第二章 晶体结构的测定 S2.1倒易点阵 2.1.1倒格子基矢定义 晶体的几何结构形成一空间点阵，空间点阵由3个初基原胞的基矢 a,2,来描述。由这套基矢可以定义出3个新矢量： 6=2ga,×a) . () (2-1-1) 式(2-1-1)称为倒易点阵（或倒格子）的基矢，其中y=a(,×a),是晶 体原胞的体积。倒格子中的格点（简称倒格点）的位矢可表示为： G。=h+hb,+hb,其中h1,2,s为整数，G常称为倒格矢。 正格子基矢与倒格子互为倒易，它们的基矢具有如下的关系： a6,=0在其中i和j均为12,3). (2-1-2) 2.1.2倒格子的性质 倒格子具有以下基本性质： (1)以倒格子基矢b,b2,b:为棱边构成的平行 六面体称为倒格子原胞，其体积为v。 *=46x4)=2 G 2.1-3) (2)倒格矢G=h+h,b,+,h和正格子空间 0 41 图1S1品面族〔，)中A想C面的
1 第二章 晶体结构的测定 §2．1 倒易点阵 2．1．1 倒格子基矢定义 晶体的几何结构形成一空间点阵，空间点阵由 3 个初基原胞的基矢 a1,a2,a3 来描述。由这套基矢可以定义出 3 个新矢量： 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) c c c v v v b a a b a a b a a . （2-1-1） 式（2-1-1）称为倒易点阵（或倒格子）的基矢，其中 1 2 3 ( ) c v a a a ，是晶 体原胞的体积。倒格子中的格点（简称倒格点）的位矢可表示为： h 1 1 2 2 3 3 G b b b h h h ，其中 h1,h2,h3 为整数，Gh常称为倒格矢。 正格子基矢与倒格子互为倒易，它们的基矢具有如下的关系： 2 , 0, i j i j i j a b （其中 i 和 j 均为 1,2,3）. （2-1-2） 2. 1．2 倒格子的性质 倒格子具有以下基本性质： （1）以倒格子基矢 b1,b2,b3 为棱边构成的平行 六面体称为倒格子原胞，其体积为 v *。 3 1 2 3 2 * ( ) c v v b b b .2-1-3） （2）倒格矢 h 1 1 2 2 3 3 G b b b h h h 和正格子空间
中面指数为(hhhg)的晶面族正交，即G6沿晶面族的法线方向。 我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC在a,42,4,上的截距分别为 骨会会如图118所示，易写出矢量C4和C8: CA=0A-0C=4-4 h hg CB=0B-0C=4-0 (2-1-4) 失量CA和CB都在ABC面上，因此，只要证明C:CA=0, G,-CB=0则就能说明 G=h,+h,b,+h,b与面指数为(hhhg)的晶面族正交。 实际上，利用关系式(2-1-2)，有 GC4=A+i+号-会=0 GCB=+A+爱-会=0 .(2-1-5) (3)品面族)的面向距d与例格矢G,的模成反比，关系为d一员】 图1-l8中ABC面就是晶面族(hhh:)中距原点最近的晶面，所以这族晶面的 面间距，就等于原点到面ABC的距离，而之族晶面的法线方向即为G的方向， 其面间距为 d= (2.1-6) (1)正格矢R=1a,+l,a2+la与倒格矢G。=h+h,b,+h,b之间满足 RG6=24,(4=0,1,2,.。. .(2-1-7)
2 中面指数为（h1h2h3）的晶面族正交，即 Gh沿晶面族的法线方向。 我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面 ABC 在 1 2 3 a a a , , 上的截距分别为 1 2 3 1 2 3 , , a a a h h h ，如图 1-18 所示，易写出矢量CA和CB ： 1 3 1 3 2 3 2 3 h h h h a a CA OA OC a a CB OB OC . （2-1-4） 矢量CA和CB 都在 ABC 面上，因此，只要证明 0 0 h h G CA G CB ，则就能说明 h 1 1 2 2 3 3 G b b b h h h 与面指数为（h1h2h3）的晶面族正交。 实际上，利用关系式（2-1-2），有 1 3 1 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 1 2 2 3 3 2 3 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. h h h h h h h h h h h h a a G CA b b b a a G CB b b b . .（2-1-5） （3）晶面族（h1h2h3）的面间距 dh 与倒格矢 Gh 的模成反比，关系为 2 h h d G 。 图 1-18 中 ABC 面就是晶面族（h1h2h3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的 面间距 dh 就等于原点到面 ABC 的距离，而之族晶面的法线方向即为 Gh的方向， 其面间距为 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 h ( ) 2 h h h h h h d h h h h h a G a b b b G b b b G 。. （2-1-6） （1） 正格矢 l 1 1 2 2 3 3 R a a a l l l 与倒格矢 h 1 1 2 2 3 3 G b b b h h h 之间满足 2 ,( 0, 1, 2, ) R Gl h 。. .（2-1-7）
§2.2布里渊区 在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些 平面把倒易空间分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第 一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二 布里渊区，以此类推，可得到第三、第四等各布里渊区。 2.2.1一维晶格的布里渊区 一维晶格基矢为a=,对应的倒格子基矢b=2匹1，离原点最近的倒格矢为 b和-b。这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为±π/a,如图2-2-1 所示。 地品格结物 8 格子结 用11品格、格子结构及一考型区际 2.2.2二维正方格子的布里渊区 二维正方格子的基矢和倒格子基矢分别为： 「a=adi 4=2红1 (2-2-1) a= 即倒格子的结构也是正方格子，晶格常数为红，其倒格矢可以表示为： +九6二2红1+A和为整数. (2-2-2) 二维正方格子的布里渊区如图2-2-2所示。 3
3 §2.2 布里渊区 在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢 G 的垂直平分面，这些 平面把倒易空间分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第 一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二 布里渊区，以此类推，可得到第三、第四等各布里渊区。 2.2.1 一维晶格的布里渊区 一维晶格基矢为a i a ，对应的倒格子基矢 2 a b i ,离原点最近的倒格矢为 b 和-b。这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为 a ，如图 2-2-1 所示。 2.2.2 二维正方格子的布里渊区 二维正方格子的基矢和倒格子基矢分别为： 1 1 2 2 2 2 a a a a b i a i a j b j .（2-2-1） 即倒格子的结构也是正方格子，晶格常数为 2 a ，其倒格矢可以表示为： 1 1 2 2 1 2 1 2 2 ( ), h h h h h h h a G b b i j 和 为整数. （2-2-2） 二维正方格子的布里渊区如图 2-2-2 所示
图2-22二维正方格子布里渊区示意图 2-2.3体心立方晶格第一布里渊区 设品格常数为a,体心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为： a=-i+j+)4=20+利 46-:剡么-晋+0 0,=+j-k) (2-2-3) 由此，可知其倒格子为面心立方结构，它的第一布里渊区为菱形十二面体，如图 2-2-3所示，由12个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成。图中还给出了几个特殊 的方向： 0方向记作4历-号 10方向记作x,N=22红 2 a I方向记作A,P=52红 2 a 园1-63体心立方品格的第一布里 2.2.4面心立方晶格第一布里渊区 设晶格常数为a,面心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为：
4 2-2. 3 体心立方晶格第一布里渊区 设晶格常数为 a，体心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为： 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a i j k b j k a i - j k b k + i a i j - k b i j . （2-2-3） 由此，可知其倒格子为面心立方结构，它的第一布里渊区为菱形十二面体，如图 2-2-3 所示，由 12 个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成。图中还给出了几个特殊 的方向： [100]方向记作 Δ， 2 H a ； [110]方向记作 Σ， 2 2 2 N a ； [111]方向记作 Λ， 3 2 2 P a 。 2.2.4 面心立方晶格第一布里渊区 设晶格常数为 a，面心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为： 图 2-2-2 二维正方格子布里渊区示意图
&=j+) =++ 0(+) 6-2票-j+列 a 4=+》 (2-2-4) 由此，可知其倒格子为体心立方结构，它的第一布里渊区为截角八面体，如图 1-6-4所示，由8个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成正八面体，6个次近邻倒 格矢的垂直平分面为正方形，组合一起形成截角八面体或称14面体。图中还给 出了几个特殊的方向： [100方向记作4，承= a 10方向记作3，K=352红 40 [1方向记作A,立-52x 2 a 2.2.5布里渊区的性质 从上面的例子可以看出： (1)布里渊区的形状与晶体结构 密切相关，而且其形状是围 绕原点中心对称的，其余每 个布里渊区的各个部分也都 是以原点为中心对称分布 的： (2)布里渊区的边界由倒格矢的 图164面心立方温格的第一布里区 垂直平分面构成，即布里渊 区界面是某一倒格矢G的垂 直平分面，界面的数学方程式可以写为： k-G-ZG (2-2-5) k是倒格子空间中的矢量，满足上式的k的端点均落在G的垂直平分面上，只要 给定G,由上式就可以确定相应的布里渊区界面。 (3)第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳一塞兹原胞，其体积是一个倒格 5
5 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a j k b -i + j k a k + i b i - j + k a i j b i j - k . .（2-2-4） 由此，可知其倒格子为体心立方结构，它的第一布里渊区为截角八面体，如图 1-6-4 所示，由 8 个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成正八面体，6 个次近邻倒 格矢的垂直平分面为正方形，组合一起形成截角八面体或称 14 面体。图中还给 出了几个特殊的方向： [100]方向记作 Δ， 2 X a ； [110]方向记作 Σ， 3 2 2 4 K a ； [111]方向记作 Λ， 3 2 2 L a 。 2.2.5 布里渊区的性质 从上面的例子可以看出： （1） 布里渊区的形状与晶体结构 密切相关，而且其形状是围 绕原点中心对称的，其余每 个布里渊区的各个部分也都 是以原点为中心对称分布 的； （2） 布里渊区的边界由倒格矢的 垂直平分面构成，即布里渊 区界面是某一倒格矢 G 的垂 直平分面，界面的数学方程式可以写为： 1 2 2 k G G .（2-2-5） k 是倒格子空间中的矢量，满足上式的 k 的端点均落在 G 的垂直平分面上，只要 给定 G，由上式就可以确定相应的布里渊区界面。 （3） 第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳—塞兹原胞，其体积是一个倒格