《弹性力学》（双语版） 第四章 平面问题的极坐标解答

§4-2极坐标中的几何方程及物理方程 一、几何方程一位移与形变间的微分关系 在极坐标中规定: E-径向正应变 Fde pl E0—环向正应变 y—剪应变(径向与环向两线段 B B B 之间的直角的改变) ly--径向位移 y l--环向位移 图4-2 16

16 一、几何方程—位移与形变间的微分关系 §4-2 极坐标中的几何方程及物理方程 在极坐标中规定: r      r r u u ---径向正应变 ---环向正应变 ---剪应变(径向与环向两线段 之间的直角的改变) ---径向位移 ---环向位移 图4-2  d r dr r u o 

POELSOUIONSFOR2 Discuss differential relationship between displacements and deformation in polar coordinates with superimpose method Assume only having radial displacement but no hoop one Fig 4-2 Normal strain of radial line segment pA,have our d r)=ur Our (ur t ar ar- dr Normal strain of hoop line segment PB, have ea =(+u )de-rd0 u rde Angle of rotation of radial line segment pa have C=0 7

17 Normal strain of radial line segment PA ,have： r u dr dr u r u u r r r r r         ( )  Normal strain of hoop line segment PB ,have： r u rd r u d rd r r          ( ) Angle of rotation of radial line segment PA ,have：   0 (1)Assume only having radial displacement but no hoop one. Fig.4-2. Discuss differential relationship between displacements and deformation in polar coordinates with superimpose method

用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。 (1)假定只有径向位移,而无环向位移。如图4-2所示。 径向线段PA的正应变为: ou dr)-ur a Er=- dr ar 环向线段PB的正应变为: r+u )de-rde u rde 径向线段PA的转角为: 0 18

18 径向线段 PA 的正应变为： r u dr dr u r u u r r r r r         ( )  环向线段PB 的正应变为： r u rd r u d rd r r          ( ) 径向线段 PA 的转角为：   0 用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。 （1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示

Angle of rotation of hoop line segment PB, have u, +d0)-u B rde r06 Thus shear strain have rre=a+B= r06 (2 )Assume only having hoop displacement but no radial one Fig4-3 x Normal strain of radial line segment O, Pa have de =0 Normal slope of hoop line segment PB have B (l+d0)-l En=00 91a y rde r06 Fig.4-319

19  d r P P B B A A dr u o (2)Assume only having hoop displacement but no radial one. Fig.4-3. Fig.4-3 Thus shear strain,have:  r  0 Normal strain of radial line segment PA ,have：                   u rd r d u u u 1 ( ) Normal slope of hoop line segment PB ,have：           r r u r 1 Angle of rotation of hoop line segment PB ,have：              r r r r u rd r d u u u 1 ( )

环向线段PB的转角为: dr (u, +rdo)-u de B= 06 rde r06 可见剪应变为: B rre=a+B=r r00 y 图 4-3 (2)假定只有环向位移,而无径向位移。如图4-3所示 径向线段PA的正应变为: E.=0 环向线段PB的正转角为: (L+ d6)-u 06 1 a rde r06

20  d r P P B B A A dr u o （2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。 图4-3 径向线段 PA的正应变为：  r  0 环向线段 PB的正转角为：                   u rd r d u u u 1 ( ) 环向线段PB 的转角为：              r r r r u rd r d u u u 1 ( ) 可见剪应变为：           r r u r 1