UNIVERSITY PHYSICS II CHAPTER 27 An introduction to Quantum mechanics 薛定谔方程及其应用 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达, “波粒二象性”—借用经典语言进行互补性描述。 对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验,避免 借用经典语言引起的表观矛盾。 量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解 释,是建立在基本假设之上的构造性理论,其正确 性由实践检验。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态,波函 数所遵从的方程薛定谔方程是量子力学的基本 方程。波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设 之
1 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达， “波粒二象性”——借用经典语言进行互补性描述。 对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免 借用经典语言引起的表观矛盾。 量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解 释，是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确 性由实践检验。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函 数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本 方程。波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设 之一。 薛定谔方程及其应用
薛定遇方程及其应用 维自由粒子的波动方程 由一维自由粒子波函数y(x,t)=He(kx=m E y=h 德布罗意关系 P hh =hk ih-Y=Ey 得y(x,)=e(n2x-B ar-p y in-yy h2。2y=p2y 薛定遇方程及其应用 由一维运动自由粒子能量E 得量子客体一维运动波动方程 a hay >推广1:>一维势场E P助 +V(x) . ay n ay at 2m a2+v(x)y
2 薛定谔方程及其应用 一、一维自由粒子的波动方程 ( ) 0 ( , ) i kx t x t e ω Ψ Ψ − 由一维自由粒子波函数 = k h p E h h h = = = = λ ν ω 德布罗意关系 得 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = − Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 2 2 2 2 ( ) 0 ( , ) x x p x Et i p x p x i E t i x t e x h h h h 由一维运动自由粒子能量 m p E x 2 2 = 2 2 2 t 2m x i ∂ ∂ = − ∂ ∂Ψ h Ψ h 得量子客体一维运动波动方程 推广1： 一维势场 ( ) 2 2 V x m p E x = + Ψ Ψ Ψ ( ) 2 2 2 2 V x t m x i + ∂ ∂ = − ∂ ∂ h h 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 推广2 三维含时薛定谔方程 三维势场EsPx+p+P=+V(r) (r,),n22 边 0=-v2+V(r)H(r,t) 2m 其中y2_02, ax2+a2+a2-拉普拉斯算符 薛定谔方程及其应用 维定态薛定谔方程 若一维势场中,势能函数不显含时间,则 Y(x, t=y(x)f(t) 代入一维薛定谔方程得 i Ef h d-p 2m dr2 +v(x)y=Ey 可解得()=e iEt/h
3 推广2： 三维势场 ( ) 2 2 2 2 V r m p p p E x y z + + + = ( )] ( , ) 2 [ ( , ) 2 2 V r r t t m r t i Ψ Ψ = − ∇ + ∂ ∂ h h 其中 2 2 2 2 2 2 2 x y ∂z ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = ——拉普拉斯算符 二、三维含时薛定谔方程 薛定谔方程及其应用 三、一维定态薛定谔方程 若一维势场中，势能函数不显含时间，则 Ψ (x,t) =Ψ (x) f (t) 代入一维薛定谔方程得 Ef t f i = d d h Ψ Ψ Ψ V x E m x − + ( ) = d d 2 2 2 2 h 可解得 / h ( ) iEt f t e− = 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 概率幅为驻波 y(,, t)=y(rf(=y(x)e 概率密度 P(x,)={(x,0)2=P(x)f()2=y(x)2 不依赖于时间。 薛定谔方程及其应用 四、薛定谔方程的应用 一维无限深势阱 在一维刚性壁内运动的粒子的运动状态 ◆牛顿力学 粒子任意时刻有确切的位置、动量和能量。 yr) yr) yy / (a)经典描述(b)量子力学描述c)概率分布函数
4 概率幅为驻波 / h ( , ) ( ) ( ) ( ) iEt x t x f t x e− Ψ =Ψ =Ψ 概率密度 2 2 2 P( x,t) = Ψ ( x,t) = Ψ ( x) f (t) = Ψ ( x) 不依赖于时间。 薛定谔方程及其应用 四、薛定谔方程的应用 ¾一维无限深势阱 在一维刚性壁内运动的粒子的运动状态： v v ψ(x) ψ(x)⏐2 (a)经典描述 (b)量子力学描述 (c)概率分布函数 牛顿力学 粒子任意时刻有确切的位置、动量和能量。 薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用 ◆量子力学 粒子波函数具有驻波态,可由薛定谔方程求解。 由于粒子被限制在势箱内运动,将势能函数 简化为 00<x<a V(r) a其它情况 定态薛定谔方程 d 2 (E-∞)y=0①x≤0,x≥ 解①得v=0(粒子不能逸出势阱) 薛定谔方程及其应用 2m 0<x< dx2 h2 Ey=0 2mE d'y 令k 得 +ky=0 通解:y(x)= A sin kx+ B cos kr 积分常数 因为y(0)=y(a)=0 由y()=0得B= 于是y(x)= A sin k 5
5 量子力学 粒子波函数具有驻波态，可由薛定谔方程求解。 由于粒子被限制在势箱内运动，将势能函数 简化为 ⎩ ⎨ ⎧ ∞ < < = 其它情况 x a V x 0 0 ( ) 定态薛定谔方程 ( ) 0 x ≤ 0, x ≥ a 2 d d 2 2 2 + − ∞ ψ = ψ E m x h ① 解①得 ψ = 0 （粒子不能逸出势阱） 薛定谔方程及其应用 0 0 < x < a 2 d d 2 2 2 + ψ = ψ E m x h ② 令 2 2 2 h mE k = 得 0 d d 2 2 2 + ψ = ψ k x 通解: ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx 积分常数 由 ψ（0）= 0 得 B = 0 ψ ( x) = Asin kx 因为 ψ ( 0 ) = ψ ( a ) = 0 于是 薛定谔方程及其应用