) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差R(x)=f(x)-Ln(x) 解 f(x;)=Ln(x),i=0,…Hn Rn(x)=0,i=0,…n R(x)=k(x(x-xo).(x-n 求k(x)=? Va, k(a=? 设v(1)=f(t)-Ln,(1)-k(a)(t-x0)…(t-xn) 易知v(x)=0,i=0,… n and y(a)=0
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差 R (x) f (x) L (x) n = − n 解： ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 , 0, ( ) ( ) , 0, n 0 n n i i n i R x k x x x x x R x i n f x L x i n = − − = = = = 求 k(x) = ? ( ) 0, 0, and ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ? 0 = = = = − − − − = x i n a t f t L t k a t x t x a k a i n n 设 易知
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS y(t)有n+2个零点 (n+1) 5)=0 n+1 (n+1 (2)-k(a)(n+1) K(a f(+(2) (n+1) 由a的任意性 R,(x) f(m(5) X-x X-X (n+1)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS (t) 有n+2个零点 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1)! , ( ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + = = − + = + + + + n f k a f k a n n n n n ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 ( 1) n n n x x x x n f R x − − + = + 由a的任意性
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例:已知sinz=1,sinz 32 分别利用sinx的次、次 Lagrange插值计算sin50° 并估计误差
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：已知 2 3 3 , sin 2 1 4 , sin 2 1 6 sin = = = 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 5兀 50 18 解:n=1分别利用x,x1以及x1,x计算 2 中利用x=z 、2 L1(x) x-兀 -十 x-丌/6 z/6-z/4^2x/4-z/6 内插通常优于外推。选择)=m,点(到 要计算的x所在的区间的 端点,插值效果较好。 sin50°=0.766044 外推 extrapolation的时、差≈-001001 利用=5,=:008(请0 内插/ interpolation+的实际误差≈000596
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 解： x0 1 x x2 18 5 500 = n = 1 分别利用x0 , x1 以及 x1 , x2 计算 4 , 6 0 1 利用 x = x = 2 1 / 4 / 6 / 6 2 1 / 6 / 4 / 4 ( ) 1 − − + − − = x x L x 这里 ) 3 , 6 ( ) sin , ( ) sin , ( (2) f x = x f x = − x x 而 ) 4 )( 6 ( 2 ! ( ) , ( ) 2 3 sin 2 1 (2) 1 = x − x − f R x x x ) 0.00762 18 5 0.01319 ( − 1 − R sin 50 = 0.7660444… ) 18 5 sin 50 (1 0 L 0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 −0.01001 3 , 4 1 2 利用 x = x = sin 50 0.76008, 0.00660 18 ~ 5 0.00538 1 R 内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596 内插通常优于外推。选择 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n=2L2(x)= (一(-3)2(一含手-5层,(x-5x号x (x-4)(x-3)、1,(x-)(x-3 √2(3一5)一) sin50≈L2 5兀 )≈0.76543 18 cos R2(x) 3! (x-4)(x-) Gr- <cOSC.< 2 0.00044<R2 57)<0.007 sin50°=0.7660444. 18 2次插值的实际误差≈000061 高次插值通常优于 低次插值
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n = 2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) 3 6 3 4 6 4 4 6 4 3 6 3 6 4 6 3 4 3 2 − − − − + − − − − + − − − − = x x x x x x L x ) 18 5 sin 50 (2 0 L 0.76543 2 3 cos 2 1 ); 3 )( 4 )( 6 ( 3 ! cos ( ) 2 − − − − = x x R x x x x 0.00077 18 5 0.00044 2 R sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值