§2-2传递函数 教学目的:掌握传递函数的概念及求法。 教学重点:求电路系统传递函数。 教学难点:求高阶系统响应 求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因 此对系统的设计分析不便所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的 代数运算可是问题分析大大简化 递函数的概念及意义: 1.传递函数的定义: 线性系统在零初始条件下,输出信号的拉氏变换,与输入拉氏变换之比 线性定长系统微分方程的一般表达式 do ahan d c+axDo dt b x为系统输出量,x为系统输入量。 在初始情况为零时,两端取拉氏变换: a3s"x(s)+a;s"-x(s)+…+anx(s)=bs"x,(s)+…+bnx,(s)(2-23) X(s)X(s)=bosm+blsm-+……+bh-1stbm/(aosn+as-1+……+an1stan) (2-24) X(s)输出量的拉氏变换 X(s)输入量的拉氏变换 Ws)系统或环节的传递系数。 2.传递函数的两种表达形式: 1)W(s=X(s)Xf(s)=bos+ bi sm-+……+ bm-1 s+bm/(aos+as1+…+anls+an) =K(S+Z1)S+Z2)……(S+Zm)/{(S+P1)(S+P2)…(S+Pn)} =Kgm1=1(S+Z)/∏=1(S+P) 2)W(s X(s)Xr(sbm(dosm+dI Sm-1+.+1/an(co sn+cI S-I++D)) =K(TS+1)2S+1)…(ImS+1y/{(T1S+1)T2S+1)…(T3S+1)} -Kgm=1(TiS+1)/n=I(TS+ (2-26) 其中,Z,-系统的零点;P}-系统极点 3.关于传递函数的几点说明: 1)传递函数的概念只适应于线性定常系统。 2)传递函数只与系统本身的特性参数有关,与输入量怎样变化无关 3)传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律 传递函数分子多项式阶次低于至多等于分母多项式的阶次 4.传递函数求法:
§2—2 传递函数 教学目的：掌握传递函数的概念及求法。 教学重点：求电路系统传递函数。 教学难点：求高阶系统响应。 求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因 此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的 代数运算,可是问题分析大大简化. 一.递函数的概念及意义： 1. 传递函数的定义： 线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换,与输入拉氏变换之比. 线性定长系统微分方程的一般表达式: a a a a x b m bm xr r m n c c n n c n n c n dt d x dt dx dt d x dt d x + + + + = + + − − − 1 1 0 1 0 1 xc 为系统输出量， xr 为系统输入量。 在初始情况为零时，两端取拉氏变换： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 a s x s a s x s a x s b s x s b x s r m r m c n c n c n + + + = + + − （2—23） Xc(s)/Xr(s)=b0 s m+b1 s m-1+……+bm-1 s+bm/(a0 s n+a 1s n-1+……+an-1 s+an) =W(s) (2-24) Xc(s)输出量的拉氏变换 Xr(s)输入量的 拉氏变换 W(s) 系统或环节的传递系数。 2. 传递函数的两种表达形式： 1） W(s)= Xc(s)/Xr(s)=b0 s m+b1 s m-1+……+bm-1 s+bm/(a0 s n+a 1s n-1+……+an-1 s+an) = Kg(S+Z1)(S+Z2)……(S+Zm)/{(S+P1)(S+P2)……(S+Pn)} =Kg mI=1 (S+Zi) / n j=1 (S+Pj) (2-25) 2）W(s)= Xc(s)/Xr(s)=bm(d0s m+d1 sm-1+……+1)/{an(c0 s n+c1 s n-1+……+1)} =K(T1 S+1)(T2 S+1)……(Tm S+1)/{(T’1 S+1)(T ‘ 2S+1)……(T ‘ 3S+1)} =KgmI=1 (TiS+1) /n j=1 (TjS+1) (2-26) 其中，Zi, - 系统的零点；Pj-系统极点 3. 关于传递函数的几点说明： 1）传递函数的概念只适应于线性定常系统。 2）传递函数只与系统本身的特性参数有关，与输入量怎样变化无关。 3）传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 传递函数分子多项式阶次低于至多等于分母多项式的阶次。 4. 传递函数求法：
图2-6 输入量Xr=u,输出量Xc=i。列回路电压方程: =Ri (2-27) dt Ep Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) (2-28) 经整理得:Xc=1R (2-29) Xr(s) TIs+I 其中T=二,RL一电路的时间常数 二、典型环节的传递函数及暂态特性 无论身漠阳的系统都是由各环节构成,知道了各典型环节的传递函数就不难 求出系统的传递函数,从而对系统进行分析。 1.比例环节(无惯性环节) 图2-7 1)传递函数Xc=kXr k一环节放大系数 两边取拉氏变换,得环节传递函数。 W(s- Xc(s) (2-30) Xr(s) 2)输入输出变化曲线
图 2-6 输入量 Xr=u ，输出量 Xc=i。列回路电压方程： u=Ri+L dt di （2—27） 即 Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28） 经整理得： ( ) ( ) Xr s Xc s = 1 1/ Tls + R （2—29） 其中 Tl= R L ,RL—电路的时间常数。 二、典型环节的传递函数及暂态特性 无论身漠阳的系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难 求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。 1. 比例环节（无惯性环节） 图 2-7 1）传递函数 Xc=kXr k—环节放大系数 两边取拉氏变换，得环节传递函数。 W(s)= ( ) ( ) Xr s Xc s =k (2-30) 2)输入输出变化曲线 R i u L Xr Xc
图2-8 3)方框图 (s) K 图 2.惯性环节 (1)传递函数:w(s)=Xe(s)X(s=K(IS+1) (2-31) 特点:只含一个储能元件。如RC电路(举例) 单位阶响应:XC(S=(K/S+1)S)=(KmD(S(S+1/m) (2-32) XCsFAo/S+A1/S+lT) Ao=(K/T/S/(S+l/T)s-0=K Al=(K/T(S+1/(s(S+1/S)s-I/T=-K 所以Xc(S)=KSK/S+1/D 拉氏变换得:XC(T=K(1-L) (2-33) (2)变化曲线(K=1) 2-10
图 2-8 3）方框图 图 2-9 2．惯性环节： （１）传递函数：ｗ（ｓ）＝Xc（s）/Xr(s)=K/(TS+1) ( 2—31) 特点：只含一个储能元件。如 RC 电路(举例) 单位阶响应：XC(S)=(K/TS+1)(!/S)=(K/T)/(S(S+1/T)) (2—32) XC(S)=A0/S+A1/(S+1/T) A0=(K/T)/(S/(S+1/T))|S=0=K A1=(K/T)(S+1/T)/(S(S+1/S))|S=1/T=-K 所以 XC(S)=K/S—K/(S+1/T) 拉氏变换得：XC(T)=K(1-L -T/L) (2—33) (2) 变化曲线（K=1） 图 2-10 0 t x0 K Xr(s) Xc(s) Xr Xc t 0
(3)方框图 XH(S) Xd(S) 图2-11 3.积分环节 图 (1)传递函数: 例:伺服机由直流电动机通过减速器与输出轴相连 输入量UR,输出量φε略去电磁惯性和机械惯性 u=KUgo‘=K2OG=KKU 又ω=d中c/dt= K,K2UR KK2比例常数 初始为零时拉氏变换:中c(S)=KK2(1/S)U(S)=(K/S)U(S) 所以传递函数W(S)=中c(S)/Uk(S)=K/S 当输入U为阶跃函数时,则输出Φc(T)=KTU2 (2)输入输出变化曲线 图2-13
(3) 方框图 图 2-11 3．积分环节 图 2-12 (1)传递函数： 例：伺服机由直流电动机通过减速器与输出轴相连。 输入量 UR ，输出量 φC.略去电磁惯性和机械惯性 ω=K1UR ω , =K2ω ω , =K1K2UR 又 ω , =dφc/dt=K1K2UR K1K2比例常数 初始为零时拉氏变换：φC(S)= K1K2(1/S)UR(S)=(K/S)UR(S) 所以 传递函数 W(S)=φC(S)/UR(S)=K/S 当输入 UR为阶跃函数时，则输出 φC(T)=KTUR (2) 输入输出变化曲线 图 2-13 ω‘ φc ω ur t Ur c 0 1 1 TS + Xr(S) XC(S)
(3)方框图 UR(S) K 图2-14 4.微分环节 UrS) Ucs) R (1)传递函数 Ur(SR/(R+1/SC)=Uc(S) W(S)=Uc(S)/Ur(S)=S/(1+TcS)(实用)(2-36) 其中Tc=RC 时间常数 若RC则(理想 (2)变化曲线 X(理想) 图2-15 (3)方框图 US) UrS) UCs) TCS 图2-16 图2-17
（3）方框图 图 2-14 4．微分环节 （1）传递函数 Ur(s)R/(R+1/SC)=Uc(S) W(S)=Uc(S)/Ur(S)= S/(1+TcS) （实用） （2-36） 其中 Tc=RC ---- 时间常数 若 RC 则 （理想） （2）变化曲线 图 2-15 （3）方框图 图 2-16 图 2-17 T S T S C C 1+ TCS Ur(S) UC(S) Xc(理想) Xr Xc(实际) S K c U (S) R(S) TCS Ur(S) UC(S) SC 1 Ur(S) UC(S) i R