D0I:10.13374.issn1001-053x.2011.12.021 第33卷第12期 北京科技大学学报 Vol.33 No.12 2011年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2011 弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解 析解 郭猛”区牟在根》袁泉” 1)北京交通大学土木建筑工程学院，北京1000442)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:quomeng673@163.com 摘要对中高层弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构体系的水平位移计算方法进行了研究.将弯曲型子结构视为仅发生弯曲变 形的悬臂墙，将弯剪型子结构视为同时发生弯曲变形和剪切变形的Timoshenko悬臂墙，在此基础上建立了弯剪型一弯曲型双 重抗侧力结构体系的位移微分方程，结合边界条件，推导了均布荷载等三种荷载下结构的弯曲变形、剪切变形和总水平位移 的解析解.探讨了弯剪型一弯曲型双重结构与剪切形一弯曲形双重结构位移计算方法的关系.结果表明，剪切形一弯曲形双重 结构可视为弯剪型一弯曲型双重结构在弯剪型子结构抗弯刚度取无穷大时的一种特殊表现形式. 关键词框架结构：剪力墙：位移：微分方程：解析解 分类号TU375.4:TU311.1 Analytical solutions of horizontal displacement for the dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures CU0Meng'☒，MU Zai--gen,YUAN Quan” 1)School of Civil Engineering.Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China 2)School of Civil and Environment Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:guomeng673@163.com ABSTRACT A calculation method of horizontal displacement was studied for the dual structure consisting of flexural-shear substruc- tures and flexural substructures.The flexural substructures are regarded as flexural cantilever walls which exhibit a predominantly flex- ural behavior,and the flexural-shear substructures are regarded as Timoshenko cantilever walls which exhibit a mixed flexural/shear be- havior.On the basis of the above assumptions,a differential equation was established for calculating the displacement of the dual struc- ture.With boundary conditions,the analytical solutions of the displacement,including the flexural deformation,the shear deformation and the total horizontal displacement,were derived when the dual structure was subjected to uniform loads.The relation between the dual structure consisting of flexural-shear substructures flexural substructures and that consisting of shear substructures flexural substructures was discussed,and the result shows that the later can be viewed as a special form of the former where the flexural stiffness of the flexural-shear substructures tends to infinity. KEY WORDS structural frames;shear walls;displacement;differential equations;analytical solutions 框架一剪力墙结构属于剪切型一弯曲型双重结 剪刚度相对较大的混凝土墙和抗弯刚度相对较大的 构，简化计算时通常采用连续化协同工作分析方法， 框架而言，具有较高的计算精度，尤其是随着结构总 假定剪力墙仅产生弯曲变形或以等效抗弯刚度近似 高度的增加，计算误差变得很小.对于钢框架一支撑 考虑其剪切变形、框架仅产生剪切变形或以等效抗 结构的位移计算《高层民用建筑钢结构技术规 剪刚度近似考虑其弯曲变形-习，这种假定对于抗 程》回规定将支撑视为弯曲杆件，简化为平面框架一 收稿日期：2010-10-11 基金项目：“十一五”国家科技支撑计划资助项目(2006BAJ04A0205):北京交通大学优秀博士生科技创新基金资助项目(141071522)
第 33 卷 第 12 期 2011 年 12 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 33 No． 12 Dec． 2011 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解 析解 郭 猛1) 牟在根2) 袁 泉1) 1) 北京交通大学土木建筑工程学院，北京 100044 2) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: guomeng673@ 163． com 摘 要 对中高层弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系的水平位移计算方法进行了研究． 将弯曲型子结构视为仅发生弯曲变 形的悬臂墙，将弯剪型子结构视为同时发生弯曲变形和剪切变形的 Timoshenko 悬臂墙，在此基础上建立了弯剪型--弯曲型双 重抗侧力结构体系的位移微分方程，结合边界条件，推导了均布荷载等三种荷载下结构的弯曲变形、剪切变形和总水平位移 的解析解． 探讨了弯剪型--弯曲型双重结构与剪切形--弯曲形双重结构位移计算方法的关系． 结果表明，剪切形--弯曲形双重 结构可视为弯剪型--弯曲型双重结构在弯剪型子结构抗弯刚度取无穷大时的一种特殊表现形式． 关键词 框架结构; 剪力墙; 位移; 微分方程; 解析解 分类号 TU375. 4; TU311. 1 Analytical solutions of horizontal displacement for the dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures GUO Meng1) ，MU Zai-gen2) ，YUAN Quan1) 1) School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China 2) School of Civil and Environment Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: guomeng673@ 163． com ABSTRACT A calculation method of horizontal displacement was studied for the dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures． The flexural substructures are regarded as flexural cantilever walls which exhibit a predominantly flexural behavior，and the flexural-shear substructures are regarded as Timoshenko cantilever walls which exhibit a mixed flexural /shear behavior． On the basis of the above assumptions，a differential equation was established for calculating the displacement of the dual structure． With boundary conditions，the analytical solutions of the displacement，including the flexural deformation，the shear deformation and the total horizontal displacement，were derived when the dual structure was subjected to uniform loads． The relation between the dual structure consisting of flexural-shear substructures ＆ flexural substructures and that consisting of shear substructures ＆ flexural substructures was discussed，and the result shows that the later can be viewed as a special form of the former where the flexural stiffness of the flexural-shear substructures tends to infinity． KEY WORDS structural frames; shear walls; displacement; differential equations; analytical solutions 收稿日期: 2010--10--11 基金项目: “十一五”国家科技支撑计划资助项目( 2006BAJ04A02--05) ; 北京交通大学优秀博士生科技创新基金资助项目( 141071522) 框架--剪力墙结构属于剪切型--弯曲型双重结 构，简化计算时通常采用连续化协同工作分析方法， 假定剪力墙仅产生弯曲变形或以等效抗弯刚度近似 考虑其剪切变形、框架仅产生剪切变形或以等效抗 剪刚度近似考虑其弯曲变形［1--2］，这种假定对于抗 剪刚度相对较大的混凝土墙和抗弯刚度相对较大的 框架而言，具有较高的计算精度，尤其是随着结构总 高度的增加，计算误差变得很小． 对于钢框架--支撑 结构的位 移 计 算，《高层民用建筑钢结构技术规 程》［3］规定将支撑视为弯曲杆件，简化为平面框架-- DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2011.12.021
·1566 北京科技大学学报 第33卷 支撑模型，何若全等面采用连续化法对框架一支撑 剪型子结构剪切变形的影响，直接采用剪切型一弯 结构的水平位移进行了分析：Sieczkowski提出了 曲型双重结构如框架一剪力墙结构的位移计算公式 一种用于（钢）框架一剪力墙结构水平位移的离散化 计算其水平位移将带来较大误差，必须考虑该结构 计算方法，其计算思路是将结构等效为两个子结构 体系的实际变形特征.本文依据Timoshenko剪切梁 之后，利用楼层位置的位移协调条件建立两个子结 理论，引入弯剪型子结构的剪切变形，建立弯剪型一 构之间的位移关系，实质是连续化法的离散化表达 弯曲型双重抗侧力结构的位移微分方程，推导均布 形式 荷载、倒三角形荷载和项部集中荷载作用下结构水 随着密肋复合墙6、保温砌模网格墙回等各 平位移的解析解，并与剪切型一弯曲型双重结构的 种组合式抗震墙以及大开口剪力墙、异形框架@等 位移解进行对比分析 在实际工程中的广泛应用，中高层抗震墙不应再简 单视为仅发生弯曲变形的弯曲型悬臂构件，而必须 1弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构水平位移 考虑抗震墙的剪切变形，由此提出了弯剪型一弯曲 计算 型双重抗侧力结构体系概念，如图1所示.弯剪型一 1.1计算模型 弯曲型双重抗侧力结构是指由水平荷载下呈弯剪型 弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构中，首先将所 变形特征的子结构与呈弯曲型变形特征的子结构组 有弯剪型抗震墙合并成总弯剪型子结构，将所有弯 成的抗震结构体系，二者由连梁和楼板在楼层位置 曲型抗震墙合并成总弯曲型子结构，两个子结构在 连接，变形协调，共同工作，具有双重延性的受力特 楼层位置由刚性连梁连接：考虑弯剪型子结构的弯 点，密肋复合墙一剪力墙混合结构四即是一种典型 曲变形和剪切变形，不考虑弯曲型子结构的剪切变 的弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构 形，计算模型如图2所示.当两个子结构变形机制 不同时，选定不同的子结构为分析对象，得出的位移 微分方程在表达形式上有所不同，计算的繁简程度 弯剪型 弯曲型子结构 亦有所区别，应以方便计算为原则选择合适的分析 子结构 对象.本文选择弯剪型子结构作为子结构1（图2 (a),以其为隔离体建立位移微分方程及进行水平 位移公式的推导 连梁 (楼板) 1.2基本微分方程 如图2(a)所示，子结构1的变形由弯曲变形 ya和剪切变形yat两部分组成，根据Timoshenko剪 图1弯剪型-弯曲型双重结构 Fig.1 Dual structure consisting of flexural-shear substructures and 切梁的弯曲变形、剪切变形与外荷载的基本关系☒ flexural substructures 列出方程为 G:A:dx d'yu 对于弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构，由于弯 (1) y=hty y=M y=Ya+y n(c) 弯剪型 弯剪型 子结构1 子结构1 弯用型 雪剪型 x 子钻构2 构2 (a) ) 图2 弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构计算模型.()弯剪型子结构为子结构1：(b)弯曲型子结构为子结构1 Fig.2 Calculating model of the dual structure:(a)the flexural-shear substructure is regarded as Substructure 1:(b)the flexural substructure is re- garded as Substructure I
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 支撑模型，何若全等［4］采用连续化法对框架--支撑 结构的水平位移进行了分析; Sieczkowski ［5］提出了 一种用于( 钢) 框架--剪力墙结构水平位移的离散化 计算方法，其计算思路是将结构等效为两个子结构 之后，利用楼层位置的位移协调条件建立两个子结 构之间的位移关系，实质是连续化法的离散化表达 形式． 随着密肋复合墙［6--8］、保温砌模网格墙［9］等各 种组合式抗震墙以及大开口剪力墙、异形框架［10］等 在实际工程中的广泛应用，中高层抗震墙不应再简 单视为仅发生弯曲变形的弯曲型悬臂构件，而必须 考虑抗震墙的剪切变形，由此提出了弯剪型--弯曲 型双重抗侧力结构体系概念，如图 1 所示． 弯剪型-- 弯曲型双重抗侧力结构是指由水平荷载下呈弯剪型 变形特征的子结构与呈弯曲型变形特征的子结构组 成的抗震结构体系，二者由连梁和楼板在楼层位置 连接，变形协调，共同工作，具有双重延性的受力特 点，密肋复合墙--剪力墙混合结构［11］即是一种典型 的弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构． 图 2 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构计算模型 . ( a) 弯剪型子结构为子结构 1; ( b) 弯曲型子结构为子结构 1 Fig． 2 Calculating model of the dual structure: ( a) the flexural-shear substructure is regarded as Substructure 1; ( b) the flexural substructure is regarded as Substructure 1 图 1 弯剪型--弯曲型双重结构 Fig． 1 Dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures 对于弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构，由于弯 剪型子结构剪切变形的影响，直接采用剪切型--弯 曲型双重结构如框架--剪力墙结构的位移计算公式 计算其水平位移将带来较大误差，必须考虑该结构 体系的实际变形特征． 本文依据 Timoshenko 剪切梁 理论，引入弯剪型子结构的剪切变形，建立弯剪型-- 弯曲型双重抗侧力结构的位移微分方程，推导均布 荷载、倒三角形荷载和顶部集中荷载作用下结构水 平位移的解析解，并与剪切型--弯曲型双重结构的 位移解进行对比分析． 1 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构水平位移 计算 1. 1 计算模型 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构中，首先将所 有弯剪型抗震墙合并成总弯剪型子结构，将所有弯 曲型抗震墙合并成总弯曲型子结构，两个子结构在 楼层位置由刚性连梁连接; 考虑弯剪型子结构的弯 曲变形和剪切变形，不考虑弯曲型子结构的剪切变 形，计算模型如图 2 所示． 当两个子结构变形机制 不同时，选定不同的子结构为分析对象，得出的位移 微分方程在表达形式上有所不同，计算的繁简程度 亦有所区别，应以方便计算为原则选择合适的分析 对象． 本文选择弯剪型子结构作为子结构 1 ( 图 2 ( a) ) ，以其为隔离体建立位移微分方程及进行水平 位移公式的推导． 1. 2 基本微分方程 如图 2( a) 所示，子结构 1 的变形由弯曲变形 yb1和剪切变形 yq1 两部分组成，根据 Timoshenko 剪 切梁的弯曲变形、剪切变形与外荷载的基本关系［12］ 列出方程为 G1A1 dyq1 dx = － E1 I1 d3 yb1 dx 3 ( 1) ·1566·
第12期 郭猛等：弯剪型-弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解 ·1567· d'yu p()-q()=E, (2) EI 式中：7=E22 p'(x)广义外荷载项，p'(x)= 对于子结构2，仅发生弯曲变形，其荷载与变形的关 系为 -GAp(x)dxdx+p(x)-G.A:(Ax+B). E21 d"yie 1.3水平位移的解析解 q(x)=E/:w (3) 对于四阶常系数线性微分方程式(8)，其解的 式中，E,I1、G,A为子结构1的抗弯刚度、抗剪刚度， 般形式为 E22为子结构2的抗弯刚度，p(x)为结构所受水平 Y=C +C2+C3shag+Cachag +Yo- 外荷载，9(x)为两个子结构之间的相互作用. 式中：C1、C2、C,和C4为待定常数：Y。为微分方程的 将式(3)代入式(2)得 特解，与外荷载的具体形式有关. yu +El dax 根据图2(a)确定边界条件： E dx d心y=p( (4) (1)当x=0(传=0)时，两个子结构底部弯曲变 两个子结构在任意位置的总水平位移相等，即y~= 形、剪切变形及转角均为零； y+y,代入上式消去y得 (2)当x=H(=1)时，结构顶部总剪力为零， 医A+装=p国 两个子结构顶部弯矩为零： (5) (3)两个子结构在任意位置的弯曲变形和剪切 将式(1)两边对x微分三次，代入式(5)消去y 变形之和相等 E山dy=p(x)(6) 1.3.1均布荷载作用 (E弘+E,)-E山G4 设均布荷载为p(x)=q,则式(7)的特解为Y。= 式(6)中，利用变量换元法对方程进行简化，作 2(E,+E,,将%代入y得到弯曲变形方程的 qH 代换Y=是，同时令刀=兰为两个子会 一般解 协同工作后对子结构1抗剪刚度的修正系数，代入 Y=C,+C2E+C3sh入E+Cachλξ+ 式(5)并整理得 ghr (10) d'y GA (1+n)d2y GA 2(E1,+E,)5 dx EihEp ( (7) 由Y对专二次积分得到子结构1弯曲变形y的表 达式 令A=H GA1(1+7) Eh ,定义为弯剪型一弯曲 u-m[++c 入2 型双重抗侧力结构体系的刚度特征值，并设专-云 .袋+agE万+cf+G]a 式(7)可写成 通过子结构1弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪 Y-λ2dy=-HGA, EE (H) (8) 切变形y,由式(1)、式(11)得 此式即为弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构弯曲变形 ya=-7 C:6+CshAg+C.chA6+ 的基本位移微分方程，理论上适用于弯剪型子结构 的抗弯刚度、抗剪刚度任意变化时其弯曲变形的 2eD]+c (12) 求解 子结构1的弯曲变形与剪切变形之和即为子结构2 如图2(b)所示，当选择弯曲型子结构为子结构 的变形，同时也为密肋弯剪墙一弯曲墙结构的总水 1,弯剪型子结构为子结构2时，得到以弯曲型子结 平位移，将yu和y代入ya=y1+y整理得 构为隔离体的弯曲变形微分方程见式(9).比较式 (7)与式(9)可知，后者不需要对位移方程使用变量 rc+(信rg-)+ 换元法进行中间变量代换，但外荷载项中含有积分 常数，需要结合边界条件求得，求解过程相对复杂. d'yu GA.(1+n)d'yup'(x) dx (9) E dx2 El 其-E)hAC,+C,+PC。+FG,+
第 12 期 郭 猛等: 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解 p( x) － q( x) = E1 I1 d4 yb1 dx 4 ( 2) 对于子结构 2，仅发生弯曲变形，其荷载与变形的关 系为 q( x) = E2 I2 d4 yb2 dx 4 ( 3) 式中，E1 I1、G1A1为子结构 1 的抗弯刚度、抗剪刚度， E2 I2为子结构 2 的抗弯刚度，p( x) 为结构所受水平 外荷载，q( x) 为两个子结构之间的相互作用． 将式( 3) 代入式( 2) 得 E1 I1 d4 yb1 dx 4 + E2 I2 d4 yb2 dx 4 = p( x) ( 4) 两个子结构在任意位置的总水平位移相等，即 yb2 = yb1 + yq1，代入上式消去 yb2得 ( E1 I1 + E2 I2 ) d4 yb1 dx 4 + E2 I2 d4 yq1 dx 4 = p( x) ( 5) 将式( 1) 两边对 x 微分三次，代入式( 5) 消去 yq1 ( E1 I1 + E2 I2 ) d4 yb1 dx 4 － E2 I2 E1 I1 G1A1 d6 yb1 dx 6 = p( x) ( 6) 式( 6) 中，利用变量换元法对方程进行简化，作 变量代换 Y = d2 yb1 dx 2 ，同时令 η = E1 I1 E2 I2 ，为两个子结构 协同工作后对子结构 1 抗剪刚度的修正系数，代入 式( 5) 并整理得 d4 Y dx 4 － G1A1 ( 1 + η) E1 I1 d2 Y dx 2 = － G1A1 E1 I1 ·E2 I2 p( x) ( 7) 令 λ = H G1A1 ( 1 + η) E1 槡 I1 ，定义为弯剪型--弯曲 型双重抗侧力结构体系的刚度特征值，并设 ξ = x H ， 式( 7) 可写成 d4 Y dξ 4 － λ2 d2 Y dξ 2 = － H4 G1A1 E1 I1 ·E2 I2 p( ξH) ( 8) 此式即为弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构弯曲变形 的基本位移微分方程，理论上适用于弯剪型子结构 的抗弯刚度、抗剪刚度任意变化时其弯曲变形的 求解． 如图 2( b) 所示，当选择弯曲型子结构为子结构 1，弯剪型子结构为子结构 2 时，得到以弯曲型子结 构为隔离体的弯曲变形微分方程见式( 9) ． 比较式 ( 7) 与式( 9) 可知，后者不需要对位移方程使用变量 换元法进行中间变量代换，但外荷载项中含有积分 常数，需要结合边界条件求得，求解过程相对复杂． d4 yb1 dx 4 － G2A2 ( 1 + η) E1 I1 d2 yb1 dx 2 = p'( x) E1 I1 ( 9) 式中: η = E1 I1 E2 I2 ; p' ( x ) 广 义 外 荷 载 项，p' ( x ) = － G2A2 E2 I2 p( x) dxdx + p( x) － G2A2 ( Ax + B) ． 1. 3 水平位移的解析解 对于四阶常系数线性微分方程式( 8) ，其解的 一般形式为 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + Y0 ． 式中: C1、C2、C3和 C4为待定常数; Y0 为微分方程的 特解，与外荷载的具体形式有关． 根据图 2( a) 确定边界条件: ( 1) 当 x = 0( ξ = 0) 时，两个子结构底部弯曲变 形、剪切变形及转角均为零; ( 2) 当 x = H( ξ = 1) 时，结构顶部总剪力为零， 两个子结构顶部弯矩为零; ( 3) 两个子结构在任意位置的弯曲变形和剪切 变形之和相等． 1. 3. 1 均布荷载作用 设均布荷载为 p( x) = q，则式( 7) 的特解为Y0 = qH2 2( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 2 ，将 Y0代入 Y 得到弯曲变形方程的 一般解 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 2( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 2 ( 10) 由 Y 对 ξ 二次积分得到子结构 1 弯曲变形 yb1的表 达式 yb1 = H [ 2 1 2 C1 ξ 2 + 1 6 C2 ξ 3 + C3 shλξ λ2 + C4 chλξ λ2 + qH2 24( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 4 + C6 ξ + C7 ] ( 11) 通过子结构 1 弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪 切变形 yq1，由式( 1) 、式( 11) 得 yq1 = － E1 I1 G1A [ 1 C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 ξ 2 2( E1 I1 + E2 I2 ] ) + C5 ( 12) 子结构 1 的弯曲变形与剪切变形之和即为子结构 2 的变形，同时也为密肋弯剪墙--弯曲墙结构的总水 平位移，将 yb1和 yq1代入 yb2 = yb1 + yq1整理得 yb2 = 1 2 H2 ξ 2 C1 + ( 1 6 H2 ξ 2 － E1 I1 G1A ) 1 ξC2 ( + H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 ·shλξC3 ( + H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 chλξC4 + C5 + H2 ξC6 + H2 C7 + ·1567·
·1568· 北京科技大学学报 第33卷 ”-是系 gH (13) M,x,[C7x1=],x1 (14) 式中， 根据图2(a)确定边界条件的矩阵方程如下： 0 0 0 是 0 0 12 0 0 0 -E I G1A100 0 0 1 A 0 0 10 [07x7= 0 Eh E2Iz 0 0 (15) GA -G,A,(E,I+E入 0E,I1+E22 0 0 00 1 shA chλ 0 00 1 1 shaE,I chAEl 0 00 E21 E22 [C]7x1=[C C2 C3 Ca Cs Co C] (16) M,x1=[0000-9H gH qH qH -2(E1+E,E,432(E1+E (17) 解矩阵方程式(14)得各待定系数为 sha (1-chag)(1+sha)(1)+ EH(台+ A3 A'cha gI (s-号-地川 (21) -E h +E3la 式中，K=E,I1/HG,A1,为表征弯剪型子结构抗弯刚 gH 度与抗剪刚度相对大小的参数（下文参数K的意义 A(E,L1+E22) 与此相同).式(19)~式(21)即为弯剪型-弯曲型 gH 双重抗侧力结构体系在均布荷载作用下的弯曲变 [C]1x1= -aE+E西（片+兴） 形、剪切变形及总水平位移的解析解 gHE I 1.3.2倒三角形荷载作用 a(G1,+G石（是+兴） 设倒三角形荷载为p()=g言=g,则式(7) gH A2(E1l1+E2l2) 的特解为。=6E+E,,将y代入y得到弯 n万（宗+） qH 曲变形方程的一般解 Y=C +C2+C3shAg+Cachg+ (18) 9 将系数C,~C,回代至子结构1弯曲变形和剪切变 6(E1+E,$ (22) 形表达式，并利用ya=y1+y,化简得 由Y对专二次积分得到子结构1弯曲变形y的表 达式 C.cb (cha)( 6 (19) 入3 qHes (23) G445-号-- gHE I 120(E,4+E,)+C5+C,] 入 通过子结构1弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪 (1+sh)(1-chAg) 切变形y由式(1)、式(23)得 (20) A'chA -{cs+Gg+Gu5· 6E,4+E,4)+C, (24)
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 qH4 24( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 4 － H4 qξ 2 2E2 I2λ2 ( 13) 根据图 2( a) 确定边界条件的矩阵方程如下: ［M］7 × 7［C］7 × 1 =［N］7 × 1 ( 14) 式中， ［M］7 × 7 = 0 0 0 1 λ2 0 0 1 0 0 0 － E1 I1 G1A1 0 0 0 0 1 λ 0 0 1 0 0 － E1 I1 G1A1 － E2 I2 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 ) λ 0 0 H2 0 0 E1 I1 + E2 I2 0 0 0 0 0 1 1 shλ chλ 0 0 0 1 1 － shλE1 I1 E2 I2 － chλE1 I1 E2 I2 0 0 0 ( 15) ［C］7 × 1 =［C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7］T ( 16) ［N］7 × 1 = 0 0 0 0 － qH2 － qH2 2( E1 I1 + E2 I2 ) qH2 E2 I2λ2 － qH2 2 E1 I1 + E2 [ ] ( ) I2 T ( 17) 解矩阵方程式( 14) 得各待定系数为 ［C］7 × 1 = qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 2 + 1 λ2 ) － qH2 E1 I1 + E2 I2 qH2 λ( E1 I1 + E2 I2 ) － qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) 1 λ2 + shλ ) λ － qH2 E1 I1 chλ( E1 I1 + E2 I2 ) G1A ( 1 1 λ2 + shλ ) λ qH2 λ2 ( E1 I1 + E2 I2 ) qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) 1 λ4 + shλ λ ) 3 ( 18) 将系数 C1 ～ C7回代至子结构 1 弯曲变形和剪切变 形表达式，并利用 yb2 = yb1 + yq1，化简得 yb1 = qH4 E1 I1 + E2 I [ 2 ξ ( 2 1 4 － 1 2λ2 － ξ 6 + ξ 2 24 － 1 λ2 ) ξ + shλξ λ3 + 1 λ4 chλ ( 1 － chλξ) ( 1 + shλ ] ) ( 19) yq1 = qH2 E1 I1 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 [ ) ξ － ξ 2 2 － shλξ λ － ( 1 + λshλ) ( 1 － chλξ) λ2 ch ] λ ( 20) yb2 = qH4 E1 I1 + E2 I [ 2 ξ ( 2 1 4 － 1 2λ2 － ξ 6 + ξ 2 24 － 1 λ2 ) ξ + shλξ λ3 + ( 1 － chλξ) ( 1 + shλ) λ4 chλ ( 1 － κ) + κ ξ( － ξ 2 2 － shλξ ) ] λ ( 21) 式中，κ = E1 I1 /H2 G1A1，为表征弯剪型子结构抗弯刚 度与抗剪刚度相对大小的参数( 下文参数 κ 的意义 与此相同) ． 式( 19) ～ 式( 21) 即为弯剪型--弯曲型 双重抗侧力结构体系在均布荷载作用下的弯曲变 形、剪切变形及总水平位移的解析解． 1. 3. 2 倒三角形荷载作用 设倒三角形荷载为 p( x) = q x H = qξ，则式( 7) 的特解为 Y0 = qH2 6( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 3 ，将 Y0代入 Y 得到弯 曲变形方程的一般解 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 6( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 3 ( 22) 由 Y 对 ξ 二次积分得到子结构 1 弯曲变形 yb1的表 达式 yb1 = H [ 2 1 2 C1 ξ 2 + 1 6 C2 ξ 3 + C3 shλξ λ2 + C4 chλξ λ2 + qH2 ξ 5 120( E1 I1 + E2 I2 ) + C6 ξ + C7 ] ( 23) 通过子结构 1 弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪 切变形 yq1，由式( 1) 、式( 23) 得 yq1 = － E1 I1 G1A [ 1 C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 ξ 3 6( E1 I1 + E2 I2 ] ) + C5 ( 24) ·1568·
第12期 郭猛等：弯剪型-弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解 ·1569· 由y2=y1+y,整理得 gHre gHrg C,+fC6+fC,+120(E,1+E,6N'E,h (25) 边界条件的矩阵表达形式同式(14)，其中 [C]7x1见式(16，M]7x7和7x1如下： 0 0 00 0 0 0 E 10 0 G A 0 1 A 0 01 M]1x1= (26) 0 Eh AE4-⊥ HGA 0 -10 PGA1入 0 E I+E2h 0 0 000 1 sh入 ch入 000 -1 shaE l chaE 。0 00 E22 E2h M=0000-) qH gH g -6(E,1,+E,) AE2l26(E1l1+E2l2)] (27) 将式(26)、式(27)及式(16)代入矩阵方程(14)，解 eG4+万(s-些）+ qHE,I 得各待定系数为 1g 2a-2MtAL(1-G)+] (30) 3 E h +E2l2 2A'chA ) {补+易-)+ (债) 2(层-+)-s-) I-chAs (1-chg) [C]1x1= ,(尝六尝) q 入2 2AchA (31) E,aG4尝-是-尝) q㎡E,I 式(29)~(31)即为弯剪型-弯曲型双重抗侧力 结构体系在倒三角形荷载作用下的弯曲变形、剪切 平你六) 变形及总水平位移的解析解 1.3.3顶部集中荷载作用 ,g万（你-尝+尝） gH 设顶部集中荷载为P,则特解为Y。=0,将Y。代 入Y得到弯曲变形方程的一般解为 (28) Y=C:+C2+C3shag Cachag (32) 将式(28)中的系数C1~C,回代至式(23)~式 由Y对专二次积分得到子结构1弯曲变形y:的表 (25),化简得 达式 wE+5)+ =r(c+c+G+ 6 2得-兴+) ccc) (33) 2A -2sha +a'shA (1 chag) 通过子结构1弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪 (29) 2A'chλ 切变形y,由式(1)、式(33)得
第 12 期 郭 猛等: 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解 由 yb2 = yb1 + yq1整理得 yb2 = 1 2 H2 ξ 2 C1 + C2 ( 1 6 H2 ξ 3 － E1 I1 G1A1 ξ ) + C3 shλξ ( H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 + C4 chλξ ( H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 + C5 + H2 ξC6 + H2 C7 + qH4 ξ 5 120( E1 I1 + E2 I2 ) － qH4 ξ 3 6λ2 E2 I2 ( 25) 边界 条 件 的 矩 阵 表 达 形 式 同 式 ( 14 ) ，其 中 ［C］7 × 1见式( 16) ，［M］7 × 7和［N］7 × 1如下: ［M］7 × 7 = 0 0 0 1 λ2 0 0 1 0 0 0 － E1 I1 G1A1 1 0 0 0 0 1 λ 0 0 1 0 0 E1 I1 H2 G1A1 λE1 I1 H2 G1A1 － 1 λ 0 0 － 1 0 0 E1 I1 + E2 I2 0 0 0 0 0 1 1 shλ chλ 0 0 0 － 1 － 1 shλE1 I1 E2 I2 chλE1 I1 E2 I2 0 0 0 ( 26) ［N］7 × 1 = 0 0 0 0 H2 ( q 1 λ2 － ) 1 2 － qH2 6( E1 I1 + E2 I2 ) qH2 λ2 E2 I2 － qH2 6( E1 I1 + E2 I2 [ ] ) T ( 27) 将式( 26) 、式( 27) 及式( 16) 代入矩阵方程( 14) ，解 得各待定系数为 ［C］7 × 1 = 1 3 qH2 E1 I1 + E2 I2 qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 λ2 － ) 1 2 qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 2λ － 1 λ3 ) qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) shλ λ3 － 1 λ2 － shλ 2 ) λ qH2 E1 I1 chλ( E1 I1 + E2 I2 ) G1A ( 1 shλ λ3 － 1 λ2 － shλ 2 ) λ qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 λ4 － 1 2λ2 ) qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) 1 λ4 － shλ λ5 + shλ 2λ ) 3 ( 28) 将式( 28) 中的系数 C1 ～ C7回代至式( 23) ～ 式 ( 25) ，化简得 yb1 = qH4 E1 I1 + E2 I [ 2 ξ 2 ( 6 1 + ξ 3 ) 20 + 2 － λ2 2λ2 ( ξ 3 6 － shλξ λ3 + ξ λ2 ) + 2λ － 2shλ + λ2 shλ 2λ5 chλ ( 1 － chλξ ] ) ( 29) yq1 = － qH2 E1 I1 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 [ ) 2 － λ2 2λ2 ( ξ － shλξ ) λ + 2λ － 2shλ + λ2 shλ 2λ3 chλ ( 1 － chλξ) + ξ 3 ] 6 ( 30) yb2 = qH4 E1 I1 + E2 I { 2 ξ 2 ( 6 1 + ξ 3 20 － ξκ ) + 2 － λ2 2λ2 [ ( ξ 3 6 － shλξ λ3 + ξ λ2 ) － ( ξ － shλξ ) λ κ ] [ + 1 － chλξ λ2 － ( 1 － chλξ) κ ] 2λ － 2shλ + λ2 shλ 2λ3 ch } λ ( 31) 式( 29) ～ ( 31) 即为弯剪型--弯曲型双重抗侧力 结构体系在倒三角形荷载作用下的弯曲变形、剪切 变形及总水平位移的解析解． 1. 3. 3 顶部集中荷载作用 设顶部集中荷载为 P，则特解为 Y0 = 0，将 Y0代 入 Y 得到弯曲变形方程的一般解为 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ ( 32) 由 Y 对 ξ 二次积分得到子结构 1 弯曲变形 yb1的表 达式 yb1 = H ( 2 1 2 C1 ξ 2 + 1 6 C2 ξ 3 + C3 shλξ λ2 + C4 chλξ λ2 + C6 ξ + C7 ) ( 33) 通过子结构 1 弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪 切变形 yq1，由式( 1) 、式( 33) 得 ·1569·