复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 家庭效用函数为 (cn)e 其中p为主观贴现率,(0)=∞,u(∞)=0。假定p>n,以保证当c为常数时, U是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率 假定存在两种资产,资本和债权,假定没有风险,资本市场完全竞争,因此 收益率都为n。同时存在竞争的劳动力市场,工资为w。假定总资产为A,平 均净资产为a=A/L,资产收益为ra。因此家庭的预算约束为 at=Wt+rar-Cr-na 2.非蓬齐对策条件(意义 lineare ]≥0 这意味着,在长期,一个家庭的平均债务的增长速度不能大于n-n,因此总债 务的增长速度不能超过n。我们定义nhv,因此2-4又可被写为 lima(te20 3.汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是,在跨期预算约束条件下最大化U0。这个问 题可以用动态最优化的方法来解决,先写成现值汉米尔顿函数形式: H=u(x)- p-n)+u[u 其中4是资产的影子价格。一阶条件为 =0→=l(c)e(m aH →=-(r-n) limana=0 2-8 其中2一7是欧拉方程,或拉姆齐一凯恩斯最优储蓄规则。2-8是横截条件。现 在我们来求出最优的消费变化。2-6两边对时间求导得 3这种效用函数,这里的p等价于上一节中的p=p+n。因此本节稳态解的结论与第一节比较时, 要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数,实际上是拉姆齐增长模型中的两种用 法。第二节的这种用法又被称为 Benthamite felicity function(幸福函数) 其实是根据横截条件推出的 5A=wL+r4-C,因此a=d()/=a-AL,A,L,A L t li =w+ra-c-na
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 家庭效用函数为3 U u 2－2 ( ) 0 0 ( ) n t ct e ρ ∞ − − = ∫ dt 其中 ρ 为主观贴现率，u '(0) = ∞ ，u '(∞) = 0 。假定 ρ > n 4 ，以保证当c 为常数时， U 0 是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。 假定存在两种资产，资本和债权，假定没有风险，资本市场完全竞争，因此 收益率都为 。同时存在竞争的劳动力市场，工资为 。假定总资产为 ，平 均净资产为a A ，资产收益为r a 。因此家庭的预算约束为 rt wt At t t = / Lt t ] 0 t t . a w t t = + rat − ct − na 5 2－3 2．非蓬齐对策条件（意义） 2－4 0 ( ) [ lim t r n v dv t t a e− − →∞ ∫ ≥ 这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于 ，因此总债 务的增长速度不能超过 。我们定义 rt − n rt 0 1 t rt r t = vdv ∫ ，因此 2－4 又可被写为 ( ) [ ( ) ] 0 lim t rt n t a t e− − →∞ ≥ 2－4’ 3．汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U 。这个问 题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式： 0 2－5 ( ) ( ) [ ( ) ] n H u x e w r n a c ρ µ − − = + + − − 其中µ 是资产的影子价格。一阶条件为 ( ) 0 '( ) H n t u c e c ρ µ ∂ − − = ⇒ = ∂ 2－6 . . ( ) H r n a µ µ ∂ = − ⇒ = − − ∂ µ 2－7 lim[ t t] 0 t µ a →∞ = 2－8 其中 2－7 是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8 是横截条件。现 在我们来求出最优的消费变化。2－6 两边对时间求导得 3 这种效用函数，这里的 ρ 等价于上一节中的 。因此本节稳态解的结论与第一节比较时， 要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数，实际上是拉姆齐增长模型中的两种用 法。第二节的这种用法又被称为 Benthamite felicity function（幸福函数） ρ ρ = n 第一节＋ 4 其实是根据横截条件推出的。 5 ，因此 . A w t t = + Lt rtAt −Ct . . . . . 2 ( )/ t t t t t t t t t t t t t A A L A L A L A a d dt w ra c na L L L L L − = = = − = + − − 6
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 u=u()ce-p-n-(P-n)u' (c) jr 由2-6,知e--n=山/u'(c),代入到2—9并将2-7代入2-9,得: u(c)c u"(c)c 为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性: dlu'(cs)/u'(cuI (c)/'(c)d(c/c) 跨期替代弹性是c/c比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数 因此2-10可以写为 或 跨期替代弹性越大,表示消费者越不关心消费平滑,表示消费的增长越大。考虑 个不变跨期替代弹性的效用函数(CIES) (c) ,6>0,6≠1;t(c)=logc,6=1 其中-θ是边际效用弹性值,因此跨期替代弹性σ=1/θ。因此2-12变为 对2一7积分得: 1(1)=(O)e-n=),(0>0 因此2-8变为 °实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应,因为简单的跨期消费问题中存(c)1+r l(c+1)1+p ρ是贴现率,r取决于资本存量,即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数,这可以写 为2+=[(+刀中,O=1/a.因此跨期替代弹性越大,对利率的反应也越大
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 2－9 . . ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) n u c c e n u c e ρ µ ρ − − − − = − − ρ n t 由 2－6，知e− − ( ) ρ n t = µ / ' u (c)，代入到 2－9 并将 2－7 代入 2－9，得： . ''( ) [ ]( '( ) u c c c r u c c = − ρ ) 2－10 ''( ) '( ) u c c u c − 为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性： 1 / [ '( )/ '( )] [ '( )/ '( ) ( / ) s t s t s t s t c c d u c u c u c u c d c c σ ] − = − 2－11 跨期替代弹性是cs / ct 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数6 。 。因此 2－10 可以写为 . 1 ( ) c c ρ σ r = + 或 . ( c r c = σ − ρ) 2－12 跨期替代弹性越大，表示消费者越不关心消费平滑，表示消费的增长越大。考虑 一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES） 1 1 ( ) 1 c θ u c θ − − = − ，θ > 0,θ ≠ 1；u c( ) = log c ，θ =1 2－13 其中−θ 是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性σ =1/θ 。因此 2－12 变为 . c r c ρ θ − = 2－14 对 2－7 积分得： ( ( ) (0) t rt n µ µ t e− − = ) ，µ(0) > 0 2－15 因此 2－8 变为 6 实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在 1 '( ) 1 '( ) 1 t t u c r u c + ρ + = + ， ρ 是贴现率，r 取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写 为 1 (1 ) 1 [ ] (1 ) t ct c r θ ρ + = + + ，θ =1/σ 。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。 7