薛定谔方程及其应用 由va)=0得 Asina=0 n兀 k (n=1,2,3) n兀 y(x)=Asix(n=1,2,3,) 由归一化条件「v2dx=1—A y.dx=a' sin 2 nnx dr=l 2.n兀x 于是:W(x)=1-sin (n=1,2,3,) 薛定谔方程及其应用 2.n丌x-E Y(x, t) SIn eh(n=1,2,3 显然该解为驻波形式。 ◆解的物理意义 ①无限深势阱中粒子的能量量子化 由k22mE 2k、h2 kn2 nrna 得E==-2=n2E1(n=1,2,3,) 2 2ma 6
6 由 ψ(a)=0 得 Asinka=0 a n k π = (n = 1,2,3L) 由归一化条件 | | d 1 2 = ∫ ∞ − ∞ ψ x d sin d 1 2 0 * 2 ⋅ = = ∫ ∫ ∞ −∞ x a n x x A a π ψ ψ 于是： a n x a x π ψ sin 2 ( ) = (n = 1,2,3,...) x a n x A π ψ ( ) = sin (n = 1,2,3,...) a A 2 = 薛定谔方程及其应用 Et i e a n x a x t h − = ⋅ π Ψ sin 2 ( , ) (n = 1,2,3L) 显然该 解为驻波形式。 解的物理意义 ①无限深势阱中粒子的能量量子化 a n k π = 2 2 2 h mE 由 k = 得 (n = 1,2,3,...) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n E ma n m k E = = = h π h 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 能量只能取一系列的分立值 E k2n2mn2=n2E1(n=1,23 2n 2ma 式中 E n 为最小能量E1也称零点能。 AE=En+I-E=(2n+1) h n 2ma n个今EE↑a↑→EE↓ n=2 m2>>h→AE→0 回到经典情况,能量连续。 薛定谔方程及其应用 ②粒子在势阱中的概率分布 经典:势阱中V=0,粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子 波函数y(x,t) 2nm。h 概率密度((x、)}=v(x)是2nm (n=1,2,3 波函数为驻波形式,势阱中不同位置强度不 等,粒子出现的概率不相同
7 为最小能量E1也称零点能。 式中 2 2 2 1 2ma E π h = E o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 (n = 1,2,3,...) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n E ma n m k E = = = h π h 能量只能取一系列的分立值： ( ) 2 2 2 1 2 2 1 ma E En En n π h ∆ = + − = + n ↑ ⇒ ∆E ↑ a ↑ ⇒ ∆E ↓ 0 ma2 >> h2 ⇒ ∆E → 回到经典情况，能量连续。 薛定谔方程及其应用 ②粒子在势阱中的概率分布 经典： 势阱中V = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子： 波函数 Et i e a n x a x t h − = π Ψ sin 2 ( , ) 概率密度 a n x a x t x π Ψ ψ 2 2 2 sin 2 | ( , ) | =| ( ) | = (n = 1,2,3,...) 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不 等，粒子出现的概率不相同。 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 (x)=12sin"c(x,)=(/3,n B SIn y(x) E,=16E e,=9E n=3 n=3 E2=4E1 2 0 薛定谔方程及其应用 (x,t) E,=16E n=4 E;=9E E 4E 2 2 x 0 两端为波节,|y2=0,粒子不能逸出势阱 阱内各位置粒子出现概率不同,Y峰值处较大 能级越高,驻波波长越短,峰值数增多 y相同,量子→经典 归一化条件,曲线下面积相等
8 Et i e a n x a x t h − = π Ψ sin 2 ( , ) a n x a x t x π Ψ ψ 2 2 2 sin 2 | ( , ) | =| ( ) | = o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x E1 2 1 E = 4E E3 = 9E1 4 1 E = 16 E Ψ ( ) x, t ( ) 2 Ψ x 薛定谔方程及其应用 两端为波节， |Ψ | 2 = 0， 粒子不能逸出势阱 归一化条件，曲线下面积相等 阱内各位置粒子出现概率不同， 2 |Ψ | 峰值处较大 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多 |Ψ | 2 相同，量子 → 经典 o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x E 1 E 2 = 4 E 1 E 3 = 9 E 1 4 1 E = 16 E Ψ ( ) x , t ( ) 2 Ψ x 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 例1、粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动, 处于m=1状态,求在0~区间发现该粒子的概率 解: lY==sin2 x P=Idx=-=sin dx "sina(c a元 m1.2丌x sIn =9.08% 兀2a 薛定谔方程及其应用 势垒隧道效应 势函数: II x >x V(x) 0x<x1 ≤X≤x =0 h d yp 代入2md +v(ry=ey d-y 2mE dx h 0(x<x1,x>x2) 得 d-y 2m +2(E-P=0(x1Sx≤ dx2 h2
9 例1、粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动， 处于n=1状态，求在 区间发现该粒子的概率 。 4 0 ~ a 解： a x a π Ψ 2 2 sin 2 | | = sin d( ) 2 2 4 0 a x a a x a a π π π ∫ = ) 9.08% 2 sin 4 1 2 ( 2 4 0 = − = a a x a πx π π P x a | | d 4 0 2 ∫ = Ψ x a x a a sin d 2 2 4 0 π ∫ = 薛定谔方程及其应用 ¾势垒 隧道效应 势函数： V ( x) = 0 x < x1, x >x2 0 1 2 V x ≤ x ≤ x 代入 Ψ Ψ Ψ V x E m x − + ( ) = d d 2 2 2 2 h 得 0 2 d d 2 2 2 + Ψ = Ψ h mE x (x < x1, x >x2) ( ) 0 x1 ≤ x ≤ x2 ( ) 2 d d 2 2 2 + − Ψ = Ψ E V m x h x E E I II III V=0 O x1 x2 V=0 V= V0 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 由薛定谔方程,解得三个区E 域方程的解 区域1(xx)V=0,解为正弦波 Y1=A sin(k,x+u V=0 A1,g1为常量 2mE x x2 区域I(x1≤x<x2),V=V0 解为指数函数 WAw 2m(V0-E) Yn=A24为常量k=y 薛定谔方程及其应用 区域Ⅲ(x>x2,≠=0,解为正弦波 I=A3 sin(k,x+p3) A3,g3为常量k1 2mE 由于区域Ⅱ和Ⅲ的波函数不为零,说明粒子 出现在该两个区域的概率不为零,可以证明 粒子穿透势垒的概率 e hv2m(o-E)d 2m(V0-E)(x2-x1) e 10
10 x1 x2 由薛定谔方程，解得三个区 域方程的解： 区域I(x<x1)V=0, 解为正弦波 sin( ) Ψ1 = 1 1 +ϕ1 A k x 1 2 2 h mE A1, ϕ1为常量 k = 区域II (x1< x <x2), V= V0, 解为指数函数 k x A e 2 2 − Ψ C = 2 0 2 2 ( ) h m V E k − A2为常量 = x E E I II III V=0 O x1 x2 V=0 V= V0 薛定谔方程及其应用 区域Ⅲ (x>x2), V=0, 解为正弦波 1 2 2 h mE A k = 3, ϕ3为常量 sin( ) = 3 1 +ϕ 3 Ψ A k x ΙΙΙ 由于区域Ⅱ和Ⅲ的波函数不为零，说明粒子 出现在该两个区域的概率不为零，可以证明 粒子穿透势垒的概率 2 ( )( ) 2 2 ( ) 2 0 2 1 0 m V E x x m V E d e P e − − − − − = = h h 薛定谔方程及其应用