例21.1一直均质的细长杆的质量为M, 长为L,求杆对通过其质心,且垂直与杆 的轴的转动惯量和回转半径。 解: C (1)建立坐标系,如图所示,沿杆向取微 段,其坐标为(x,0,0),其质量为 dm =M dx
例21.1 一直均质的细长杆的质量为M ， 长为L，求杆对通过其质心，且垂直与杆 的z轴的转动惯量和回转半径。 x y C dx x (1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微 段 ，其坐标为（x,0,0），其质量为 解： dm dx L M =
(2)上述质量微元离轴的距离为x, 杆对z轴转动惯量为: 个N3M= SM 22 X ats、1M 3 X 2 2 =M 12 L 3)杆对z轴的回转半径为 J2√3 M 6
(2)上述质量微元离z轴的距离为 ， 杆对z 轴转动惯量为： x J z 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 l M x x x l L M dx L M dm − − = = = M L 2 12 1 = (3) 杆对z轴的回转半径为 L M J Z Z 6 3 = =
例21.2已知厚度相等的均质薄圆盘的半径 为R,质量为M,求圆盘对过其中心,且垂 直于圆盘平面的轴的转动惯量和回转半径 y 解: 1.取半径为r,宽度为的圆环,其质量是 M 2M dr dm=(2crdr)=.rd 丌R
例21. 2 已知厚度相等的均质薄圆盘的半径 为R，质量为M，求圆盘对过其中心，且垂 直于圆盘平面的z轴的转动惯量和回转半径 rdr M rdr M dm R R 2 2 2 = (2 ) = x y C r dr 解： 1．取半径为r,宽度为的圆环，其质量是:
2.上述圆环的各质点到z轴的距离都为r,于是 圆盘对轴的转动惯量为: 2M M ≈=Jmm 12 MR R 2R 3.圆盘对轴的回转半径为 √2 M
3．圆盘对z轴的回转半径为 R M J Z Z 2 2 = = r R R r R M r M M d m d r R R J z M 2 0 3 4 0 2 2 2 2 1 2 2 = = = = 2．上述圆环的各质点到z轴的距离都为r,于是 圆盘对z轴的转动惯量为:
2.转动惯量的平行轴定理 刚体对任—轴的转动惯量等于刚体对过 质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上网 体质量与两轴之间距离平方的乘积记为 J,=J2+Md 说明 由转动惯量的平行轴定理和转动惯 量叠加定理,可以快捷的的求出由几个简 单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯 量。有空心刚体一无空心整体空心部分 (转动惯量)
说明 J z J Z M d 2 = + 由转动惯量的平行轴定理和转动惯 量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简 单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯 量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量） 刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过 质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚 体质量与两轴之间距离平方的乘积 记为 2.转动惯量的平行轴定理