第4讲万有引力与航天 开普勒行星运动定律 1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的 面积。 3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值 都相等,表达式:=k。 、万有引力定律 1.公式:F=(2,其中G=6.67×10-1N·m/kg,叫引力常量。 2.公式适用条件:此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本 身的大小时,物体可视为质点。均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离。一个均匀球体 与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r为球心到质点间的距离 三、卫星运行规律和宇宙速度 1.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合 (2)周期一定:与地球自转周期相同,即7=24h=86400s。 (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同 (4)高度一定:据 mr得r=1/umF 2=4.24×10km,卫星离地面高度h 4 R≈5.6R(为恒量)。 (5)速率一定:运行速度=2xr 3.08km/s(为恒量) (6)绕行方向一定:与地球自转的方向一致。 2.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖 (②)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近 似认为等于地球的半径,其运行线速度约为7.9km/s (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心 3.三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s) 意义 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度,若7.9 宙速度 km/s≤κ<11.2km/s,物体绕地球运行(环绕速度) 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,若11.2 宙速度 112 km/s≤κ<16.7km/s,物体绕太阳运行(脱离速度) 第三宇 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,若
- 1 - 第 4 讲 万有引力与航天 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的 面积。 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值 都相等，表达式：a 3 T 2＝k。 二、万有引力定律 1．公式：F＝G m1m2 r 2 ，其中 G＝6.67×10－11 N·m2 /kg2，叫引力常量。 2．公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本 身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。一个均匀球体 与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。 三、卫星运行规律和宇宙速度 1．地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T＝24 h＝86 400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。 (4)高度一定：据 G Mm r 2＝m 4π2 T 2 r 得 r＝ 3 GMT 2 4π2＝4.24×104 km，卫星离地面高度 h＝r－ R≈5.6R(为恒量)。 (5)速率一定：运行速度 v＝ 2πr T ＝3.08 km/s(为恒量)。 (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 2．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近 似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 3．三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇 宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕地球运行(环绕速度) 第二宇 宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若 11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体绕太阳运行(脱离速度) 第三宇 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若
宙速度 ≥16.7km/s,物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间 运行(逃逸速度) 四、经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的 (2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同的 2.相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关,在不同的参考系中不同 3.经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。 (判断正误,正确的画“√”,错误的画“×” 1.只要知道两个物体的质量和两物体之间的距离,就可以由F=来计算物体间的万 有引力。(×) 2.第一宇宙速度与地球的质量有关。(√) 3.地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×) 4.发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。(×) 5.地球对其表面的物体的万有引力就是物体的重力。(×) 1.(开普勒三定律)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律 可知() A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析行星做椭圆运动,且在不同的轨道上,太阳位于椭圆轨道的一个焦点上,所以A、 B两项错误;根据开普勒第三定律,可知C项正确:对在某一轨道上运动的天体来说,天体与 太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,而题中是两个天体、两个轨道,所以D项错误 答案C 2.(对万有引力定律的理解)一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量 的一半,它的直径也是地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是 它在地球上所受万有引力的() A.0.25倍B.0.5倍C.2.0倍D.4.0倍
- 2 - 宙速度 v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间 运行(逃逸速度) 四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同的。 2．相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。 3．经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。 (判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。) 1．只要知道两个物体的质量和两物体之间的距离，就可以由 F＝G m1m2 r 2 来计算物体间的万 有引力。(×) 2．第一宇宙速度与地球的质量有关。(√) 3．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×) 4．发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。(×) 5．地球对其表面的物体的万有引力就是物体的重力。(×) 1．(开普勒三定律)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律 可知( ) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析 行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，所以 A、 B 两项错误；根据开普勒第三定律，可知 C 项正确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与 太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以 D 项错误。 答案 C 2．(对万有引力定律的理解)一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量 的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是 它在地球上所受万有引力的( ) A．0.25 倍 B．0.5 倍 C．2.0 倍 D．4.0 倍
2G6m 解析由F引= 2F地,故C项正确 答案C 3.(卫星的运动)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经在轨运 行的“天宫二号”成功对接形成“组合体”。对接后的“组合体”仍在“天宫二号”的轨道 上运行。“组合体”和“天宫二号”运动的轨道均可视为圆轨道,“组合体”和“天宫二号” 相比,“组合体”运行的() A.周期变小 B.角速度变大 C.动能变大 D.向心加速度变小 解析因“组合体”和“天宫二号”在相同的轨道上做匀速圆周运动,可知“组合体” 和“天宫二号”相比具有相同的周期、速度、角速度和向心加速度,但是由于组合体的质量 变大,则动能变大,C项正确。 答案C 4.(对宇宙速度的理解)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与 通信系统(CNSS),建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于 其中的5颗同步卫星,下列说法正确的是() A.它们运行的线速度一定不小于7.9km/s B.地球对它们的吸引力一定相同 C.一定位于赤道上空同一轨道上 D.它们运行的加速度一定相同 解析同步卫星运行的线速度一定小于7.9km/s,A项错误;由于5颗同步卫星的质量 不一定相等,所以地球对它们的吸引力不一定相同,B项错误;5颗同步卫星一定位于赤道上 空同一轨道上,它们运行的加速度大小一定相等,方向不相同,C项正确,D项错误。 答案C 考点1天体质量和密度的计算 考|点|速|通 天体质量及密度的估算方法 典|例|微|探 【例1】(多选)1798年,英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,因此卡文迪许 被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球 半径R,地球上一个昼夜的时间η(地球自转周期),一年的时间Z(地球公转周期),地球中心 到月球中心的距离L,地球中心到太阳中心的距离L。你能计算出() A.地球的质量m地G
- 3 - 解析 由 F 引＝ GMm r 2 ＝ 1 2 GM0m ( r0 2 ) 2 ＝ 2GM0m r 2 0 ＝2F 地，故 C 项正确。 答案 C 3．(卫星的运动)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运 行的“天宫二号”成功对接形成“组合体”。对接后的“组合体”仍在“天宫二号”的轨道 上运行。“组合体”和“天宫二号”运动的轨道均可视为圆轨道，“组合体”和“天宫二号” 相比，“组合体”运行的( ) A．周期变小 B．角速度变大 C．动能变大 D．向心加速度变小 解析 因“组合体”和“天宫二号”在相同的轨道上做匀速圆周运动，可知“组合体” 和“天宫二号”相比具有相同的周期、速度、角速度和向心加速度，但是由于组合体的质量 变大，则动能变大，C 项正确。 答案 C 4．(对宇宙速度的理解)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与 通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括 5 颗同步卫星和 30 颗一般轨道卫星。对于 其中的 5 颗同步卫星，下列说法正确的是( ) A．它们运行的线速度一定不小于 7.9 km/s B．地球对它们的吸引力一定相同 C．一定位于赤道上空同一轨道上 D．它们运行的加速度一定相同 解析 同步卫星运行的线速度一定小于 7.9 km/s，A 项错误；由于 5 颗同步卫星的质量 不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，B 项错误；5 颗同步卫星一定位于赤道上 空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，C 项正确，D 项错误。 答案 C 考点 1 天体质量和密度的计算 考|点|速|通 天体质量及密度的估算方法 典|例|微|探 【例 1】 (多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量 G，因此卡文迪许 被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球 半径 R，地球上一个昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心 到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2。你能计算出( ) A．地球的质量 m 地＝ gR 2 G
4π2f B.太阳的质量m太=G C.月球的质量m4x2 D.可求月球、地球及太阳的密度 [解题指导]利用万有引力提供向心力估算天体质量时,只能估算中心天体的质量,并 非环绕天体的质量 解析对地球表面的一个物体来说,应有m·所以地球质量m感,A项正 确:对地球绕太阳运动来说,有 42l2 地gl2,则m=GB 项正确:对月球绕地球 运动来说,能求地球质量,不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量,无法求出它的质 量和密度,C、D两项错误。 答案AB 估算天体质量和密度时应注意的问题 1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的 质量,并非环绕天体的质量 区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有r≈R计算天体 密度时,=六I中的R只能是中心天体的半径。 题|组|冲 1.已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍,某行星的同步卫星轨道半径约为 该行星半径的3倍,该行星的自转周期约为地球自转周期的一半,那么该行星的平均密度与 地球平均密度之比约为() 解析根据 mn,解得∥3 因为=丌R,对于地球:r=7R,所以p Fax,对于行星:r=3,所以p“么3,又因为7=27,所以pt:p M3丌×73 M3π 地343≈3,A项正确 答案 2.宇航员乘坐航天飞船,在距月球表面高度为H的圆轨道绕月运行。经过多次变轨最后 登上月球。宇航员在月球表面做了一个实验:将一片羽毛和一个铅球从高度为h处同时以速 度v做平抛运动,二者同时落到月球表面,测量其水平位移为x。已知引力常量为G,月球半 径为R,则下列说法不正确的是()
- 4 - B．太阳的质量 m 太＝ 4π2 L 3 2 GT 2 2 C．月球的质量 m 月＝ 4π2 L 3 1 GT 2 1 D．可求月球、地球及太阳的密度 [解题指导] 利用万有引力提供向心力估算天体质量时，只能估算中心天体的质量，并 非环绕天体的质量。 解析 对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0g＝ Gm地m0 R 2 ，所以地球质量 m 地＝ gR 2 G ，A 项正 确；对地球绕太阳运动来说，有Gm太m地 L 2 2 ＝m 地 4π2 T 2 2 L2，则 m 太＝ 4π2 L 3 2 GT 2 2 ，B 项正确；对月球绕地球 运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质 量和密度，C、D 两项错误。 答案 AB 估算天体质量和密度时应注意的问题 1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的 质量，并非环绕天体的质量。 2．区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天体 密度时，V＝ 4 3 πR 3 中的 R 只能是中心天体的半径。 题|组|冲|关 1．已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 7 倍，某行星的同步卫星轨道半径约为 该行星半径的 3 倍，该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与 地球平均密度之比约为( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 解析 根据 G Mm r 2＝m 4π2 T 2 r，解得 M＝ 4π2 r 3 GT 2 ，因为 V＝ 4 3 πR 3，对于地球：r＝7R，所以 ρ 地 ＝ M V ＝ 3π×73 GT 2 ，对于行星：r′＝3R，所以 ρ 行＝ M V ＝ 3π×33 GT′ 2 ，又因为 T＝2T′，所以 ρ 行∶ρ 地＝ 108 343≈ 1 3 ，A 项正确。 答案 A 2．宇航员乘坐航天飞船，在距月球表面高度为 H 的圆轨道绕月运行。经过多次变轨最后 登上月球。宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铅球从高度为 h 处同时以速 度 v0 做平抛运动，二者同时落到月球表面，测量其水平位移为 x。已知引力常量为 G，月球半 径为 R，则下列说法不正确的是( )
A.月球的质量=2hM B.在月球上发射卫星的第一宇宙速度大小n= C.月球的密度=3h πX2hR D.有一个卫星绕月球表面运行周期7= 解析设平抛运动落地时间为t,根据平抛运动规律,水平方向有x=t,竖直方向h ,解得月球表面重力加速度P在月球表面,有=,解得月球质量36 A项正确;设在月球表面运动的卫星的第一宇宙速度为v,由万有引力定律提供向心力得到 解得=VhR,B项正确;根据密度公式可以得到八sh团F 3hv 32xGπR C项错误:根据公式可以得到卫星绕月球表面运行的周期7= 2IR2IR IN2hR 项 正确 答案C 考点2卫星的运动 考|点|速|通 卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力,即由 可推导出 减小 rNS 当r增大时减小 7增大 7= 减小 典|例|微|探 【例2】(多选)如图所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地 面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法正确的是() A.a、b的线速度大小之比是V2:1
- 5 - A．月球的质量 M＝ 2hv 2 0R 2 Gx 2 B．在月球上发射卫星的第一宇宙速度大小 v1＝ v0 x 2hR C．月球的密度 ρ＝ 3hv 2 0 4πGRx 2 D．有一个卫星绕月球表面运行周期 T＝ πx 2hR v0h 解析 设平抛运动落地时间为 t，根据平抛运动规律，水平方向有 x＝v0t，竖直方向 h ＝ 1 2 g0t 2，解得月球表面重力加速度 g0＝ 2hv 2 0 x 2 ，在月球表面，有 G Mm R 2＝mg0，解得月球质量 M＝ 2hv 2 0R 2 x 2 G ， A 项正确；设在月球表面运动的卫星的第一宇宙速度为 v，由万有引力定律提供向心力得到 G Mm′ R 2 ＝m′ v 2 R ，解得 v＝ v0 x 2hR，B 项正确；根据密度公式可以得到 ρ＝ M V ＝ 2hv 2 0R 2 x 2 G 4 3 πR 3 ＝ 3hv 2 0 2x 2 GπR ， C 项错误；根据公式可以得到卫星绕月球表面运行的周期 T＝ 2πR v ＝ 2πR v0 x 2hR ＝ πx 2hR v0h ，D 项 正确。 答案 C 考点 2 卫星的运动 考|点|速|通 卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由 G Mm r 2＝m v 2 r ＝mrω2＝m 4π2 T 2 r＝man 可推导出： v＝ GM r ω＝ GM r 3 T＝ 4π2 r 3 GM an＝G M r 2 ⇒当 r 增大时 v减小 ω减小 T增大 an减小 典|例|微|探 【例 2】 (多选)如图所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地 面的高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径)。下列说法正确的是( ) A．a、b 的线速度大小之比是 2∶1