《弹性力学》（双语版） 第四章 平面问题的极坐标解答

§4-3极坐标中的应力函数与相容方程 为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程,利 用极坐标和直角坐标的关系: x'+y, 6=arctan x=rcos6, y=rsin 6 得到: x cose Or y =sin e Ox I y r 0 in6 00 x cos 0 x y r 26

26 §4-3 极坐标中的应力函数与相容方程 为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利 用极坐标和直角坐标的关系：    cos , sin , arctan 2 2 2 x r y r x y r x y      得到： r r x r r y y x r y y r r x x r             cos , sin cos , sin , 2 2          

POLARSOLUIONSFORPENARPROBLEIS 0a0.c0c0 a ar ax 00 ax =cos0 ar r 00 ap ar 00 a0=sines a cos0 d(p ay ar ay 08 ay ar r 00 a2 cos8op 2sin@ cos0 89 sin 8 ap 2sinb cos0 ag+ SIn 8a9 ( a) q aroe a2 sino.p, 2sin 0 cos0 a-p cos 8 ap 2sin 0 cos dp cos 08o() q a rare r:a aa,=sin 0 cose p cos 0p sine cos0 ap q a arae a (c) cos8-sin 8 a sin 0 cos0 8o 06 r286 27

27 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos 2sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos                                                 y r r r r r r r x r r r r r r r           （a） （b）                                            y y r r r y r x x r r r x r cos sin sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos                                       r r x y r r r r r （c）

a ar ar 08 a op sin e ap ao ao ar d 00 asine ap cos aq 06 09200p 2sin0 cos0 8 sin 0 a 2sin 0 cos0 ap sin2 080 = cOS a aroer a 0 202 200p 2sin@ cos0 ap1 cos 0 d0 2sin@ cos0 ap cos200 9(b) =SIn i ay a are r a 0r2a0 aa,= sin 0 cose p cos 0p sin6cos0 ap q a arae a (c) cos8-sin 8 a sin 0 cos0 8o 06 06

28 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos 2sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos                                                 y r r r r r r r x r r r r r r r           （a） （b） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos                                       r r x y r r r r r （c）                                            y y r r r y r x x r r r x r cos sin sin cos

POELSOUIONSFOR2 When6=, the components in polar coordinates equal the ones in orthogonal coordinates. Substituting these values into equations of stress components (normal body force 00a 7= gets dxdy a=(x)=0=(2)=0= Oo 1 09 r ar r00 0=(,)=0ax2 o 1ac Tre=(txy)0=0 a 0-0 ar rob

29 gets： ) 1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0                                     x y r r x r y r r r r xy y r x                   Whenθ=0,the components in polar coordinates equal the ones in orthogonal coordinates.Substituting these values into equations of stress components（normal body force）： x y x y xy y x                  2 2 2 2 2

在θ=0时,极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上 面各式代入应力分量的表达式(常体力): OX 020 axa 得到: r=(ox)=0 1a0,1a 0=0 rar r 00 r=(,)0=(x2 a =0 a n=(n)b=()n2=-2(c 30

30 得到： ) 1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0                                     x y r r x r y r r r r xy y r x                   在θ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上 面各式代入应力分量的表达式（常体力）： x y x y xy y x                  2 2 2 2 2