免费下载网址htt: JIaoxuesu ys168com 第二章有理数 边浮。 帮 18c-31c 在上面的天气预报电视屏幕上, 我们看到,这一天上海的最低温度 是-5℃,读作负5℃,表示零下5℃ 这里,出现了一种新数——负数 我们将会看到,除了表示温度以外, 还有许多量需要用负数来表示.有了负数, 数的家族引进了新的成员,将变得更加绚丽多彩,更加便于应用 本章将与你一起认识负数,把数的范围扩充到有理数,并研究有理数的大小比较和运算 §2.1正数和负数 我们知道,为了表示物体的个数或事物的顺序,产生了数1,2,3,;为了表示“没有”, 引入了数0;有时分配、测量的结果不是整数,需要用分数(小数)表示.总之,数是为了满 足生产和生活的需要而产生发展起来的 1.相反意义的量 在日常生活中,常会遇到这样的一些量: 例1汽车向东行驶3.5公里和向西行驶2.5公里; 例2收入500元和支出237元 例3水位升高5.5米和下降3.6米等等. 这里出现的每一对量,虽然有着不同的具体内容,但有着一个共同特点,它们都是具有相反 意义的量,向东和向西、零上和零下;收入和支出;升高和下降都具有相反的意义 这些例子中出现的每一对量,有什么共同特点? 你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗? 2.正数与负数 对于相反意义的量,只用原来的那些数很难区分量的相反意义.例如,零上5℃用5表示,那 么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示 想一想 解压密码联系qq11139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 第二章 有理数 在上面的天气预报电视屏幕上， 我们看到，这一天上海的最低温度 是-5℃，读作负 5℃，表示零下 5℃。 这里，出现了一种新数——负数. 我们将会看到，除了表示温度以外， 还有许多量需要用负数来表示.有了负数， 数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用. 本章将与你一起认识负数，把数的范围扩充到有理数，并研究有理数的大小比较和运算. §2.1 正数和负数 我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数 1，2，3，...; 为了表示“没有”， 引入了数 0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满 足生产和生活的需要而产生发展起来的. 1. 相反意义的量 在日常生活中，常会遇到这样的一些量： 例 1 汽车向东行驶 3.5 公里和向西行驶 2.5 公里； 例 2 收入 500 元和支出 237 元; 例 3 水位升高 5.5 米和下降 3.6 米等等. 这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反 意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义. 这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点? 你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗? 2. 正数与负数 对于相反意义的量, 只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5℃用5表示, 那 么零下 5℃就不能仍用同一个数 5 来表示. 想一想
免费下载网址htt: JIaoxuesu ys168com 怎样表示具有相反意义的量呢?能否从天气预报的电视屏幕上出现的标记中,得到一些启发 呢? 在天气预报的电视屏幕上我们发现,零下5℃可以用-5℃来表示一般地,对于具有相反意 义的量,我们可把其中一种意义的量规定为正的,用过去学过的数表示,把与它意义相反的 量规定为负的,用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示 就拿温度为例,通常规定零上为正,于是零下为负,零上10℃就用10℃表示,零下5℃用-5℃ 来表示 在例1中,如果规定向东为正,那么向西为负汽车向东行驶3公里记作3公里,向西2公 里应记作-2公里 在例3中,如果规定收入为正,收入500元记作500元,支出237元应记作什么? 在例4中,如果升高5.5米记作5.5米,下降3.6米记作什么? 在这些讨论中,出现了哪些新数? 为了表示具有相反意义的量,我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数,这是一种新数,叫 做负数( negative number).过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数 ( positive number).正数前面有时也可放上一个"+”号,如5可以写成+5,+5和5是一样的 注意:0既不是正数,也不是负数 练习 将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示 2.在中国地形图上,在珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它 们的高度的数,如图所示.这个数通常称为海拔高度,它是相对于 海平面来说的.请说出图中所示的数8848和-155表示的实际意义 海平面的高度用什么数表示? 3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数? 6:-21:54:0:2:-3.14:0.00:-99 吐香盆地 4.“一个数,如果不是正数,必定就是负数.”这句话对不对?为什 么? 3.有理数 想一想 引进了负数以后,我们学过的数有哪些? 引进了负数以后,我们学过的数就有:正整数,如1,2,3, 零 负整数,如-1,-2,-3, 22 正分数,如 4.5(即4-); 负分数,如、12 0.3(即--) 正整数、零和负整数统称整数( Integers),正分数和负分数统称分数( fractions).整数和分 数统称有理数( rational numbers). 解压密码联系qq11139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 怎样表示具有相反意义的量呢?能否从天气预报的电视屏幕上出现的标记中，得到一些启发 呢? 在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下 5℃可以用-5℃来表示. 一般地，对于具有相反意 义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的 量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示. 就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上 10℃就用 10℃表示，零下 5℃用 -5℃ 来表示. 在例 1 中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶 3 公里记作 3 公里，向西 2 公 里应记作-2 公里. 在例 3 中，如果规定收入为正，收入 500 元记作 500 元，支出 237 元应记作什么? 在例 4 中，如果升高 5.5 米记作 5.5 米,下降 3.6 米记作什么? 在这些讨论中，出现了哪些新数? 为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6 这样的数, 这是一种新数,叫 做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如 10,3,500,5.5 等,叫做正数 (positive number). 正数前面有时也可放上一个"+"号, 如 5 可以写成+5, +5 和 5 是一样的. 注意: 0 既不是正数,也不是负数. 练习 将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示. 2.在中国地形图上，在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它 们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于 海平面来说的.请说出图中所示的数 8848 和-155 表示的实际意义。 海平面的高度用什么数表示? 3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数? +6；-21；54；0； 7 22 ；-3.14；0.001；-999 4.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什 么? 3. 有理数 想一想 引进了负数以后，我们学过的数有哪些? 引进了负数以后，我们学过的数就有： 正整数，如 1，2，3，...; 零: 0; 负整数, 如-1,-2,-3,...; 正分数, 如 3 1 , 7 22 ,4.5(即 2 1 4 ); 负分数, 如- 2 1 , 7 2 − 2 ,-0.3(即 10 3 − ), 5 3 − .... 正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和分 数统称有理数(rational numbers)
免费下载网址ht: aoxue5uys68com 有如下分类表: 正整数 正有理数数 整数零 正分数 有理数 负整数 有理数零 分数 ∫正分数 负分数 负有理数顶整数 负分数 把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集( set of numbers).所有的有理数组成 的数集叫做有理数集.类似地,所有的整数组成的数集叫做整数集,所有的正数组成的数集 叫做正数集,所有的负数组成的数集叫做负数集,如此等等 例5把下列各数填入表示它所在的数集的 圈子里:-1822 1416,0,2001,--,-0.142857,95% 7 正整数 负整数 整数集 有理数集 3.1416 95% 0.142857 正整数 负整数 k8,0,2001 3.1416,0,2001 0.142857,95% 整数集 有理数集 解压密码联系qq11139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 有如下分类表： 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成 的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集 叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等. 例 5 把下列各数填入表示它所在的数集的 圈子里： -18, 7 22 , 3.1416, 0, 2001, 5 3 − , -0.142857, 95% 正整数 负整数 整数集 有理数集 解 7 22 , 3.1416, -18, 5 3 − , 2001, 95% -0.142857 正整数 负整数 －18，0，2001， -18, 7 22 , 3.1416, 0, 2001, 5 3 − , -0.142857, 95% 整数集 有理数集
免费下载网址htt: JIaoxuesu ys168com 练习 请说出两个正整数,两个负整数,两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗? 2.有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数?如有,这样的数有几个? 3.下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个 数既在正数集合内,又在整数集合内.这三个数应填在哪里?你能说出这两个圆圈的重叠部 分表示什么数的集合吗? 正数集 整数集 习题2.1 1.下列各数,哪些是整数,哪些是分数?哪些是正数,哪些是负数? 1,.10,5 5,0,-20,10.10,1000.1 2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里: 6 一,0.618,-3.14,260,-2001 0.3,-5% 整数集 分数集 负数集 有理数集 3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里 正整数集:{} 负整数集:{} 解压密码联系qq11139686加徽信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 练习 1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗? 2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个? 3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个 数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部 分表示什么数的集合吗? 正数集 整数集 习题 2.1 1. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数? 1， -0.10， 8 5 ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1 2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里： 3 1 − , 0.618, -3.14, 260, -2001, 7 6 , 0.3 − , -5% 整数集 分数集 负数集 有理数集 3.下面的大括号表示一些数的集合,把第 1、2 两题中的各数填入相应的大括号里: 正整数集:{ } 负整数集:{ }
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168 con 正分数集:{} 负分数集:{} 4观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,你能说出 第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗? (1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1 (2)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8 4’56’7--’ 阅读材料一一中国人最早使用负数 《九章算术》和我国古代的“正负术” 《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代,根据现在的考证, 至迟在公元前一世纪,但其中的数学内容,有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题 集的形式,全书246个问题,分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、嬴不足、方程、 勾股等九章,其中所包含的数学成就是十分丰富的。 引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中,当用 遍乘直除算法消元时,可能出现减数大于被减数的情形,为此,就需要引进负数《九章算术》 在方程章中提出了如下的“正负术”:“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。 其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。” 这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号:“相益”、“相除” 分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则,后四句说的是正负 数和零的加法法则。用符号表示,设a>b>0,这八句话可以表示为 (±a)-(±b)=±(a-b) (±a)-(ub)=±(a+b); 0 (±a)+(μb)=±(a-b),(±b)+(ua)=u(a-b) (±a)+(±b)=±(a-b) 0+a=+a; 0+(-a)=-a 不难看出,所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。 《九章算术》以后,魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释:“两算得失 相反,要令正负以名之”,并主张在筹算中用红筹代表正数,黑筹代表负数。 在国外,负数的出现和使用要比我国迟好几百年,直到七世纪时印度数学家才开 始使用负数。而在欧洲,直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。 §2.2数轴 1.数轴 联系q19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 正分数集:{ } 负分数集:{ } 4 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出 第 100 个数、第 2000 个数、第 2001 个数是什么吗? (1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，......； (2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，......； (3)-1, 2 1 ,- 3 1 , 4 1 , 5 1 − , 6 1 , 7 1 − , , , ,...... 阅读材料－－中国人最早使用负数 ——《九章算术》和我国古代的“正负术” 《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证， 至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题 集的形式，全书 246 个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、 勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。 引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中，当用 遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数《九章算术》 在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。 其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。” 这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除” 分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负 数和零的加法法则。用符号表示，设 a＞b＞0，这八句话可以表示为： (±a)－(±b)＝±(a－b)； (±a)－(μb)＝±(a＋b)； 0 a＝－a； 0－(－a)＝＋a； (±a)＋(μb)＝±(a－b),(±b)＋(μa)＝μ(a－b)； (±a)＋(±b)＝±(a－b)； 0＋a＝＋a； 0＋(－a)＝－a。 不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。 《九章算术》以后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失 相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。 在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开 始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。 §2.2 数轴 1. 数轴