CHINA 1.6说明一个问题 本章研究了最小势能原理和最小余能原理。考虑到数学上的原因，没有对最小势能 原理和最小余能原理的极值特性加以证明。 练习题 1-1横截面面积为f的直杆，支持在两个刚硬的壁之间，如图1.17所示。若已知材料的弹性模量 为E,线膨胀系数为a。试问当温度增加△T度时，杆内应变能的增量△U是多少？ L1lllI 7777 图1.17 图1.18 1-2已知平面桁架的形状、尺寸及受载情况如图118所示。各杆材料相同，弹性模重均为E。设 R=10000N,乃=5000N,万=l.5cm2.2=1.414cm2,方=3cm2。试用最小位能原理决定各杆的内 力。 1-3简单桁架变形前的位置如图1.19中实线所示。设由于温度变化，使杆1-2伸长2=2mm, 使杆5-6缩短少56=1.5mm,虚线表示变形后的位置。长度a=1m。试用最小余能原理计算温度变化所 引起的结构9点的垂直位移。 14已知钢管的形状、尺寸及受载情况如图1.20所示。W=250N,曲线部分的中心线圆周半径 R=150cm。钢管横截面外径为D=10心m,壁厚t=3mm。材料的弹性模量E=2.1×10Ncm2。分析 时只考虑弯矩影响并略去管重不计。试用最小位能原理决定c点的水平位移4和垂直位移4，· 图1.19 图1.20 30
CHINA 1-5已知一矩形自由桁架如图1.21所示。杆1-2长为200心m,杆2-3长为300cm。各杆横截面面积 相同，均为2m。当各杆温度相同时，桁架没有内应力。由丁某种原因使2-3杆温度升高30°℃，如果 该杆的线膨张系数为a=7×106/°C,各元件材料相同E=2.1×107Ncm2。试用最小余能原理决定各 杆的内力。 3 图1.21 图1.22 1-6已知两个悬臂梁1-3和24用弹簧1-2相连，1点位于2点的正上方如1.22图所示。最初系统 是无应变的，三元件在1、2方向的刚度分别为K。、K。、K。。一重物甲加于1点时，在1点产生的垂 直位移为8。，在2点产生的垂直位移为8b。当拆去弹簧时，该重物W只在1点产生垂直位移8。现将 该重物W由1点移到2点作用，同时将弹簧装回到原处。试求重物W作用于2点时，弹簧的伸长量。（提 示：应用位移互等定理。) 1-7已知刚架的形状、尺寸和受载情况如图123所示。为简化计算，可咯去剪力和轴力的彩响。 试求：1确定节点3处的垂直位移：2.确定节点4处横截面的转角。 18如图1.24所示的三杆结构各杆长均为1=40cm,横截面面积斤=1cm2,万=5cm2，,a=45°。 2与2'两点相距为4=1mm,现将2与2'两点强迫装配在一起，并设 (1)E2=∞，E1-7.2×10N1cm2。 (2)E=E2=7.2x105Ncm2. 试求两种情况下，结构各杆的装配内力分别是多少？ E. 图1.23 图1.24 19已知一平面较接构架尺寸及受载如图125(a)所示。其中元件24在节点2处为松动连接， 洋图如图1,25(b)当构架受载时，元件24的2端便在滑槽内沿2-4轴线方向滑动，其最大移动量限为 31
CHINA 0.25Cm。设各杆横截面面积及材料均相同，弹性模量均为E,横截面面积均为手。试求元件24刚好 成为结构的受力元件时，结构上作用的外载P应该是多大？ 1【-10已知平面混合构架如图1.26所示。梁1-23的横截面面积为4f,截面抗弯惯矩为a2h6, 其上受有分布载9二P2),其余各杆横截面面积均为∫。整个结构材料相同，弹性模量为E。在4点 作用有垂直向下的载荷P。设不计剪应变在梁123中的影响。试求结构4点的垂直位移。 25cm 杆1-2 杆23 Aa (a) (b) 图1.25 4a 图1.26 32
CHINA 第2章 力法 2.1引言 飞行器结构力学中存在两类基本量一力类量和位移类量；飞行器结构力学中存在 三类基本关系一力类量之间的平衡关系、位移类量之间的协调关系、力类量和位移类 量之间的物理关系（物理关系又称本构关系）。本章我们以力为基本变量来分析结构，称 之为力法。下一章将以位移为基本变量来分折结构，称之为位移法。可以推知，如果以 力和位移两类变量为基本变量来分析结构，则可称之为混合法。在力法一章中，我们将 研究静定结构的内力和位移计算，重点研究静不定结构的内力和位移计算，内容包括一 般力法、矩阵力法和秩力法。 为了研究问题的方便，本节概略地研究结构的组成和静不定度的判定问题。 2.1.1系统的几何不变性 飞行器结构是指飞行器的受力系统。为了承受载荷，受力结构各元件之间不应发生 相对的刚体移动，以保持结构原来的几何形状。结构在载荷作用下保持其几何形状不可 改变的特性，称为结构的几何不变性。因为组成结构的元件不是绝对刚性的，在载荷作 用下各个元件都将发生微小的弹性变形。所以，要求结构的几何形状绝对不变是不可能 的，也是不必要的。因此，几何不变性是指：当不考虑弹性变形时，结构保持其几何形状 不变的特性。一个系统在载荷作用下，按照其几何形状的可变性分为以下三种类型。 (1)几何可变系统 系统受载后，在元件不产生弹性变形的情祝下，其儿何形状就发生了显著的改变。 这种系统称为几何可变系统，在机械原理中，称之为“机构”，显然，它不能作为结构 来利用。例如图2.1所示就是一种几何可变系统。它是由三根杆子铰接组成的，杆子1-2及 34的一端又铰接在基础上。当有较小的外载P作用时，该系统的几何形状可能发生较大 9m97 图2.1 33
CHINA 的变化，变化的一个位形如图中虚线所示。这时的变形并不引起杆子的弹牲变形。因而， 杆子也不会产生与外载P平衡的内力。在这种情况下，只要没有其它阻碍，系统的形状 就将继续地变化下去，直到倒伏在基础上为止。显然，几何可变系统在不产生弹性变形 的情况下，其元件之间就能发生相对的刚体位移。因而，在结构设计时，必须避免这种 情况。 (2)几何不变系统 这种系统在受载后，由于各元件之间互相牵连，将引起有关元件的弹性变形，其儿 何形状将产生微小的变化。从而，产生一定的内力与外载荷相平衡，阻止了系统的几何 形状继续改变。由于系统变形是微小的，在工程中就称其为几何不变系统。这种系统能 够承受任意方向与不同形式的外载荷，是结构力学的研究对象。这种受力系统称为结构。 例如图2.2就是一个几何不变系统，它是在图2.1的系统上，用一根杆子把结点1和3连接而 成。当外力P作用在系统上时，由于杆子13的作用，系统不能任意改变其几何形状。这 时，系统在P力作用下，变成图2.2中虚线所示的形状，系统中的杆子13,2-3和34都有 弹性变形，因而，引起的内力与外载荷P相平衡。这时的系统也发生变形，但这种变形 由于受到元件刚性的限制，通常是微小的，不影响系统的正常使用。如果所有元件都是 绝对刚硬的，系统就不会有任何形状的改变。显然，几何不变系统受力时，在不考虑弹 性变形的情况下，其各元件之间并不会发生相对的刚体位移。因而，能保持源有的几何形状。 7777777777 777 777777777777777 图2.2 图2.3 (3)瞬时几何可变系统 这种系统介于以上两种系统之间，在受载后，先是发生比较明显的几何变形，而后 由于变形引起了系统内部各元件的相互限制，使形状不能继续变下去。所以它在开始受 力的“瞬时”是几何可变的。这种系统往往是由于元件安排得不合理而造成的。例如图23 就是一种典型的瞬时可变系统（简称为瞬变系统）。它是在图2.1的系统上加一杆2-5所形 成的。 当有外载P作用时，由于1-2、2-5杆均与力P相垂直，故其不能阻碍结点沿水平线2 3方向的移动。所以在开始加力的瞬间，系统是几何可变的。但当系统有显著的变形以后（如 虚线)，就使杆1-2和杆25明显的伸长，因此也就产生了阻止其继续变形的能力，使它不 能像图2.1那样继续变下去。所以，瞬变系统的几何形状也是不能任意改变的，在这一点 34