0k=11+02YkPr=YoOk>1见图2.7。1.01.00.50.50.0 0.0-0.50.5-1.0.1.0-2468101214161820222424681012141618202224>00<0图2.7MA(1)过程的自相关函数可见MA(1）过程的自相关函数具有截尾特征。当k>1时，P=0。(2)MA(g)）过程的自相关函数MA(g）过程的自相关函数是0k+010k+1+020k+2+...+0q-k0gk=12...Pr=1+02+02+..+0?0,k>q当k>q时，P=0，说明Pk，k=0,1,.具有截尾特征。例如，对于MA(2）过程，自相关函数是020,+0,02PI=Pr=0,k>2Py=1+0,2 +0,31+0,2 +0,3（注意：模型移动平均项的符号以及这里Pk的符号正好与Box-Jenkins书中的符号相反，这样表示的好处是保持与计算机输出结果一致。）4.ARMA(1,1）过程的自相关函数0--(+00x6+0) - (+00)6 +0)（证明略）01+02+26( +) +(1)=E(X-kx)=E(X-R(0X-1 +ur +01u-l)=1k-1Pe=x/%=1Y-1/%=ΦPk=1"p=单,个1（1+0+），≥2( +)+(1)ARMA（1，1）过程的自相关函数pk从Pr开始指数衰减。pi的大小取决于和I，pi的符号取决于（+）。若>0，（+0，自相关函数是正的、平滑的指数衰减，若>0，（+<0，自相关函数是负的、平滑的指数衰减。若<0，自相关函数为正负交替式指数衰减，当（+のi）为正数时，k为奇数时，自相关系数为正：k为偶数时，自相关系数为负。当（+の）为负时，k为奇数时，自相关系数为负；k为偶数时，自相关系数为正。5.对于ARMA(p,9）过程，P,q≥2时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减的。6.相关图（correlogram，或估计的自相关函数，样本自相关函数）对于一个有限时间序列（x1,x2，.，x）用样本平均数6
ρk = 0 γ γ k = 1 2 1 , 1 1 0, 1 k k θ θ ⎧ = ⎪ + ⎨ ⎪ ⎩ > 见图 2.7。 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 θ1 > 0 θ1 < 0 图 2.7 MA(1)过程的自相关函数 可见 MA(1) 过程的自相关函数具有截尾特征。当 k > 1 时，ρk = 0。 (2) MA(q) 过程的自相关函数 MA(q) 过程的自相关函数是 ρk = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = ++++ + + ++++ − qk qk q kk k qkq ,0 ,.2,1, 1 . . 2 2 2 2 1 2211 θθθ θθθθθ θθ 当 k > q 时，ρk = 0，说明 ρk , k = 0, 1, . 具有截尾特征。 例如，对于 MA(2) 过程，自相关函数是 ρ1= 2 2 2 1 211 1 θθ θ θ θ ++ + , ρ2= 2 2 2 1 2 1 θθ θ ++ , ρk = 0, k > 2。 （注意：模型移动平均项的符号以及这里 ρk的符号正好与 Box-Jenkins 书中的符号相反， 这样表示的好处是保持与计算机输出结果一致。） 4. ARMA (1, 1) 过程的自相关函数 )1()( ))(1( 21 ))(1( 2 1 2 11 1111 11 2 1 1111 0 1 1 φφθ θφφθ φθθ θφφθ γ γ ρ −++ ++ = ++ ++ == (证明略) γk = E(xt-k xt) = E(xt-k (φ 1 xt-1+ ut +θ 1 ut-1)) = φ 1γk-1 ρk=γk /γ0 =φ 1γk-1/γ0 = φ 1ρk-1= φ 1 k-1 ρ1= φ 1 k-1 )1()( ))(1( 2 2 1111 φφθ θφφθ −++ ++ 11 1 , k ≥2 ARMA (1, 1) 过程的自相关函数ρk 从 ρ1 开始指数衰减。ρ1 的大小取决于 φ1 和 θ1, ρ1 的符号取决于 (φ1 +θ1 )。若 φ1 > 0，(φ1 +θ1 )> 0，自相关函数是正的、平滑的指数衰减，若 φ1 > 0，(φ1 +θ1 )< 0，自相关函数是负的、平滑的指数衰减。若 φ1 < 0，自相关函数为正负交替 式指数衰减，当(φ1 +θ1 )为正数时，k 为奇数时，自相关系数为正；k 为偶数时，自相关系数 为负。当(φ1 +θ1 )为负时，k 为奇数时，自相关系数为负；k 为偶数时，自相关系数为正。 5．对于 ARMA (p, q) 过程，p, q ≥ 2 时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减的。 6. 相关图（correlogram，或估计的自相关函数，样本自相关函数） 对于一个有限时间序列（x1, x2, ., xT）用样本平均数 6
->x7(=l估计总体均值μ，用样本方差17?=Z(x, -x)2T Lt=l估计总体方差。定义估计的自协方差-(2.42)Ck=7kk=0, 1,2,...,K,=(=11a-DCo=Y0=(2.43)T是时间序列数据的样本容量。实际中T不应太小，最好能大于60。则当用样本矩估计随机过程的自相关函数，Ckk=0.1.2.....K(K<T)rk=Co称其为相关图或估计的自相关函数。rk是对p的估计。注意：（2.42)式分母为T，不是T-k。C为有偏估计量。但在小样本条件下更有效。相关图是对自相关函数的估计。由于MA过程和ARMA过程中的MA分量的自相关函数具有截尾特性，所以通过相关图可以估计MA过程的阶数9。相关图是识别MA过程阶数和ARMA过程中MA分量阶数的一个重要方法。对于年度时间序列数据，相关图一般取k=15就足够了。r的方差近似为T。所以在观察相关图时，若r的绝对值超过2T12（2个标准差），就被认为是显著地不为零。当T充分大时，近似有(k-0) / T12 =r 7/2 _ N (0, 1)2.4偏自相关函数偏自相关函数是描述随机过程结构特征的另一种方法。用邮表示k阶自回归式中第个回归系数，则k阶自回归模型表示为X,= O1X-I + Ok2X1-2 +...+0X-k +u其中是最后一个回归系数。若把k=1,2...的一系列回归式看作是滞后期k的函数，则称Ouk, k=1,2...(2.45)为偏自相关函数。它由下式中的红项组成。X=X-I +uX,= 021 Xf-1 + 022 X-2 + u,.X,= Ok1X-1 + Ok2X12 +... +pxXr-k +u,因偏自相关函数中每一个回归系数u恰好表示x,与x-在排除了其中间变量x-1x-2xk+影响之后的相关系数，7
x = T 1 ∑= T t t x 1 估计总体均值 μ，用样本方差 s 2 = 2 1 )( 1 ∑= − T t t xx T 估计总体方差σx 2 。 定义估计的自协方差 ∑ − = == + −− kT t kk ktt xxxx T C 1 ),)(( 1 γˆ k = 0, 1, 2, ., K , (2.42) C0 = 0 γˆ = 2 1 )( 1 ∑= − T t t xx T (2.43) T 是时间序列数据的样本容量。实际中 T 不应太小，最好能大于 60。 则当用样本矩估计随机过程的自相关函数， rk = C0 Ck , k = 0, 1 , 2, ., K, ( K < T ) 称其为相关图或估计的自相关函数。rk 是对ρk的估计。 注意：(2.42)式分母为 T，不是 T-k。Ck为有偏估计量。但在小样本条件下更有效。 相关图是对自相关函数的估计。由于 MA 过程和 ARMA 过程中的 MA 分量的自相关函 数具有截尾特性，所以通过相关图可以估计 MA 过程的阶数 q。相关图是识别 MA 过程阶数 和 ARMA 过程中 MA 分量阶数的一个重要方法。对于年度时间序列数据，相关图一般取 k = 15 就足够了。 rk的方差近似为 T-1。所以在观察相关图时，若 rk的绝对值超过 2 T-1/2（2 个标准差）， 就被认为是显著地不为零。当 T 充分大时，近似有 (rk -0) / T-1/2 = rk T1/2 ~ N (0, 1) 2.4 偏自相关函数 偏自相关函数是描述随机过程结构特征的另一种方法。用 φkj 表示 k 阶自回归式中第 j 个回归系数，则 k 阶自回归模型表示为 xt = φk 1 xt-1 + φk 2 xt-2 + . + φkk xt-k + ut 其中 φkk 是最后一个回归系数。若把 k = 1, 2.的一系列回归式φkk看作是滞后期 k 的函数， 则称 φkk, k = 1, 2 . (2.45) 为偏自相关函数。它由下式中的红项组成。 xt = φ11 xt-1 + ut xt = φ21 xt-1 + φ22 xt-2 + ut . xt = φk 1 xt-1 + φk 2 xt-2 + . + φkk xt-k + ut 因偏自相关函数中每一个回归系数φkk 恰好表示 xt 与 xt-k在排除了其中间变量 xt-1,xt-2,.,xt-k +1 影响之后的相关系数， 7