0nm,9n>0,对所有n≠n(1.3) 而公式(1.1.3)中的“内积”定义为 9n·9n .L.1) 公式(1.1.3)成立是一个重要的结论,然而简单的事实 是7(0,2xr)的…个正交基。 Fourier级数表示公式(l.1.1)的第二 个独特的性质是,正交基}可用…个单个函数 u?) 的“膨胀”牛成。也就是说.对所有的整数〃,t,(x)=(nr),这种膨 胀称为整数膨胀。我们概括…下这个值得注意的事实:每个2x周 期平方可积函数都可用基函数v(x)=g"的整数膨胀的“叠加”来 生成 我们还注意到,{m,的正交性质, Fourier级数表示公式 (1.上.1)也满足所谓的 Parseval恒等式 ∫(x)12dx (l.1.7) 令1表示所有双无限平方可和序列的空间,即{∈B如且仪如 那么,如果把公式(1,1.7)左边的量的平方根作为对于L2(0,2x) 中函数度量的“范数”同样地把公式(1.(,7)右边的量的平方根 作为对于P的范数,那么函数空间2(0,2m)与序列空间彼此是 “同构的”。现在返回到对上述 Fourier级数表示公式(1.1.!)的观
察还可以说,每个2周期平方可积函数是基函数(x)=e"的整 数膨胀的一种2的线性组 要再次强调,基函数 w(r)=e=cos r ising 是一个“正弦波”,它是要求生成所有27周期平方可和函数的单 独函数。对于具有大的绝对值的任何整数n,波m,(x)=m(v)有高 的“颗率",而对于具有小的绝对值的整数n,波()具有低的频 率。所以.在D(0,2x)中的每个函数由具有各种频率的波组成。 下面考虑定义在实直线R上的可测函数f的空间I2(R),函 数∫满足 ∫(x):dx<cx 很明显,两个函数空间2(0,2n)和I(R)是完全不同的。特别是, 因为13(R)中每个函数(的局部平均值)在士∞必须“哀减”到零; 所以正弦(波)函数v不属于Ⅰ()。事实上如果我们寻找产生 72()的”波”,那么这个波就在土衰减到零;并且对于所有的实 际应用,哀减应该是很快的。即,我们寻找小的波,或“小波”以生成 7:(R)。像在12(0,2x)中的情况,那甲一个单个函数(x)e"生 成整个空间,我们还希望有一个单个函数来生成整个L2(R)。但 是,如果小波φ具有很快約衰减,它怎么能够覆盖整实直线呢? 明显的方法是沿R移动p 令Z表示整数的集合 ={…-1,0.1,… 对于g獲盖全体R的最简单方法是考虑φ的所有整数平移,即 (x,k∈z 像在正弦波情形那样,下面还必须考虑具有不同频率的波。由于种
种原因,读者马上就会清楚我们不希望考虑“单频率”的波,而宁 考虑频率划分为连续“倍频程”(或频带)的波。为了计算的有效 性,我们对于颗率划分将使用2的整数幂;也就是说,我们现在考 虑小波 ap(2'x-E ∈Z 可以看出,(2x-k)可由一个单个“小波”函数(x)通过一个二进 膨胀(即2的膨胀)和一个(k/2的)二进位移得到。 这样,我们就对“小波”的函数感兴趣,的二进膨胀和二进 位移足以表示I(珉)中的所有函数。为了简单,我们首先考虑用φ 产生的-个正交基。在本章后面(见1.4节),我们将引入更一般 的“小波级数”。 在整个这本书中,我们使用下述记号表示空间(QR)的内积 与范数 ∫,g> ∫(x)g(x)dx f‖z:=<f,∫>2 (1.1.10) 其中f,∈I2()。注意,对于任何,k∈Z,有 1f2 f(2·-k)‖ ∫(2x-·)|lx 2-2‖f‖ 因此,如果-一个函数砂∈I()具有单位长度,那么,用 的,:(x):=22y(2x-) ∈Z(1.1.11) 定义的所有函数r()也具有单位长度,即 的‖2=‖2=1,j,k∈Z(1.1.12) 在本书中,定义在Z×Z上的 Kronecker符号
对)=配 (1.1.13冫 0对氵≠k 经常使用。 定义1.1一个函数φ∈2(呎)称为是一个正交小波,如果公式 (,II)中所定义的族是!(R)的一个规范正交基.即 k,l,m∈Z(!.1.14 而且每个f∈(R)能写成 pi (1.1.15) 其中公式(1.1.15)肀的缀数收敛是在2(R)肀的收敛.即 -∠△c+的,2=0 正交小波的最简单例予是用 对0≤x<1/2 的(x): 1对1/2≤x<1(1.J.16 其它 定义的Har函数。在!.5和1.6节中,我们将给出这个函数一个 简洁的讨论。其它的正交小波将在第七章中详细研究。 公式(1.1.15)中f的级数表示称为小波级数。类似于在公式 (11.2)中 Fourier系数概念,小波系数sy由 <J,驴 (1.1.:7) 给出。即,如果我们定义在2()上的一个积分变换W为
(W∫)(b,a):=|ai ∫∈L(R) (1.1.18) 那么,公式(1.1.15)和(!.1.17)中的小波系数就变成 C,t=(Wn∫)(,;) .,19) 线性变换W称为关于“基小波”φ的“积分小波变换”。因此,f的 第(,k个小泼系数由f的积分小波变换在具有二进膨胀a=2 的二进位置b一k/2计算给出,其中相同的正交小波φ常用来生 成小波级数公式(1.1.15)和定义积分小波变换公式(1.I.18)。 积分小波变换的重要性在下节中讨论。在这里,我们只说明 这个积分变换大大地增强了(积分) Fourier变换身的价值,>可 定义为 (另厂)(y):=ef(x)dx,∫∈(取)(1..20) 这个变换的数学摧述在下章进行。众所周知, Fourier变换是 Fourier分析的一个重要组成部分。因此,注意 Fourier分析的两个 组成部分是有意义的,即: Fourier级数与 Fourier变换,它们基本上 是不相关的;而小波分析的两个相应的组成部分,即:小波级数公 式(1.1.15)与积分小波变换公式(1.1.18),具有如公式(1.1.J9) 所描述的密刃的关系 1.2积分小波变换和时间-频率分析 公式(1.1.20)所定义的 Fourier变换字不只是一个很有力的 数学工具,而且在应用中还具有重要的物理解释。例如,如果一个 函数f∈2(R)被看作是由它的范数!f‖2定义的具有有限能量 的一个模拟信号,那么∫的 Fourier变换