) 和σ2 ( ·) 分别表示求均值与方差. 对于 上面的条件 ,等价于当扰动足够小时 ,μA ( x) 应逼近 于μB ( x) ,同时σ2 (μA ( x) ) 也应逼近于σ2 (μB ( x) ) . 这样可以对模糊集引入如下的统计相等的定义. 定义 1 令 U 是某一具有概率分布 P ( x) 的论 域 , A 和 B 是 U 上的 2 个模糊集 ,μA ( x) 和μB ( x) 分 别为它们的连续 MFs , 假设 B 是 A 一个扰动 , 即 ΠxμB ( x) =μA ( x) +δA ( x) ,此处δA ( x) 表示独立随 机噪声 ,满足 E(δA ( x) ) = 0 ,则如果下面几个公式同 时满足 ,则称 A 与 Bε2统计相等 ,记为 B = (ε) A . E(μA ( x) ) = E(μB ( x) ) , (3) max σ2 (μA ( x) ) σ2 (μB ( x) ) , σ2 (μB ( x) ) σ2 (μA ( x) ) < 1 +ε, 0 <ε< 1 (4) 为讨论的方便, 不失一般性, 可假设σ2 (μB ( x) ) > σ2 (μA ( x) ) ,则式(4) 可简化如下 : σ2 (μB ( x) ) σ2 (μA ( x) ) < 1 +ε≡ σ2 (δA ( x) ) σ2 (μA ( x) ) <ε. (5) 定义 2 1) 令 0 <ε1 ,ε2 < 1 ,ε1 ,ε2 上的算子 ©定义如下 : ε1 ©ε2 =ε1 +ε2 +ε1ε2 . (6) 2) 定义 :矢量 W = ( w1 , w2 , …, wd ) 为 d 维权重矢 量,若满足 wi ∈[0 ,1 ]且 ∑ e i = 1 wi = 1;映射 WM w ∶R n →R 为 d 维权重平均(W M) ,若满足 : W M w ( a1 , a2 , …, ad ) = ∑ d i = 1 wi ai . (7) 基于上述定义 ,显然可得 : ε1 ©ε2 >ε1 ,ε1 Ýε2 >ε2 . min ( a1 , a2 , …, ad ) ≤ W M w ( a1 , a2 , …, ad ) ≤max ( a1 , a2 , …, ad ) . 引理 1 设 A , A′是论域 U 上的 2 个模糊集 , U 中概率分布为 P ( x) , B , B′是论域 V 上的 2 个模糊 集 ,V 中概率分布为 Q ( y) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,令 A ∪B 表示模糊集 A 与 B 的关系并 , A′∪ B′表示模糊集 A′与 B′的关系并 ,且模糊集的关系 并算子定义为 · 85 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第2期 王士同，等：模糊推理的统计敏感性分析 ·59 4auB(x,y以=max(P4(x),s(y以) 引理4设A,A是论域U上的2个模糊集，U 4'uB'(x,y以=max((x,(y以). 中概率分布为Px),B,B是论域V上的2个模糊 那么， 集，V中概率分布为Q(y以，若A'=(6)A,B'= A'UB'=(max()(A UB). 8) ()B,令AB表示模糊集A与B的关系积，AB表 证明首先为证明的方便，引入如下的替代公式： 示模糊集A与B的关系积，且模糊集的关系积算子 max((x,e(y以)≈w1凸(x)+w2(以. 定义为 (9) B(x,以=H4xg(以， 式中：w1+w2=1,w1,w20.这样便有 4a'(x,y以=H'(x),凸烟（以 d(44ug(x,以)≤ 则有AB'=(6⊙S)(AB). (13) fi011dPrwde)+ 证明由4(x)与%(x)的独立性，显然有 E(凸B(x,以)=E(8(x,以)， fics()dPwdew+ 又d(4a(x,以)=d(4(x)d(凸（以）. d(4a(x,以)=d((x)0(a(y) d(4ug(x,y以)= 则有 wid(0(x)+w3d((以)+0(4aus(x,以) 则 GxL-x)dh业< 0(4a(x,以)0(4(x)0((以) O(Lax⊥ (1+6)1+6)=1+6+6+66=1+6©6 0(4aUB(x,以) 1+idL⑧)+n0④边 至此，引理得证 (10) 0(41u8(x,以 2 蕴涵算子的统计敏感性 显然有d(4u(x,y)=wd(4(x)+wd(h(), 又A'=(6)A,B'=()B,则有d(6(x)< 在基于规则的模糊推理中蕴涵算子扮演着十分 Gd(44(x),0(⊙a(x)<d(4s(以).综上可得 重要的角色，本节中将对几类典型的蕴涵算子进行 (un'(x+ 统计敏感性分析.一般地，令I(A,B)表示U到V的 G(4us(x,以) 模糊关系，此关系由规则IF Xis A,THEN Y is B wis d(x))( 上的蕴涵算子所确定 w10(4(x)+w20(4a(以) 定理1当Dienes-Rescher蕴涵算子应用于模 1 max, 糊规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 至此，引理得证 I(A,B)=TUB或者，(x,y以=max(1- 引理2设B=(gA,若令T为A的补，B为B 4(x),g(以)，若A'=()A,B'=()B,则有 的补，即x)=1-4(x),(x)=1-Ma(x),则 1(A',B)=(max{9,)1(A,B).14) 有 证明由引理2，有T=()T;又由引理1，得 B=(9A工 11) UB'=(maxUB.1(A',B =(max 证明证明较为简单，此处从略 {,})I(A,B),则定理得证 引理3设A,A是论域U上的2个模糊集，U 定理2当Lukasiewicz蕴涵算子应用于模糊 中概率分布为P(x),B,B是论域V上的2个模糊 规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 集，V中概率分布为P(以，若A'=(G)A,B'= I(A,B=AXB或者4(x,y=max0,4(x)+ (S)B,令A∩B表示模糊集A与B的关系交，A'∩ a(以-1)， B表示模糊集A与B的关系交，且模糊集的关系 若A'=(9)A,B'=()B则有 交算子定义为 I(A',B)=(maxf9,9)I(A,B).(15) 4anax,以=min(4(x),a(以）， 证明由条件显然可得E(1(A,B)= 巴a'ns'(x,以=min(巴'(x),巴s'(y以) E(I(A,B)),又 则有A'nB'=(min(6,)(AnB). 12) (1(4B))(()= 证明此处证明类似于引理1的证明，故从略。 0(1(A,B) 0(4(x)+0((以) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
μA ∪B ( x , y) = max (μA ( x) ,μB ( y) ) , μA′∪B′( x , y) = max (μA′( x) ,μB′( y) ) . 那么 , A′∪B′= (max (ε1 ,ε2 ) ) ( A ∪B) . (8) 证明 首先为证明的方便,引入如下的替代公式: max (μA ( x) ,μB ( y) ) ≈ w1μA ( x) + w2μB ( y) . (9) 式中 :w1 + w2 = 1 , w1 , w2 ≥0. 这样便有 σ2 (μA′∪B′( x , y) ) ≤ Uκ×V w 2 1σ2 (δA ( x) ) d P( x) dQ( y) + Uκ×V w 2 2σ2 (δB ( x) ) d P( x) dQ( y) + σ2 (μA ∪B ( x , y) ) = w 2 1σ2 (δA ( x) ) + w 2 2σ2 (δB ( y) ) +σ2 (μA ∪B ( x , y) ) . 则 σ2 (μA′∪B′( x , y) ) σ2 (μA ∪B ( x , y) ) ≤ 1 + w 2 1σ2 (δA ( x) ) + w 2 2σ2 (δB ( y) ) σ2 (μA ∪B ( x , y) ) . (10) 显然有σ2 (μA ∪B ( x , y)) • w 2 1σ2 (μA ( x)) + w 2 2σ2 (μB ( y)) , 又 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B , 则有 σ2 (δA ( x ) ) < ε1σ2 (μA ( x) ) ,σ2 (δB ( x) ) <ε2σ2 (μB ( y) ) . 综上可得 σ2 (μA′∪B′( x , y) ) σ2 (μA ∪B ( x , y) ) < 1 + w 2 1ε1σ2 (μA ( x) ) + w 2 2ε2σ2 (μB ( y) ) w 2 1σ2 (μA ( x) ) + w 2 2σ2 (μB ( y) ) < 1 + max{ε1 ,ε2 } . 至此 ,引理得证. 引理 2 设 B = (ε) A ,若令 A 为 A 的补 , B 为 B 的补 ,即μA ( x) = 1 - μA ( x) ,μB ( x) = 1 - MB ( x) ,则 有 B = (ε) A. (11) 证明 证明较为简单 ,此处从略. 引理 3 设 A , A′是论域 U 上的 2 个模糊集 , U 中概率分布为 P ( x) , B , B′是论域 V 上的 2 个模糊 集 ,V 中概率分布为 P ( y) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,令 A ∩B 表示模糊集 A 与 B 的关系交 , A′∩ B′表示模糊集 A′与 B′的关系交 ,且模糊集的关系 交算子定义为 μA ∩B ( x , y) = min (μA ( x) ,μB ( y) ) , μA′∩B′( x , y) = min (μA′( x) ,μB′( y) ) . 则有 A′∩B′= (min (ε1 ,ε2 ) ) ( A ∩B) . (12) 证明 此处证明类似于引理 1 的证明 ,故从略. 引理 4 设 A , A′是论域 U 上的 2 个模糊集 , U 中概率分布为 P ( x) , B , B′是论域 V 上的 2 个模糊 集 ,V 中概率分布为 Q ( y) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,令 A B 表示模糊集 A 与 B 的关系积 , A′B′表 示模糊集 A′与 B′的关系积 ,且模糊集的关系积算子 定义为 μAB ( x , y) = μA ( x)μB ( y) , μA′B′( x , y) = μA′( x) ,μB′( y) . 则有 A′B′= ( (ε1 ©ε2 ) ) ( A B) . (13) 证明 由 μA ( x ) 与 μB ( x ) 的独立性 , 显然有 E(μAB ( x , y) ) = E(μA′B′( x , y) ) , 又σ2 (μAB ( x , y) ) =σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) . σ2 (μA′B′( x , y) ) =σ2 (μA′( x) )σ2 (μB′( y) ) . 则有 σ2 (μA′B′( x , y) ) σ2 (μAB ( x , y) ) = σ2 (μA′( x) )σ2 (μB′( y) ) σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) < (1 +ε1 ) (1 +ε2 ) = 1 +ε1 +ε2 +ε1ε2 = 1 +ε1 ©ε2 . 至此 ,引理得证. 2 蕴涵算子的统计敏感性 在基于规则的模糊推理中蕴涵算子扮演着十分 重要的角色 ,本节中将对几类典型的蕴涵算子进行 统计敏感性分析. 一般地 ,令 I ( A , B) 表示 U 到 V 的 模糊关系 ,此关系由规则 IF X is A , T HEN Y is B 上的蕴涵算子所确定. 定理 1 当 Dienes2Rescher 蕴涵算子应用于模 糊规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I ( A , B ) = A ∪B 或者μI ( x , y ) = max ( 1 - μA ( x) ,μB ( y) ) ,若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . (14) 证明 由引理 2 ,有 A′= (ε1 ) A ;又由引理 1 ,得 A′∪B′= (max{ε1 ,ε2 }) A ∪B ,即 I ( A′, B′) = (max {ε1 ,ε2 }) I ( A , B) ,则定理得证. 定理 2 当 Lukasiewicz 蕴涵算子应用于模糊 规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I( A , B) = A ×B 或者μI ( x , y) = max (0 ,μA ( x) + μB ( y) - 1) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . (15) 证明 由条件显 然可得 E ( I ( A′, B′) ) = E( I( A , B) ) ,又 σ2 ( I( A′, B′) ) σ2 ( I( A , B) ) = σ2 (μA′( x) ) +σ2 (μB′( y) ) σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μB ( y) ) = 第 2 期 王士同 ,等 :模糊推理的统计敏感性分析 · 95 ·
·60. 智能系统学报 第2卷 1+ d16x)+d16L (1+9)(1+)=1+号+6+99=1+9⊙9. (4(x)+d((以) 至此定理得证 1+GL+专GL< d(4(x)+0(s(以) 3广义肯定前提式与广义否定后件式 1+max{,5}. 的统计敏感性分析 至此，定理得证 3.1广义肯定前提式的统计敏感性分析 定理3当Zadeh蕴涵算子应用于模糊规则上 模糊推理的通常形式是广义肯定前提式，它可 F Xis A,THEN Y is B时，即 表述如下： I(A,B)=AU(A∩B)或者凸(x,以= 前件：IF Xis A,THEN Y is B, max(1-(x)min((x)(y))). 事实：XisC, 若A=(9)A,B'=(5)B则有 后件：YisD. I(A'.B)=(max)1(A,B) 其中X和y是语义变量，A与C是论域U上 证明由引理2可得，T=(6)工又由引理1 的模糊集，B与D是论域V上的模糊集，通常D规 与引理3可得， 定如下： TUA'∩B)= 4(=s1(c(xW,4-(x,以)，y∈V (max!6,max(nB) 式中：（表示1为模算子，→表示一个蕴涵算子 (max)(A nB) 这里将给出几种特定的连接与蕴涵算子下的广义 则此定理得证 肯定前提式的统计敏感性， 定理41)当Mamdani min蕴涵算子应用于模 定理6当广义肯定前提式中使用min连接与 糊规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 Dines-Rescher蕴涵算子时，即 I(A,B)=A∩B」 若A'=(6)A,B'=()B则有 4o()=Bmin((), I(A',B)=(max{6,6})1(A,B). 16) max1-4a(x),(以). (19) 2)若用Mamdani积算子替代Mamdani min算 若A'=()A,B'=(S)B且C'=()C则有 子则式(16)结论变成如下的形式： D'=(max{9,号，s)D. 20) I(A',B)=G©)IA,B 17) 证明从统计学的观点看来，对于·，) 证明上述定理可由引理34直接导出 并不改变其敏感性，则结合前面的结论，显然有 定理5当Reichenbach蕴涵算子应用于模糊 E(D)=E(D),且 规则IF Xis A,THEN Y is B上时，即 d以<1+max(,max5,s》d(h( d边< 0(4(y) I(A.B)=AB. 1+maxs,,5). 若A=(G)A,B=(5)B则有 则定理得证 1A',B)=(6©)1(A,B (18) 与定理6类似，可以轻易地得到如下的定理 证明由于4(x,以=1-4(x+4((y, 定理7对于下面3种情况定理6的结论仍成 A'=(9)A,B'=(6)B,显然可得E(I(A',B))= 立，I)当广义肯定前提式中使用min连接与Liks E(I(A,B)). iewicz蕴涵算子时，2)当广义肯定前提式中使用 又0（凸a.(x,以）=0(1-凸(x)+ min连接与Zadeh蕴涵算子时；3)当广义肯定前提 0(44(x)d(凸s(以)= 式中使用min连接与Mamdani蕴涵算子时 2(4(x)+0(山(x)0(4(y)= 定理8当广义肯定前提式中使用min连接与 0(4(x)+0(4(x)2(a(x)· Mamdani积蕴涵算子时，即 d(4aB2(x,以). Hoy=smin(c(x,4(WHa(以)， 出-出 若A=(G)A,B'=(6)B且C'=G)C则有 1+)1+1+sLL D'=(max{号，6⊙s})D. 21) 1+0(a(y) 证明上述结论可由引理34或定理4直接导 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
1 + σ2 (δA ( x) ) +σ2 (δB ( y) ) σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μB ( y) ) < 1 + ε1σ2 (μA ( x) ) +ε2σ2 (μB ( y) ) σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μB ( y) ) < 1 + max{ε1 ,ε2 } . 至此 ,定理得证. 定理 3 当 Zadeh 蕴涵算子应用于模糊规则上 IF X is A , T HEN Y is B 时 ,即 I ( A , B) = A ∪( A ∩B) 或者μI ( x , y) = max (1 - μA ( x) ,min (μA ( x) ,μB ( y) ) ) . 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . 证明 由引理 2 可得 , A′= (ε1 ) A ,又由引理 1 与引理 3 可得 , A′∪( A′∩B′) = (max{ε1 ,max{ε1 ,ε2 }}) A ∪( A ∩B) = (max{ε1 ,ε2 }) A ∪( A ∩B) . 则此定理得证. 定理 4 1) 当 Mamdani min 蕴涵算子应用于模 糊规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I ( A , B) = A ∩B , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) . (16) 2) 若用 Mamdani 积算子替代 Mamdani min 算 子则式(16) 结论变成如下的形式 : I( A′, B′) = (ε1 ©ε2 ) I ( A , B) . (17) 证明 上述定理可由引理 3、4 直接导出. 定理 5 当 Reichenbach 蕴涵算子应用于模糊 规则 IF X is A , T HEN Y is B 上时 ,即 I ( A , B) = A B, 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 则有 I( A′, B′) = (ε1 ©ε2 ) I ( A , B) . (18) 证明 由于μI ( x , y) = 1 - μA ( x) +μA ( x)μB ( y) , A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B ,显然可得 E( I ( A′, B′) ) = E( I( A , B) ) . 又σ2 (μI( A , B) ( x , y) ) =σ2 ( I - μA ( x) ) + σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) = σ2 (μA ( x) ) +σ2 (μA ( x) )σ2 (μB ( y) ) = σ2 (μA′( x) ) +σ2 (μA′( x) )σ2 (μB′( x) ) · σ2 (μI( A′, B′) ( x , y) ) . 则 σ2 (μI(A′,B′) ( x , y) ) σ2 (μI(A ,B) ( x , y)) = σ2 (μA′( x)) σ2 (μA ( x)) · 1 +σ2 (μB′( y)) 1 +σ2 (μB ( y)) < (1 +ε1 ) · 1 + (1 +ε2 )σ2 (μB ( y) ) 1 +σ2 (μB ( y) ) < (1 +ε1 ) (1 +ε2 ) = 1 +ε1 +ε2 +ε1ε2 = 1 +ε1 ©ε2 . 至此定理得证. 3 广义肯定前提式与广义否定后件式 的统计敏感性分析 3. 1 广义肯定前提式的统计敏感性分析 模糊推理的通常形式是广义肯定前提式 ,它可 表述如下 : 前件 : IF X is A , T HEN Y is B , 事实 : X is C, 后件 : Y is D. 其中 X 和 Y 是语义变量 , A 与 C 是论域 U 上 的模糊集 , B 与 D 是论域 V 上的模糊集 ,通常 D 规 定如下 : μD ( y) = sup x ∈U t (μC ( x) ,μA →B ( x , y) ) , Πy ∈V . 式中 :t( ·) 表示 t 为模算子 , →表示一个蕴涵算子 , 这里将给出几种特定的 t2连接与蕴涵算子下的广义 肯定前提式的统计敏感性. 定理 6 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Dines2Rescher 蕴涵算子时 ,即 μD ( y) = sup x ∈U min (μC ( x) , max (1 - μA ( x) ,μB ( y) ) ) . (19) 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 且 C′= (ε3 ) C 则有 D′= (max{ε1 ,ε2 ,ε3 }) D. (20) 证明 从统计学的观点看来 ,对于 ·, sup x ∈U ( ·) 并不改变其敏感性 , 则结合前面的结论 , 显然有 E( D′) = E( D) ,且 σ2 (μD′( y)) σ2 (μD ( y) ) < 1 + max(ε3 ,max(ε1 ε, 2 ) ) σ2 (μD′( y) ) σ2 (μD ( y) ) < 1 + max (ε3 ,ε1 ,ε2 ) . 则定理得证. 与定理 6 类似 ,可以轻易地得到如下的定理. 定理 7 对于下面 3 种情况定理 6 的结论仍成 立 ,1) 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Liks2 iewicz 蕴涵算子时 ; 2) 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Zadeh 蕴涵算子时 ;3) 当广义肯定前提 式中使用 min 连接与 Mamdani 蕴涵算子时. 定理 8 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Mamdani 积蕴涵算子时 ,即 μD ( y) = sup x ∈U min (μC ( x) ,μA ( x)μB ( y) ) , 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 且 C′= (ε3 ) C 则有 D′= (max{ε3 ,ε1 ©ε2 }) D. (21) 证明 上述结论可由引理 3、4 或定理 4 直接导 · 06 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷
第2期 王士同，等：模糊推理的统计敏感性分析 *61* 出 出 定理9 当广义肯定前提式中使用min连接与 当用积连接或Lukasiewicz连接替代广义肯定 Reichenbach蕴涵算子时，即 前提式中的min连接时，相应的统计敏感性可以使 p(y)supmin(He(x), 用相似的方法求得.一般地，若令A'=(G)A,B'= 1-4a(x),4a(x)·s(以) )B,C=)C,则，6，与e间的关系可归纳 若A=(9)A,B=()B且C'=(S)C则有 如表1所示.由于⊙和max为放大算子，所以在所 D'=(max{s,6回)D (22) 有情况下获得的ε值应是￡，6,6上的放大运算， 证明上述结论可由引理3和引理5直接导 表1结果很好地证实了这一点。 表1广义肯定前提式在使用不同的连接与蕴涵算子时的统计敏感性 Table 1 Statistical sensitivity of generalized modus ponens under various conjunctions and implication operators Dienes Rescher Lukasiewicz Mamdani min Mamdani Reichenbach 连接 Zadeh蕴涵 蕴涵 蕴涵 蕴涵 积蕴涵 蕴涵 min连接 max max{6,5,6} max/6,,与} max. max/6,6,} maxf6,f⊙5} 6+1+)X 5+(1+5)× 积连接 s©maxf6,5} s⊙max{9,5}s⊙maxf9,5}5©max{9,5/ (9⊙9) (6⊙5) Lukasiewicz max{6,6,与}max{9,5,5}max{6,,/max{,6,6} max{5,6⊙9}max{5,6⊙5} 连接 3.2广义否定后件式 糊推理归纳出一个U到W的模糊关系，等价于： 另一个基本的模糊推理形式是广义否定后件 hx,=s(Ha,副(x,》,Aacy,), 式，它可表述如下： x∈U,:∈W. 24) 前件：IF Xis A,THEN Y is B, 其中：1()表示r模算子，1(A,B)与前件条件1相 事实：YisD, 后件：XisC 关，1(B1,G)与前件条件2相关，则可知R仅仅是1 等价于（以=s里o(以，(x,).(23别 (A,B)与1(B1,G)的一个合成.这样便可以用前面 前面分析广义肯定前提式的统计敏感性的方法 同样的方法推导出链接模糊推理在采用不同连接与 同样适用于分析广义否定后件式的统计敏感性，若 蕴涵算子时的统计敏感性，表2中列出了详细的分 交换广义肯定前提式中的C与D,同样令A'= 析结果.从表2中可以明显地看出，链接模糊推理的 ()A,B'=()B,C'=(S)C,则可分析得出广义否 后件部分具有较大的扰动量，由分析知这主要是由 定后件式的统计敏感性相等于广义肯定前提式的统 于max与⊙算子的同时放大作用而产生的.下面以 计敏感性，其在不同情况下的结果同样可以归纳为 一种情况为例，说明如何推导链接模糊推理的统计 表1所示的结果 敏感性.设采用的2算子分别为min连接与Dienes Rescher蕴涵，则有 4链接模糊推理的统计敏感性 H(x)=supmin(max(1((y) 链接模糊推理是人推理机制的另一种基本形 max1-a,(以，e() 25 式，一般地链接模糊推理能够表述成如下的形式： 若令A'=(6)A、B'=(6)B、B1=(6)B且 前件1：IF Xis A,THEN Y is B, C1=()C,同时令R表示U到W的模糊关系，由 前件2：IF Y is B1,THEN Zis C 定理1知： 后件：IF Xis A,THEN Zis C. 式中：X,Y和Z是语义变量，A是论域U上的 I(A',B)=(max{6,6})1A,B), 模糊集，B与B1是论域V上的模糊集，C与C是 I(B/,C0=(max{1,1)1(B1,Ci). 论域W上的模糊集，根据前件条件1与2，链接模 又由引理3，便可得 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
出. 定理 9 当广义肯定前提式中使用 min 连接与 Reichenbach 蕴涵算子时 ,即 μD ( y) = sup x ∈U min (μC ( x) , 1 - μA ( x) ,μA ( x) ·μB ( y) ) . 若 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B 且 C′= (ε3 ) C则有 D′= (max{ε3 ,ε1 ©ε2 }) D. (22) 证明 上述结论可由引理 3 和引理 5 直接导 出. 当用积连接或 Lukasiewicz 连接替代广义肯定 前提式中的 min 连接时 ,相应的统计敏感性可以使 用相似的方法求得. 一般地 ,若令 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B , C′= (ε3 ) C,则ε1 ,ε2 ,ε3 与ε间的关系可归纳 如表 1 所示. 由于 ©和 max 为放大算子 ,所以在所 有情况下获得的ε值应是ε1 ,ε2 ,ε3 上的放大运算 , 表 1 结果很好地证实了这一点. 表 1 广义肯定前提式在使用不同的连接与蕴涵算子时的统计敏感性 Table 1 Statistical sensitivity of generalized modus ponens under various conjunctions and implication operators 连接 Dienes2Rescher 蕴涵 Lukasiewicz 蕴涵 Zadeh 蕴涵 Mamdani min 蕴涵 Mamdani 积蕴涵 Reichenbach 蕴涵 min 连接 max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε3 ,ε1 ©ε2 } 积连接 ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 ©max{ε1 ,ε2 } ε3 + (1 +ε3 ) × (ε1 ©ε2 ) ε3 + (1 +ε3 ) × (ε1 ©ε2 ) Lukasiewicz 连接 max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε1 ,ε2 ,ε3 } max{ε3 ,ε1 ©ε3 } max{ε3 ,ε1 ©ε2 } 3. 2 广义否定后件式 另一个 基本的模糊推理形式是广义否定后件 式 ,它可表述如下 : 前件 : IF X is A , T HEN Y is B , 事实 : Y is D , 后件 : X is C. 等价于μC ( y) = sup y ∈V (μD ( y) ,μA →B ( x , y) ) . (23) 前面分析广义肯定前提式的统计敏感性的方法 同样适用于分析广义否定后件式的统计敏感性 ,若 交换广义肯定前提式中的 C 与 D , 同样令 A′= (ε1 ) A , B′= (ε2 ) B , C′= (ε3 ) C,则可分析得出广义否 定后件式的统计敏感性相等于广义肯定前提式的统 计敏感性 ,其在不同情况下的结果同样可以归纳为 表 1 所示的结果. 4 链接模糊推理的统计敏感性 链接模糊推理是人推理机制的另一种基本形 式 ,一般地链接模糊推理能够表述成如下的形式 : 前件 1 : IF X is A , T H EN Y is B , 前件 2 : IF Y is B1 , TH EN Z is C1 , 后件 : IF X is A , TH EN Z is C. 式中 : X , Y 和 Z 是语义变量 , A 是论域 U 上的 模糊集 , B 与 B 1 是论域 V 上的模糊集 , C 与 C1 是 论域 W 上的模糊集 ,根据前件条件 1 与 2 ,链接模 糊推理归纳出一个 U 到 W 的模糊关系 ,等价于 : μR ( x , z) = sup y ∈V t (μI( A , B) ( x , y) ,μI( B1 , C1 ) ( y , z) ) , Πx ∈U , z ∈W . (24) 其中 :t( ·) 表示 t2模算子 , I ( A , B) 与前件条件 1 相 关 , I( B1 , C1 ) 与前件条件 2 相关 ,则可知 R 仅仅是 I ( A , B) 与 I ( B1 , C1 ) 的一个合成. 这样便可以用前面 同样的方法推导出链接模糊推理在采用不同连接与 蕴涵算子时的统计敏感性 ,表 2 中列出了详细的分 析结果. 从表 2 中可以明显地看出 ,链接模糊推理的 后件部分具有较大的扰动量 ,由分析知这主要是由 于 max 与 ©算子的同时放大作用而产生的. 下面以 一种情况为例 ,说明如何推导链接模糊推理的统计 敏感性. 设采用的 2 算子分别为 min 连接与 Dienes2 Rescher 蕴涵 ,则有 μR ( x , z) = sup y ∈V min (max (1 - μA ( x) ,μB ( y) ) , max (1 - μB1 ( y) ,μC1 ( z) ) ) . (25) 若令 A′= (ε1 ) A 、B′= (ε2 ) B 、B′1 = (ε21 ) B 且 C′1 = (ε31 ) C1 ,同时令 R′表示 U 到 W 的模糊关系 ,由 定理 1 知 : I( A′, B′) = (max{ε1 ,ε2 }) I ( A , B) , I ( B′1 , C′1 ) = (max{ε21 ,ε31 }) I ( B1 , C1 ) . 又由引理 3 ,便可得 第 2 期 王士同 ,等 :模糊推理的统计敏感性分析 · 16 ·