内蒙古科技大学教案 修香积分及卷积定 )卷积积分 在时域中以单位脉冲输入量作用于系统，并测出系统的响应，就可以得到有关系统动 态特性的全部信息。 脉冲响应函数的重要性还在于：对于任何线性系统，我们总可以把任意形式的输入量 x(),看成由无数个脉冲迭加组成的。每个脉冲又看作是单位脉冲的若干倍。对于每一个脉 冲系统都将有 个响应， 把这些响应进行迭加，就可以得到在任意输入函数作用下系统 总响应x(0)。 即： x()=[x,(r)-g(t-r).dr (2-17) (重点，该部 分是考点) 式中：g0 一单位脉冲输入信号6()的单位脉冲响应函数。 这就是若名的“卷积积分 卷积积分 的名词由来及数学意义 式217所表示的积分，在线性系统分析中具有重要的意义。它所表示的是两个函数乘 积的积分，不过在具体施行积分时要把其中一个函数g(x)先沿时间轴平移一个距离变成 求得 的“像”或折达函数8 像然后再将它以t为对称轴作一次折选，即由时间平移函数为一 ,最后把X(t)与折迭函数。 了反映施行这一积分过程的特点：先卷（折迭）再乘（求积）然后进行积分，故数学上叫 做“卷积积分”，简称卷积。 2)卷积积分的物理意义 前面己指出，g)代表单位脉冲响应函数，x:)代表线性系统的任意输入函数，则系统 的输出或响应就等于它们的卷积积分 即：无0)=x,(0*g0 (响应)（拾入）（欧冲响受消数） 这就是卷积积分的物理意义。由此物理意义出发，联系到线性系统在复数域中响应和 喻入之间的关系表达式 X() Y=X,(s) G(s) (响位的拉氏支换) 《输入的拉氏变换) (传迸函数，即秋冲利应函数的拉氏变换】 其中：X(s)=川x(0]-x()*g] 于是自然有： x.()*8(0=X.(s)-G(s) (2-18 式218说明，两个时间函数之卷积的拉氏变换就等于它们各自的拉氏变换的乘积，这 就是名的“卷积定瑰”当然这一结果也能从数学上加以推论。 由于时间和篇幅所限，在 此 卷积定理再次告诉我们，对于线性系统，其复域描述与时域描述是完全等价的。通过 拉氏变换可以把时域中复杂的卷积运算变化成复域中的乘法运算，大大简化了问题的求解 方法。 6
6 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案 (9)卷积分及卷积定理 1)卷积积分 在时域中以单位脉冲输入量作用于系统，并测出系统的响应，就可以得到有关系统动 态特性的全部信息。 脉冲响应函数的重要性还在于：对于任何线性系统，我们总可以把任意形式的输入量 xr(t)，看成由无数个脉冲迭加组成的。每个脉冲又看作是单位脉冲的若干倍。对于每一个脉 冲系统都将有一个响应，把这些响应进行迭加，就可以得到在任意输入函数作用下系统的 总响应 x0(t)。 即： = − t x t xr g t d 0 0 ( ) ( ) ( ) （2-17） 式中： g(t) ——单位脉冲输入信号 δ（t）的单位脉冲响应函数。 这就是著名的“卷积积分”。 “卷积积分”的名词由来及数学意义 式 2-17 所表示的积分，在线性系统分析中具有重要的意义。它所表示的是两个函数乘 积的积分，不过在具体施行积分时要把其中一个函数 g( ) 先沿时间轴平移一个距离变成 g( − t) ，然后再将它以 t 为对称轴作一次折迭，即由时间平移函数 g( − t) = g[−(t − )] 求得 它的“像”或折迭函数 g(t − ) ，最后把 xr(τ)与折迭函数 g(t − ) 相乘后再对时间积分。为 了反映施行这一积分过程的特点：先卷（折迭）再乘（求积）然后进行积分，故数学上叫 做“卷积积分”，简称卷积。 2)卷积积分的物理意义 前面已指出，g(t)代表单位脉冲响应函数，x r(t)代表线性系统的任意输入函数，则系统 的输出或响应就等于它们的卷积积分。 即： ( ) ( ) ( ) 0 x t x t g t = r （响应） （输入） （脉冲响应函数） 这就是卷积积分的物理意义。由此物理意义出发，联系到线性系统在复数域中响应和 输入之间的关系表达式： ( ) 0 X s X X (s) = r G(s) （响应的拉氏变换） （输入的拉氏变换） （传递函数，即脉冲响应函数的拉氏变换） 其中： ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] 0 0 X s L x t L x t g t = = r 于是自然有： L[x (t) g(t)] X (s) G(s) r r = （2-18） 式 2-18 说明，两个时间函数之卷积的拉氏变换就等于它们各自的拉氏变换的乘积，这 就是著名的“卷积定理”。当然这一结果也能从数学上加以推论，由于时间和篇幅所限，在 此就不赘述。 卷积定理再次告诉我们，对于线性系统，其复域描述与时域描述是完全等价的。通过 拉氏变换可以把时域中复杂的卷积运算变化成复域中的乘法运算，大大简化了问题的求解 方法。 （重点，该部 分是考点）
2.2.4拉氏反变换 上面介绍了从原函数求其象函数的方法，在使用中往往有相反的需要，希望从象函 数F(S)返回去找出原函数)来。由象函数到原函数的变换，称拉氏反变换，并用算符“L1 来表示。 种拉氏反变换的简便方法，就是利用拉氏变换表：对于拉氏变换表中找不到的 可先将象函数展开成部分分式，分步查起。 一般，希望进行反变换的象函数F(s)通常表现为下列分式的形式： N(s)b S+b Sm-+hS+h (2-19) D(s)a.S"+aS"-+.+as+a 拉氏反变换必须按下列规范进行： (I)分母多项式D(S)首一化。即必须是首项S”的系数等于1。 2)分式Ns 真分式化。即要求n≥m,如果一旦m>m,则总可以通过多项式除法 D(s) 将F(S)化成一个商多项式与余式之和，此时的余式总能满足n≥m的要求 (3)将分母、分子多项式D(S、Ns)进行因式分解，把象函数写成下面因式分解的形 N(s)K(s+Zs+Z).(s+Z) F()=D()(5+PX5+B)+B) (2-20) 式中-p,p和-Z-五，. ~乙不是实数就是共轭复数。由于F(S)中的变量s当 取值各为Z,-乙，Z时，F(s)等于零，所以我们称它们为F(S)的零点：而当s取值名 为-p1,P2,.,P,时，F(s)→0，所以又称-P1,P2,Pn为F(s)的极点。 (4)根据S)的极点形式不同，分别按下述方法写出其相应的部分分式展开式，并确定 特定系数 ①FS)只包含一系列不同极点： 其部分分式展开式可写成 F)= (2-21) 代表性的c4可如下求得： (2-22) ②F(s)含有m重极点： 其部分分式展开为： N(s) (2-23) 代表性的c可如下求得
7 2.2.4 拉氏反变换 上面介绍了从原函数求其象函数的方法，在使用中往往有相反的需要，希望从象函 数 F(s)返回去找出原函数 f(t)来。由象函数到原函数的变换，称拉氏反变换，并用算符“L -1 ” 来表示。 一种拉氏反变换的简便方法，就是利用拉氏变换表；对于拉氏变换表中找不到的， 可先将象函数展开成部分分式，分步查起。 一般，希望进行反变换的象函数 F(s)通常表现为下列分式的形式： 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) a S a S a S a b S b S b S b D s N s F s n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − （2-19） 拉氏反变换必须按下列规范进行： (1)分母多项式 D(s)首一化。即必须是首项 S n 的系数等于 1。 (2)分式 ( ) ( ) D s N s 真分式化。即要求 n≥m,如果一旦 m>n，则总可以通过多项式除法， 将 F(s)化成一个商多项式与余式之和，此时的余式总能满足 n≥m 的要求。 (3)将分母﹑分子多项式 D(s)﹑N(s)进行因式分解，把象函数写成下面因式分解的形式 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s P s P s P K s Z s Z s Z D s N s F s + + + + + + = = （2-20） 式中-p1,-p2,.,-pn 和-Z1,-Z2,.-Zm不是实数就是共轭复数。由于 F(s)中的变量 s 当 取值各为-Z1,-Z2,.-Zm 时，F(s)等于零，所以我们称它们为 F(s)的零点；而当 s 取值各 为-p1,-p2,.,-pn 时， F(s) → ，所以又称-p1,-p2,.,-pn 为 F(s)的极点。 (4)根据 F(s)的极点形式不同，分别按下述方法写出其相应的部分分式展开式，并确定 待定系数。 ①F(s)只包含一系列不同极点； 其部分分式展开式可写成 n n s P c s P c s P c D s N s F s + + + + + + = = 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) (2-21) 代表性的 ck 可如下求得: pk k Pk s s D s N s c = + =− ( )] ( ) ( ) [ (2-22) ②F(s)含有 m 重极点： 其部分分式展开为： s P c s P c s P c D s N s F s n m m + + + + + + = = 1 2 −1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （2-23） 代表性的 ck 可如下求得: (2-22)