《初等代数研究》教学大纲 课程编码：110815 课程名称：初等代数研究 学时/学分：36/2 先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》、《概率与数理统计》、《数学教学 论》 适用专业：数学与应用数学 开课教研室：课程论教研室 一、课程性质与任务 1.课程性质：初等代数研究是数学与应用数学专业的一门专业必修课。从内容上讲， 这门学科既包含传统的代数，又包含数学分析、近世代数、概率统计等数学分支，是一门综 合性的学科。它是在学生掌握了一定高等数学理论知识的基础上，根据中学数学教学工作的 实际需要而开设的。 2.课程任务：它的任务是运用现代数学和高等数学的观点从对初等代数的理论体系和解 题方法进行剖析、整理和研究，对学生己有的中学代数知识和技能起者复习巩固、查缺补漏 和进一步充实提高的作用。通过本课程的教学，使学生对中学数学教学所必需的初等代数的 基础知识和理论体系有较深刻的理解、较系统的掌握，能够运用现代数学观点审视中学代数 问题，能够从高等数学的背景解释中学代数问题，具有熟练的分析和解决中学数学问题的基 本能力，为毕业后从事中学数学教学打下必要的基础。 二、课程教学基本要求 从初中数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基 本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高。对 各专题的教学，都要着重基本思维方法的培养和基本技能技巧的训练。要求学生认清具体与 抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。在教学形式上 以课堂讲授为主要教学环节。研制电子教案和多媒体幻灯片，在教学方法和手段上采用现代 教育技术。 1.本课程开设在第6学期，总学时36，其中课堂讲授36学时，课堂实践0学时。 2.本课程的成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）(70%)+平时成绩（平时测验、作 业、课堂提问、课堂讨论等)(30%)。成绩评定采用百分制，60分为及格。 三、课程教学内容
《初等代数研究》教学大纲 课程编码：110815 课程名称：初等代数研究 学时/学分：36/2 先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》、《概率与数理统计》、《数学教学 论》 适用专业：数学与应用数学 开课教研室：课程论教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：初等代数研究是数学与应用数学专业的一门专业必修课。从内容上讲， 这门学科既包含传统的代数，又包含数学分析、近世代数、概率统计等数学分支，是一门综 合性的学科。它是在学生掌握了一定高等数学理论知识的基础上，根据中学数学教学工作的 实际需要而开设的。 2．课程任务：它的任务是运用现代数学和高等数学的观点从对初等代数的理论体系和解 题方法进行剖析、整理和研究，对学生己有的中学代数知识和技能起着复习巩固、查缺补漏 和进一步充实提高的作用。通过本课程的教学，使学生对中学数学教学所必需的初等代数的 基础知识和理论体系有较深刻的理解、较系统的掌握，能够运用现代数学观点审视中学代数 问题，能够从高等数学的背景解释中学代数问题，具有熟练的分析和解决中学数学问题的基 本能力，为毕业后从事中学数学教学打下必要的基础。 二、课程教学基本要求 从初中数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基 本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高。对 各专题的教学，都要着重基本思维方法的培养和基本技能技巧的训练。要求学生认清具体与 抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。在教学形式上 以课堂讲授为主要教学环节。研制电子教案和多媒体幻灯片，在教学方法和手段上采用现代 教育技术。 1. 本课程开设在第 6 学期，总学时 36，其中课堂讲授 36 学时，课堂实践 0 学时。 2. 本课程的成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作 业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。成绩评定采用百分制，60 分为及格。 三、课程教学内容
第一章自然数 1.教学基本要求 掌握自然数的性质，了解基数理论下自然数性质的证明：掌握自然数的性质，了解序 数理论下自然数性质的证明：了解数学归纳法的证明，掌握数学归纳法的实质和运用技巧， 理解各种形式数学归纳法之间的联系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解自然数、基数、皮亚诺公理系统、数学归纳法等基本 概念，掌握自然数的基本性质及其证明方法、能够熟练掌握数学归纳法的实质和运用技巧。 3.教学重点和难点 教学重点是自然数的性质，基数理论下自然数性质的证明：自然数的性质，序数理论下 自然数性质的证明：数学归纳法的实质和运用技巧。教学难点是自然数的性质的证明、数学 归纳法的运用技巧， 4.教学内容 第一节自然数的基数理论 1.基数理论下的自然数的定义 2.自然数的顺序律、运算律 3.可数集的定义 第二节自然数的序数理论 1.公理法 2.皮亚诺的自然数公理系统 3.序数理论下自然数的顺序律、运算律 第三节数学归纳法 1.第一数学归纳法的原理及应用 2.第二数学归纳法的原理及应用 3.参变归纳法、反向归纳法的原理及应用 第二章整数 1.教学基本要求 掌握整数的性质，了解序偶理论下性质的证明：掌握带余除法的应用并能够灵活运用 带余除法解决相关问题：了解最大公因数与最小公倍数性质的证明，掌握最大公因数与最小 公倍数的性质，能灵活运用性质解决相关问题：灵活运用素数的性质解决相关问题：了解同 余性质的证明，灵活运用同余的性质解决相关问题，了解欧拉函数的性质和运用。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理整数环、带余除法、最大公因数与最小公倍数、素数与
第一章 自然数 1.教学基本要求 掌握自然数的性质，了解基数理论下自然数性质的证明；掌握自然数的性质，了解序 数理论下自然数性质的证明；了解数学归纳法的证明，掌握数学归纳法的实质和运用技巧， 理解各种形式数学归纳法之间的联系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解自然数、基数、皮亚诺公理系统、数学归纳法等基本 概念，掌握自然数的基本性质及其证明方法、能够熟练掌握数学归纳法的实质和运用技巧。 3.教学重点和难点 教学重点是自然数的性质，基数理论下自然数性质的证明；自然数的性质，序数理论下 自然数性质的证明；数学归纳法的实质和运用技巧。教学难点是自然数的性质的证明、数学 归纳法的运用技巧。 4.教学内容 第一节 自然数的基数理论 1. 基数理论下的自然数的定义 2. 自然数的顺序律、运算律 3. 可数集的定义 第二节 自然数的序数理沦 1. 公理法 2. 皮亚诺的自然数公理系统 3. 序数理论下自然数的顺序律、运算律 第三节 数学归纳法 1. 第一数学归纳法的原理及应用 2. 第二数学归纳法的原理及应用 3. 参变归纳法、反向归纳法的原理及应用 第二章 整数 1.教学基本要求 掌握整数的性质，了解序偶理论下性质的证明；掌握带余除法的应用并能够灵活运用 带余除法解决相关问题；了解最大公因数与最小公倍数性质的证明，掌握最大公因数与最小 公倍数的性质，能灵活运用性质解决相关问题；灵活运用素数的性质解决相关问题；了解同 余性质的证明，灵活运用同余的性质解决相关问题，了解欧拉函数的性质和运用。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理整数环、带余除法、最大公因数与最小公倍数、素数与
合数、同余等基本概念，掌握整数性质的证明方法，能够灵活运用整数的性质和原理解决相 关问题。 3.教学重点和难点 教学重点是整数的定义及其性质，带余除法的应用：最大公因数与最小公倍数的性质及 运用性质解决相关问题：素数的性质解决相关问题。教学难点是整数理论及其性质的证明。 4.教学内容 第一节整数环 1.代数系统的同构与扩张 2.序偶的概念 3。用序偶定义的整数及其运算、运算律 第二节带余除法（自学） 1.带余除法定理 2.整数整除的性质 3.奇数、偶数的概念与性质 4.整数的k进制表示 第三节最大公因数与最小公倍数（自学） 1.银转相除法 2.公因数、公倍数的定义 3.最大公因数、最小公倍数的定义及性质 第四节素数与合数（自学） 1.素数与合数的定义 2.爱拉多塞筛法 3.算数基本定理及其应用 第五节同余（自学） 1.整数同余的定义及性质 2.剩余类、完全剩余系的定义及简单性质 第六节欧拉函数（自学） 1.简化剩余系 2.欧拉函数的定义 3.欧拉定理、费马定理及其应用 第三章有理数 1.教学基本要求 了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质：了解分数和循环小数互化的理论基础
合数、同余等基本概念，掌握整数性质的证明方法，能够灵活运用整数的性质和原理解决相 关问题。 3.教学重点和难点 教学重点是整数的定义及其性质，带余除法的应用；最大公因数与最小公倍数的性质及 运用性质解决相关问题；素数的性质解决相关问题。教学难点是整数理论及其性质的证明。 4.教学内容 第一节 整数环 1. 代数系统的同构与扩张 2. 序偶的概念 3. 用序偶定义的整数及其运算、运算律 第二节 带余除法（自学） 1. 带余除法定理 2. 整数整除的性质 3. 奇数、偶数的概念与性质 4. 整数的 k 进制表示 第三节 最大公因数与最小公倍数（自学） 1. 辗转相除法 2. 公因数、公倍数的定义 3. 最大公因数、最小公倍数的定义及性质 第四节 素数与合数（自学） 1. 素数与合数的定义 2. 爱拉多塞筛法 3.算数基本定理及其应用 第五节 同余（自学） 1. 整数同余的定义及性质 2. 剩余类、完全剩余系的定义及简单性质 第六节 欧拉函数（自学） 1. 简化剩余系 2. 欧拉函数的定义 3. 欧拉定理、费马定理及其应用 第三章 有理数 1.教学基本要求 了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质；了解分数和循环小数互化的理论基础
2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质：了解分数和循 环小数互化的理论基础。 3.教学重点和难点 教学重点是有理数的定义、有理数域的性质：分数和循环小数互化的理论基础。教学难 点是有理数域性质的证明。 4.教学内容 第一节有理数域 1.用整数的序偶定义有理数 2.有理数的顺序律，运算及运算律 第二节十进循环小数 1.分数、既约分数 2.有限小数、无限小数、无限循环小数 3.分数与循环小数的互化 第四章实数 1.教学基本要求 了解无理数的存在性：了解性质的证明，掌握实数域的基本性质：了解实数的可开方 性：了解一些常见的无理数：了解性质的证明，掌握[x]的性质、灵活运用性质解决相关问 盟。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解实数集、实数的基本性质、实数的四则运算、实数的 开方、一些常见的无理数等基本概念，掌握[x]的性质及其应用。 3.教学重点和难点 教学重点是实数域的基本性质：[x]的性质，灵活运用性质解决相关问题。教学难点是 实数域的基木性质的证明。 4.教学内容 第一节实数集 1.阿基米德公理 2.康托公理 3.实数的定义 第二节实数集的基本性质（自学） 实数的顺序性、连续性、不可数性 第三节实数的四则运算（自学）
2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质；了解分数和循 环小数互化的理论基础。 3.教学重点和难点 教学重点是有理数的定义、有理数域的性质；分数和循环小数互化的理论基础。教学难 点是有理数域性质的证明。 4.教学内容 第一节 有理数域 1. 用整数的序偶定义有理数 2. 有理数的顺序律，运算及运算律 第二节 十进循环小数 1. 分数、既约分数 2. 有限小数、无限小数、无限循环小数 3. 分数与循环小数的互化 第四章 实数 1.教学基本要求 了解无理数的存在性；了解性质的证明，掌握实数域的基本性质；了解实数的可开方 性；了解一些常见的无理数；了解性质的证明，掌握[x]的性质、灵活运用性质解决相关问 题。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解实数集、实数的基本性质、实数的四则运算、实数的 开方、一些常见的无理数等基本概念，掌握 [x]的性质及其应用。 3.教学重点和难点 教学重点是实数域的基本性质；[x]的性质，灵活运用性质解决相关问题。教学难点是 实数域的基本性质的证明。 4.教学内容 第一节 实数集 1. 阿基米德公理 2. 康托公理 3. 实数的定义 第二节 实数集的基本性质（自学） 实数的顺序性、连续性、不可数性 第三节 实数的四则运算（自学）
实数的四则运算 第四节实数的开方（自学） 1.实数的开方运算 2.算术根 第五节一些常见的无理数（自学) 几个常见的无理数及其性质 第六节[x]及其应用（自学） [x]及其应用 第五章复数（自学） 1.教学基本要求 了解性质的证明，掌握复数域的基本性质：了解从实数扩张到复数的合理性，灵活运 用根的性质、几何性质、三角性质解决相关问题。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解复数域等基本概念，掌握复数的代数形式、复数的几 何表示、复数的三角表示、复数的开方、复数模的性质。 3.教学重点和难点 教学重点是复数域等基本概念，复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角表示、 复数的开方、复数模的性质。教学难点是复数域的基本性质的证明。 4.教学内容 第一节复数域 1.用实数的序偶定义复数 2.复数的运算及运算律。 第二节复数的代数形式 复数的代数形式 第三节复数的几何表示 复数的几何表示 第四节复数的三角表示 复数的三角表示 第五节复数的开方 复数的开方 第六节复数模的性质 复数模的性质
实数的四则运算 第四节 实数的开方（自学） 1. 实数的开方运算 2. 算术根 第五节 一些常见的无理数（自学） 几个常见的无理数及其性质 第六节 [x]及其应用（自学） [x]及其应用 第五章 复数 （自学） 1.教学基本要求 了解性质的证明，掌握复数域的基本性质；了解从实数扩张到复数的合理性，灵活运 用根的性质、几何性质、三角性质解决相关问题。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解复数域等基本概念，掌握复数的代数形式、复数的几 何表示、复数的三角表示、复数的开方、复数模的性质。 3.教学重点和难点 教学重点是复数域等基本概念，复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角表示、 复数的开方、复数模的性质。教学难点是复数域的基本性质的证明。 4.教学内容 第一节 复数域 1. 用实数的序偶定义复数 2. 复数的运算及运算律。 第二节 复数的代数形式 复数的代数形式 第三节 复数的几何表示 复数的几何表示 第四节 复数的三角表示 复数的三角表示 第五节 复数的开方 复数的开方 第六节 复数模的性质 复数模的性质