2.1单自由度系统的自由振动 研究的意义 1.单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。 2.在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度 系统的振动理论就可以得到满意的结果。 3.单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自 由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度 系统类似的性态。 弹簧一质量系统就是一个典型的单自由度系统
17 p 研究的意义 2.1 单自由度系统的自由振动 2. 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度 系统的振动理论就可以得到满意的结果。 3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自 由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度 系统类似的性态。 1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。 k m x 弹簧－质量系统就是一个典型的单自由度系统
2.2运动微分方程 根据牛顿第二定律 F(t m(t)=F(t)-Fa(t)-F(t) 根据弹力和阻尼力的定义，变为 m(t)+c(t)+kx(t)=F(t) (1)二阶常系数、非齐次线性微分方程。 (2)左边由m,c和k决定，反映系统本身特性；右边反映输入特性。 (3)实质：对由m,c和k决定的系统，输入F(),会有什么样的输出x)? 当F(0=0:自由振动 当F(t00: 强迫振动 牛顿第二定律：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟质量成 反比；加速度的方向跟作用力的方向相同
18 2.2 运动微分方程 根据牛顿第二定律 F(t) mx(t) F(t) F (t) F (t) d s 根据弹力和阻尼力的定义，变为 mx(t) cx(t) kx(t) F(t) （1）二阶常系数、非齐次线性微分方程。 （2）左边由m、c和k决定，反映系统本身特性；右边反映输入特性。 （3）实质：对由m、c和k决定的系统，输入F(t)，会有什么样的输出x(t)？ 当F(t)=0： 自由振动 当F(t)≠0： 强迫振动 牛顿第二定律：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟质量成 反比；加速度的方向跟作用力的方向相同
2.2微分方程 达芬奇说： “力学是数学的乐园 因为我们在这里获得了 数学的果实。” 同学们试采用达朗贝尔原理、虚位移原理及能量 守恒原理推导图示振动系统的运动微分方程。 F(t) 19
19 p 同学们试采用达朗贝尔原理、虚位移原理及能量 守恒原理推导图示振动系统的运动微分方程。 2.2 微分方程 F(t)
2.2微分方程齐次微分方程通解的求法一特征根法 ()+ax(t)+bx(t)=0 x(t)=Ces 特解形式 0 (s2+a+b)e=0→(s2+as+b)=0→S,52 特征方程 特征值 特征根 S 通解形式 不相等实根S,≠S2 x(t)=Ce+Ce" 相等实根S1=S2 x(t)=e'(C,+C2t) 共轭复根s2=x±iP x(1)=e(C cos Bt+C2sin Bt) 常数C1和C2由系统的初始条件确定。 20
20 x(t) ax(t) bx(t) 0 ( ) st x t Ce 2 ( ) 0 st s as b e 特征根 通解形式 不相等实根 相等实根 共轭复根 s 1 2 s s 1 2 s s 1,2 s i 1 2 1 2 ( ) s t s t x t C e C e 1 1 2 ( ) ( ) s t x t e C C t 1 2 ( ) ( cos sin ) t x t e C t C t 2 (s as b) 0 1 2 s ,s 2.2 微分方程齐次微分方程通解的求法—特征根法 特解形式 特征方程 特征值 常数C1和C2由系统的初始条件确定