第16卷第1期 智能系统学报 Vol.16 No.1 2021年1月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan.2021 D0:10.11992tis.202006041 PI型自抗扰广义预测控制的性能分析 任佳'，陈增强2，孙明玮'，孙青林 (1.南开大学人工智能学院，天津300350：2.天津市智能机器人重点实验室，天津300350) 摘要：为克服自抗扰控制(active disturbance rejection control,ADRC)算法在大时滞系统中的局限性，减小PI型 广义预测控制(PI-type generalized predictive control,PI-GPC)算法的在线计算量，我们在先前的研究中提出了 PI型自抗扰广义预测控制(PI-type active disturbance rejection generalized predictive control,PI-ADRGPC)算法。本 文通过频域分析方法，对PI-ADRGPC算法进行了稳定性分析，利用PI-ADRGPC算法离散形式的开环传递函数 绘制其伯德图，分析了参数变化对PI-ADRGPC性能的影响。通过绘制奈奎斯特曲线，分析了PI-ADRGPC算法 的稳定性。通过控制一阶惯性环节以及船舶航向控制系统验证了所提出算法的性能。研究结果表明：与AD RC-GPC算法相比.PI-ADRGPC算法的响应速度更快、控制效果更好。 关键词：PI型自抗扰广义预测控制；频域特性；自抗扰控制：PI型广义预测控制：伯德图；奈奎斯特曲线；稳定 性；参数调节 中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-47852021)01-0066-09 中文引用格式：任佳，陈增强，孙明玮，等.PI型自抗扰广义预测控制的性能分析.智能系统学报，2021,16(1)：66-74. 英文引用格式：REN Jia,.CHEN Zengqiang,SUN Mingwei,etal.Performance analysis of P-type active disturbance rejection gen- eralized predictive controlJ.CAAI transactions on intelligent systems,2021,16(1):66-74. Performance analysis of PI-type active disturbance rejection generalized predictive control REN Jia,CHEN Zengqiang,SUN Mingwei',SUN Qinglin (1.College of Artificial Intelligence,Nankai University,Tianjin 300350,China:2.Key Lab of Intelligent Robotics of Tianjin,Tianjin 300350,China) Abstract:To overcome the limitations of the active disturbance rejection control (ADRC)algorithm in large time-delay systems and reduce the amount of online calculation of the PI-type generalized predictive control(PI-GPC)algorithm, we proposed the PI-type active disturbance rejection generalized predictive control(PI-ADRGPC)algorithm in our pre- vious research.In this paper,the frequency domain analysis method is used to analyze the stability of the PI-ADRGPC control algorithm.By using the open-loop transfer function of the discrete form of the PI-GPC algorithm to draw the Bode diagram,the influence of parameter changes on the performance of PI-ADRGPC is analyzed.By drawing the Nyquist curve,the stability of the PI-ADRGPC algorithm is analyzed.The performance of the proposed algorithm is verified by controlling the first-order inertial system and the ship heading control system.The research results show that compared with the ADRC-GPC algorithm,the PI-ADRGPC algorithm has a faster response speed and better control effect. Keywords:PI-type active disturbance rejection generalized predictive control;frequency domain characteristics;active disturbance rejection control;PI-type generalized predictive control;Bode diagram;Nyquist curve;stability;parameter adjustment 自抗扰控制(active disturbance rejection con- trol,ADRC)和PI型广义预测控制(PI type general-- ized predictive control,PI-GPC)都是为解决系统所 收稿日期：2020-06-24. 基金项目：国家自然科学基金项目(61973175,61973172). 受到干扰问题而引入的算法。 通信作者：陈增强.E-mail:chenzq@nankai..edu.cn. 1988年韩京清提出ADRC算法-，通过对系
DOI: 10.11992/tis.202006041 PI 型自抗扰广义预测控制的性能分析 任佳1 ，陈增强1,2，孙明玮1 ，孙青林1 （1. 南开大学 人工智能学院，天津 300350; 2. 天津市智能机器人重点实验室，天津 300350） 摘 要：为克服自抗扰控制 (active disturbance rejection control, ADRC) 算法在大时滞系统中的局限性，减小 PI 型 广义预测控制 (PI-type generalized predictive control, PI-GPC) 算法的在线计算量，我们在先前的研究中提出了 PI 型自抗扰广义预测控制 (PI-type active disturbance rejection generalized predictive control, PI-ADRGPC) 算法。本 文通过频域分析方法，对 PI-ADRGPC 算法进行了稳定性分析，利用 PI-ADRGPC 算法离散形式的开环传递函数 绘制其伯德图，分析了参数变化对 PI-ADRGPC 性能的影响。通过绘制奈奎斯特曲线，分析了 PI-ADRGPC 算法 的稳定性。通过控制一阶惯性环节以及船舶航向控制系统验证了所提出算法的性能。研究结果表明：与 ADRC-GPC 算法相比，PI-ADRGPC 算法的响应速度更快、控制效果更好。 关键词：PI 型自抗扰广义预测控制；频域特性；自抗扰控制；PI 型广义预测控制；伯德图；奈奎斯特曲线；稳定 性；参数调节 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2021)01−0066−09 中文引用格式：任佳, 陈增强, 孙明玮, 等. PI 型自抗扰广义预测控制的性能分析 [J]. 智能系统学报, 2021, 16(1): 66–74. 英文引用格式：REN Jia, CHEN Zengqiang, SUN Mingwei, et al. Performance analysis of PI-type active disturbance rejection generalized predictive control[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2021, 16(1): 66–74. Performance analysis of PI-type active disturbance rejection generalized predictive control REN Jia1 ，CHEN Zengqiang1,2 ，SUN Mingwei1 ，SUN Qinglin1 (1. College of Artificial Intelligence, Nankai University, Tianjin 300350, China; 2. Key Lab of Intelligent Robotics of Tianjin, Tianjin 300350, China) Abstract: To overcome the limitations of the active disturbance rejection control (ADRC) algorithm in large time-delay systems and reduce the amount of online calculation of the PI-type generalized predictive control (PI-GPC) algorithm, we proposed the PI-type active disturbance rejection generalized predictive control (PI-ADRGPC) algorithm in our previous research. In this paper, the frequency domain analysis method is used to analyze the stability of the PI-ADRGPC control algorithm. By using the open-loop transfer function of the discrete form of the PI-GPC algorithm to draw the Bode diagram, the influence of parameter changes on the performance of PI-ADRGPC is analyzed. By drawing the Nyquist curve, the stability of the PI-ADRGPC algorithm is analyzed. The performance of the proposed algorithm is verified by controlling the first-order inertial system and the ship heading control system. The research results show that compared with the ADRC-GPC algorithm, the PI-ADRGPC algorithm has a faster response speed and better control effect. Keywords: PI-type active disturbance rejection generalized predictive control; frequency domain characteristics; active disturbance rejection control; PI-type generalized predictive control; Bode diagram; Nyquist curve; stability; parameter adjustment 自抗扰控制 (active disturbance rejection con- trol, ADRC) 和 PI 型广义预测控制 (PI type generalized predictive control, PI-GPC) 都是为解决系统所 受到干扰问题而引入的算法。 1988 年韩京清提出 ADRC 算法[1-2] ，通过对系 收稿日期：2020−06−24. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61973175，61973172). 通信作者：陈增强. E-mail：chenzq@nankai.edu.cn. 第 16 卷第 1 期 智 能 系 统 学 报 Vol.16 No.1 2021 年 1 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jan. 2021
第1期 任佳，等：PI型自抗扰广义预测控制的性能分析 。67· 统受到的总扰动进行估计和补偿，ADRC算法具 有较强的克服干扰的能力，也因此有着广泛的应 L-GPC 被控对象 用前景。钟斌等倒将ADRC算法应用于交流感应 电动机的精确解耦模型，从而改善了交流感应电 动机的调速性能并且快速跟踪了负载转矩。王东 ESO 阳等将ADRC算法应用于电压型PWM整流器 的功率控制，获得了很好的控制效果。荣智林等回 使用滑膜自抗扰算法调节永磁同步电动机的转 图1PI-ADRGPC算法结构 速，改进算法具有更好的抗干扰能力。Cao等6 Fig.1 PI-ADRGPC algorithm structure diagram 将自抗扰控制用于并网逆变器的电流控制，并研 如图1所示，将系统所有外部干扰以及内部 究了其鲁棒性。Ramirez-Neria等m将自抗扰控制 未知信息看作总扰动，用扩张状态观测器(exten- 和微分平滑算法结合，在欠驱动系统中进行轨迹 ded state observer,.ESO)估计该扰动并将其扩张为 跟踪，降低了实验过程中对测量噪声的敏感性。 xn+i,然后通过线性状态误差反馈控制律(linear Das等I]在风能转换系统中使用自抗扰控制算 states error feedback control laws,.LSEF)补偿总扰 法，增强了向电网传输的有功和无功功率的稳态 动，虚线框内部分被化为积分器串联形式。针对 和瞬态响应，得到了较好的效果。Wang等将自 该部分设计PI-GPC的控制量山，就完成了整个PI 抗扰控制和矢量谐振控制相结合，用于永磁同步 ADRGPC的设计。和ADRC控制相比，该控制算 直流电机的电流谐波抑制。从而建立了线性电动 法将原来PD控制器换成了PI-GPC,从而改善了 机控制平台。Zhou等o使用基于偏差控制原理 算法性能。 的线性自抗扰控制进行并网光伏逆变器的控制， 给出以下形式的离散单输入单输出系统，称 提高了控制的稳定性和抗干扰性。 为CARIMA模型： 1994年陈增强等山提出了PI-GPC算法。通 A(y(k)=B(zu(k-1)C(() (1) 过对过程输出进行多步预测，PI-GPC算法的动态 式中：(k-1)是被控对象输人；y(k)是被控对象 性能和鲁棒性较好，被广泛应用于工业生产。仉 宝玉等)提出了一种由遗传算法进行参数优化 输出；z是后移算子；()是表示扰动的随机序 列；△=1-1为差分算子。A(2)、B(21)、C(2)分 的PI-GPC算法，它有效地解决了PI-GPC算法的 参数优化问题。为了进一步提高非线性系统控制 别为 器的性能，朱峰等)提出了一种基于U模型的非 A(2)=1+a1zl+…+a2" B(zl)=bo+b1z1+…+bm2 线性系统的PI-GPC算法。 C(2)=1+C2+…+Cm2m 尽管有着上述优点，但是ADRC算法在时滞 为简单起见，令C(z)=1。 较大的系统中具有局限性：PI-GPC算法在线计算 在自抗扰算法中，对总扰动进行补偿后，系统 量大，在快速系统中的应用受限。因此，结合两 简化为串联积分器形式，一阶系统就是单个积分 种算法的优势，我们在先前的研究中设计了PI型 器。传递函数为 自抗扰广义预测控制(PL-ADRGPC)算法。该算 法不依赖于受控对象的具体模型，无需在线辨识 G6=1 系统参数，且可以对总扰动进行在线补偿，从而 用零阶保持器对其离散化得到脉冲传递函数： 将系统简化成串联积分器形式。该算法可以离线 G(s) 求解Diophantine方程，从而使在线计算量得以减 G2=(1-zZ s 1-2 (2) 少，克服了PI-GPC算法在线计算量大的问题。利 忽略扰动，则式(1)化为 用滚动优化的思想对系统输出进行多步预测，该 A()y(k)=B()u(k-1) 算法可以克服ADRC算法在大时滞系统中的局 其脉冲传递函数可以定义为 限性。 e-: (3) 1PI-ADRGPC介绍 由式(2)和式(3)对比得： 本节将对PL-ADRGPC进行详细介绍，其算法 A(z)=1-z,B(z)=T (4) 结构如图1所示。 将丢番图方程写为
统受到的总扰动进行估计和补偿，ADRC 算法具 有较强的克服干扰的能力，也因此有着广泛的应 用前景。钟斌等[3] 将 ADRC 算法应用于交流感应 电动机的精确解耦模型，从而改善了交流感应电 动机的调速性能并且快速跟踪了负载转矩。王东 阳等[4] 将 ADRC 算法应用于电压型 PWM 整流器 的功率控制，获得了很好的控制效果。荣智林等[5] 使用滑膜自抗扰算法调节永磁同步电动机的转 速，改进算法具有更好的抗干扰能力。Cao 等 [6] 将自抗扰控制用于并网逆变器的电流控制，并研 究了其鲁棒性。Ramirez-Neria 等 [7] 将自抗扰控制 和微分平滑算法结合，在欠驱动系统中进行轨迹 跟踪，降低了实验过程中对测量噪声的敏感性。 Das 等 [8] 在风能转换系统中使用自抗扰控制算 法，增强了向电网传输的有功和无功功率的稳态 和瞬态响应，得到了较好的效果。Wang 等 [9] 将自 抗扰控制和矢量谐振控制相结合，用于永磁同步 直流电机的电流谐波抑制。从而建立了线性电动 机控制平台。Zhou 等 [10] 使用基于偏差控制原理 的线性自抗扰控制进行并网光伏逆变器的控制， 提高了控制的稳定性和抗干扰性。 1994 年陈增强等[11] 提出了 PI-GPC 算法。通 过对过程输出进行多步预测，PI-GPC 算法的动态 性能和鲁棒性较好，被广泛应用于工业生产。仉 宝玉等[12] 提出了一种由遗传算法进行参数优化 的 PI-GPC 算法，它有效地解决了 PI-GPC 算法的 参数优化问题。为了进一步提高非线性系统控制 器的性能，朱峰等[13] 提出了一种基于 U 模型的非 线性系统的 PI-GPC 算法。 尽管有着上述优点，但是 ADRC 算法在时滞 较大的系统中具有局限性；PI-GPC 算法在线计算 量大，在快速系统中的应用受限。因此，结合两 种算法的优势，我们在先前的研究中设计了 PI 型 自抗扰广义预测控制 (PI-ADRGPC) 算法[14]。该算 法不依赖于受控对象的具体模型，无需在线辨识 系统参数，且可以对总扰动进行在线补偿，从而 将系统简化成串联积分器形式。该算法可以离线 求解 Diophantine 方程，从而使在线计算量得以减 少，克服了 PI-GPC 算法在线计算量大的问题。利 用滚动优化的思想对系统输出进行多步预测，该 算法可以克服 ADRC 算法在大时滞系统中的局 限性。 1 PI-ADRGPC 介绍 本节将对 PI-ADRGPC 进行详细介绍，其算法 结构如图 1 所示。 − r u w y PI-GPC u ~ 1/b0 b0 ESO zn+1 被控对象 图 1 PI-ADRGPC 算法结构 Fig. 1 PI-ADRGPC algorithm structure diagram 如图 1 所示，将系统所有外部干扰以及内部 未知信息看作总扰动，用扩张状态观测器 (extended state observer, ESO) 估计该扰动并将其扩张为 xn+1，然后通过线性状态误差反馈控制律 (linear states error feedback control laws, LSEF) 补偿总扰 动，虚线框内部分被化为积分器串联形式。针对 该部分设计 PI-GPC 的控制量 u，就完成了整个 PIADRGPC 的设计。和 ADRC 控制相比，该控制算 法将原来 PD 控制器换成了 PI-GPC，从而改善了 算法性能。 给出以下形式的离散单输入单输出系统，称 为 CARIMA 模型： A(z −1 )y(k) = B(z −1 )u(k−1)+ C(z −1 )ζ(k) ∆ (1) ζ(t) ∆ = 1−z −1 A(z −1 ) B(z −1 ) C(z −1 ) 式中：u(k−1) 是被控对象输入；y(k) 是被控对象 输出；z −1 是后移算子； 是表示扰动的随机序 列； 为差分算子。 、 、 分 别为 A(z −1 ) = 1+a1z −1 +···+ana z −n B(z −1 ) = b0 +b1z −1 +···+bnb z −n C(z −1 ) = 1+c1z −1 +···+cnc z −n C(z −1 为简单起见，令 ) = 1。 在自抗扰算法中，对总扰动进行补偿后，系统 简化为串联积分器形式，一阶系统就是单个积分 器。传递函数为 G(s) = 1 s 用零阶保持器对其离散化得到脉冲传递函数： G(z −1 ) = (1−z −1 )Z [ G(s) s ] = T z−1 1−z −1 (2) 忽略扰动 ζ(k)，则式 (1) 化为 A(z −1 )y(k) = B(z −1 )u(k−1) 其脉冲传递函数可以定义为 G(z −1 ) = z −1 B(z −1 ) A(z −1 ) (3) 由式 (2) 和式 (3) 对比得： A(z −1 ) = 1−z −1 ,B(z −1 ) = T (4) 将丢番图方程写为 第 1 期 任佳，等：PI 型自抗扰广义预测控制的性能分析 ·67·
·68 智能系统学报 第16卷 1=E(z1)A(z1)△+zF(z1) 其中 E(2)B2)=G(2)+zH() E=[e(k+1)e(k+2)...e(k+N)]T Ej(2l)=e1+e2z1+…+e2-w F)=f+f21++f2" (5) 80 0 Gj2)=81+8221+…+82-- 81-80 go H）=片+2+…+12-2 G。= 将式(4)代人式（⑤），得到一阶系统丢番图方 8N-1-8M-28N.-2-8M-3 80 程的解为 ej=j.f=j+1.=-j 8N-1-8N-28N-2-8N-3 ·gN-N-8N-N- 8影=jT,H(2)=0 将式（⑥写为向量形式： 考虑以下PI-GPC算法的性能指标函数： J-K,△E△E+KEE+而⑦= U(00kD K,[△W-△。-G,△W-△7。-G可+ Kw-o-G,w-。-G⑦+0o (6) t∑ak+j-Ir} 当J为最小值时， U=(AI+KGTG+KGG)-1. 式中：K。≥0，K>0是给定常数，称为比例因子和 [K,G(△W-△Ta)+K,G(W-T] (11) 积分因子；△(k+j-1)=0(j=N,N.+1,…,N)表示 令K=[1,0,0,…,0]lx1 当j=N,N+1,…,N时，系统输入不变；N是预测 Au(k)=KT(aI+K GG+KG,G)1. 步长；N是控制步长；而>0)是控制加权系数。 [K,GpT(Am-△7o)+KG,(w-。】 Ae(k+j)=e(k+j)-e(k+j-1) 其中，△u(是的第一个分量。 式中j=1,2…,N。 uk=uk-1)+R(△W-△o)+RW-) 误差序列的计算如式（⑦）所示： e(k+)=w(k+)-yk+) (7) 其中， 设计以下柔化序列w(k+)来使输出平缓达 Rp=KKTI+KGGp+KGG)GT 到给定值： R:=KK(I+KGGp+KGG)G W=[wk+1),w(k+2),…,wk+]'= 则可以得到基于CARIMA模型的PI-ADRG- (8) Fay(k)+Fay,(k) PC算法控制律。 式中：a(0≤a≤1)是柔化因子；y,(k)是参考轨迹； 为了方便计算，本文把所得控制律进行简化。 F=a,a2,…,a];F。=[1-a,1-a2,…,1-a℉。 先定义： j步后的预测输出为 0 0 y+)=G△u(k+j-1)+Fy(k)+H△u(k-1) S 令%(k+)=Fk)+H△u(k-1),所以有 0 y(k+i)=yo(k++GiAu(k+j-1) (9) 0… -1 将式(9)写为向量形式： 则可得G。=SG,△而=SW,△T。=S7。使用上述 Y=Yo+G,U (10) 公式简化式(11)，可以得到： 其中 U=[I+KGISTSG+KGIG]. =+1)yk+2)…yk+N] [K,GS(SW-S7。)+K.G(w-。】= Z=%(k+1)yo(k+2)…J%k+N] (I+G2G,)G2(m-T。) 80 0 81 go Q=KI+KSTS G= 2PI-ADRGPC的离散形式 gN.-1gN-2… 呢 由上述分析可知： gN-18N-2·gN- △u(=hT(W-o) (12) 可=[△()△(k+1)…△u(k+N.-1)] 其中h=[1,0,0,…,0](1+G2G)G2。 根据式(7和式(10)，可得： 将式(8)代入式(12)得： E=w-了=币-。-G可 △u(k)=hr[Fy,k)-(F-F)y(-H△(k-1] △E=△W-△7=△T-△I-G可 即
{ 1 = Ej(z −1 )A(z −1 )∆ +z −jFj(z −1 ) Ej(z −1 )B(z −1 ) = Gj(z −1 )+z −jHj(z −1 ) Ej(z −1 ) = e1 +e2z −1 +···+ejz −(j−1) Fj(z −1 ) = f j 1 + f j 2 z −1 +···+ f j n+1 z −n Gj(z −1 ) = g1 +g2z −1 +···+gjz −(j−1) Hj(z −1 ) = h j 1 +h j 2 z −1 +···+h j n−1 z −(n−2) (5) 将式 (4) 代入式 (5)，得到一阶系统丢番图方 程的解为 ej = j, f1 j = j+1, f2 j = −j gj = jT,Hj(z −1 ) = 0 考虑以下 PI-GPC 算法的性能指标函数： J = E {∑N j=1 [Kp(∆e(k+ j))2 +Kie(k+ j) 2 ]+ λ ∑Nu j=1 [∆u(k+ j−1)]2 } (6) Kp ⩾ 0,Ki > 0 ∆u(k+ j−1) = 0 j = Nu,Nu +1,··· ,N j = Nu,Nu +1,··· ,N 式中： 是给定常数，称为比例因子和 积分因子； ( ) 表示 当 时，系统输入不变；N 是预测 步长；Nu 是控制步长；而 λ(λ>0) 是控制加权系数。 ∆e(k+ j) = e(k+ j)−e(k+ j−1) 式中 j = 1,2,··· ,N。 误差序列的计算如式 (7) 所示： e(k+ j) = w(k+ j)−y(k+ j) (7) 设计以下柔化序列 w(k + j) 来使输出平缓达 到给定值： W = [w(k+1), w(k+2), ··· , w(k+N)]T = Fαy(k)+ Fαyr(k) (8) α(0 ⩽ α ⩽ 1) Fα= [α, α2 , ··· , αN ] T ; Fα = [1−α, 1−α 2 , ··· , 1−α N ] T 式中： 是柔化因子；yr (k) 是参考轨迹； 。 j 步后的预测输出为 y(k+ j) = Gj∆u(k+ j−1)+ Fjy(k)+ Hj∆u(k−1) 令 y0(k+ j) = Fjy(k)+ Hj∆u(k−1) ，所以有 y(k+ j) = y0(k+ j)+Gj∆u(k+ j−1) (9) 将式 (9) 写为向量形式： Y = Y0 +GiU (10) 其中 Y = [y(k+1) y(k+2) ··· y(k+N)]T Y0 = [y0(k+1) y0(k+2) ··· y0(k+N)]T Gi = g0 0 g1 g0 . . . . . . gNu−1 gNu−2 ··· g0 . . . . . . gN−1 gN−2 ··· gN−Nu U = [∆u(k) ∆u(k+1) ··· ∆u(k+Nu −1)]T 根据式 (7) 和式 (10)，可得： E = W −Y = W −Y0 −GiU ∆E = ∆W −∆Y = ∆W −∆Y0 −GpU 其中 E = [e(k+1) e(k+2) ··· e(k+N)]T Gp = g0 0 g1 −g0 g0 . . . . . . gNu−1 −gNu−2 gNu−2 −gNu−3 ··· g0 . . . . . . gN−1 −gN−2 gN−2 −gN−3 ··· gN−Nu −gN−Nu−1 将式 (6) 写为向量形式： J = Kp∆E T ∆E+KiE T E+λU T U = Kp[∆W −∆Y0 −GpU] T [∆W −∆Y0 −GpU]+ Ki[W −Y0 −GiU] T [W −Y0 −GiU]+λU T U 当 J 为最小值时， U = (λI+KpG T pGp+KiG T i Gi) −1 · [KpG T p (∆W −∆Y0)+KiG T i (W −Y0)] (11) K = [1,0,0,··· ,0]T 令 Nu×1 ∆u(k) = K T (λI+KpGp TGp +KiGi TGi) −1 · [KpGp T (∆W −∆Y0)+KiGi T (W −Y0)] 其中， ∆u(k) 是 U 的第一个分量。 u(k) = u(k−1)+ R T p (∆W −∆Y0)+ R T i (W −Y0) 其中， Rp = KpK T (λI+KpGp TGp +KiGi TGi) −1G T p Ri = KiK T (λI+KpGp TGp +KiGi TGi) −1G T i 则可以得到基于 CARIMA 模型的 PI-ADRGPC 算法控制律。 为了方便计算，本文把所得控制律进行简化。 先定义： S = 1 ··· 0 −1 0 . . . . . . 0 1 0 ··· −1 则可得 Gp = SGi，∆W = SW ，∆Y0 = SY0。使用上述 公式简化式 (11)，可以得到： U = [λI+KpG T i S TSGi +KiG T i Gi] −1 · [KpG T i S T (SW −SY0)+KiG T i (W −Y0)] = (λI+G T i ΩGi) −1G T i Ω(W −Y0) Ω = KiI+KpS TS 2 PI-ADRGPC 的离散形式 由上述分析可知： ∆u(k) = h T (W −Y0) (12) h T = [1,0,0,··· ,0](λI+G T i ΩGi) −1G T 其中 i Ω。 将式 (8) 代入式 (12) 得： ∆u(k) = h T [Fαyr(k)−(F− Fα)y(k)− H∆u(k−1)] 即 ·68· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷
第1期 任佳，等：PI型自抗扰广义预测控制的性能分析 ·69· T△u(k)=Ry,(k)-Sy(k) (13) 3PI-ADRGPC的稳定性检测 其中R=hF,S=hr(F-F.,T=1+zhrH(z)。 已知 给出以下一阶惯性环节： y(k）=G(z)(k) (14) 2 式(14)两边同乘T△，并代入式(13)得： G(s)=2s+1 控制过程中采样时间T。=0.1,控制增益的估值价 G(z)D(z) =1+ceH可W bo=1。 其中D0e=是六 R 所以，PI-ADRGPC算法主要受参数N、w。、a、 入、N、K、K的影响。对参数进行调整，并且通过 PI-GPC算法可以转化为闭环离散系统的形 Bode图来分析参数变化对系统性能的影响。 式，结构如图2所示。 3.1N改变对系统性能的影响 k) (k) 当N分别取5、8、10、17、20、30、40时，取1= 0.005,a=0.2,w。=8,N。=1,Kp=01,K=1开环系 统的Bode图如图5所示。 H)+ 100 图2PI-GPC算法控制下的闭环反馈结构 80 Fig.2 Closed-loop feedback structure under the control of 60 PI-GPC algorithm 40 20 LESO的内模控制结构如图3所示。 0 10-2 10-1 109 10 109 频率/(rads) (a)幅度 -90 -120 (S+@F -150 -18 图3LESO的内模控制结构 102 10- 109 101 10 Fig.3 Internal model control structure of LESO 频率ads) (b)相频 所以PI-ADRGPC下的闭环离散系统结构如 图4所示16 图5当Nm=1,N改变时的Bode图 Fig.5 Bode diagram when N changes(N,=1) I-e 实验结果显示，当N。=1时，N取值较大，系 统截止频率小，响应速度慢，但是相角裕度较大， H) 稳定性较好。 图4PI-ADRGPC算法的闭环反馈结构 当N=2时，开环系统的伯德图如图6所 Fig.4 Closed-loop feedback structure of PI-ADRGPC 示。对应的相角裕度和截止频率如表1所示。 对于一阶惯性环节 100 K G,(S)=Ts+1 60 =40 E$O内模结构下的闭环传递函数为 20 bo(s+wo)2 G(s)=Tbo+(w.boT+1)s+w.bo+wbo)s 10- 10 10 10 频率(rad·s) 设 (a)幅度 G(z)= -140 21-e-m bo(s+w)2 -160 Tbos+(2woboT +1)s2+(2w bo +w2bo)s -170 则闭环系统的特征方程为 -1804 10- 10° 10m 102 1+G(z1)H(z-1)=0 频率/(rads) 因此，只需考虑开环传递函数的频率响应。 (b)相频 G()H()= B()S() 图6当N。=2,N改变时的Bode图 A(z1)T()△ Fig.6 Bode diagram when N changes(N=2)
T∆u(k) = Ryr(k)−S y(k) (13) R = h TFα,S = h T (F − Fα),T = 1+z −1h TH(z −1 其中 )。 已知 y(k) = G(z −1 )u(k) (14) 式 (14) 两边同乘 T∆ ，并代入式 (13) 得： y(k) = G(z −1 )D(z −1 ) 1+G(z −1 )H(z −1 ) yr(k) D(z −1 ) = R T∆ ,H(z −1 ) = S T∆ 其中 。 PI-GPC 算法可以转化为闭环离散系统的形 式，结构如图 2 所示。 − + y r (k) y(k) D(z −1) u(k) G(z −1) H(z −1) 图 2 PI-GPC 算法控制下的闭环反馈结构 Fig. 2 Closed-loop feedback structure under the control of PI-GPC algorithm LESO 的内模控制结构如图 3 所示[15]。 − K s + u y − u ~ y · 1/b0 Ts+1 1/s b0 ω0 2 (S+ω0 ) 2 图 3 LESO 的内模控制结构 Fig. 3 Internal model control structure of LESO 所以 PI-ADRGPC 下的闭环离散系统结构如 图 4 所示[16]。 y r (k) y(k) D(z −1) H(z −1) G(s) 1−e −τs s y − 图 4 PI-ADRGPC 算法的闭环反馈结构 Fig. 4 Closed-loop feedback structure of PI-ADRGPC 对于一阶惯性环节 Gp(s) = K T s+1 ESO 内模结构下的闭环传递函数为 G(s) = b0(s+wo) 2 T b0 s 3 +(2wob0T +1)s 2 +(2wob0 +w2 ob0)s 设 G(z −1 ) = Z [ 1−e −τs s · b0(s+wo) 2 T b0 s 3 +(2wob0T +1)s 2 +(2wob0 +w2 ob0)s ] 则闭环系统的特征方程为 1+G(z −1 )H(z −1 ) = 0 因此，只需考虑开环传递函数的频率响应。 G(z −1 )H(z −1 ) = z −1B(z −1 )S (z −1 ) A(z −1 )T(z −1 )∆ 3 PI-ADRGPC 的稳定性检测 给出以下一阶惯性环节： G(s) = 2 2s+1 T0 = 0.1 b0 = 1 控制过程中采样时间 ，控制增益的估值价 。 所以，PI-ADRGPC 算法主要受参数 N、wo、α、 λ、Nu、KP、KI 的影响。对参数进行调整，并且通过 Bode 图来分析参数变化对系统性能的影响。 3.1 N 改变对系统性能的影响 当 N 分别取 5、8、10、17、20、30、40 时，取 λ = 0.005, α = 0.2, wo = 8, Nu = 1, KP = 0.1, KI = 1 开环系 统的 Bode 图如图 5 所示。 N=5 N=8 N=10 N=20 N=30 N=40 N=17 100 80 60 40 20 −90 −120 −150 −180 0 幅值/dB 相角/(°) 10−2 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) 10−2 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) (a) 幅度 (b) 相频 图 5 当 Nu = 1，N 改变时的 Bode 图 Fig. 5 Bode diagram when N changes (Nu = 1) 实验结果显示，当 Nu = 1 时，N 取值较大，系 统截止频率小，响应速度慢，但是相角裕度较大， 稳定性较好。 当 Nu = 2 时，开环系统的伯德图如图 6 所 示。对应的相角裕度和截止频率如表 1 所示。 N=5 N=8 N=10 N=20 N=30 N=40 N=17 100 80 60 40 20 0 −140 −150 −160 −170 −180 幅值/dB 相角/(°) 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) (a) 幅度 (b) 相频 图 6 当 Nu = 2，N 改变时的 Bode 图 Fig. 6 Bode diagram when N changes (Nu = 2) 第 1 期 任佳，等：PI 型自抗扰广义预测控制的性能分析 ·69·
·70· 智能系统学报 第16卷 表1当N。=2,N变化时的相角裕度和截止频率 80 10=4 -w=18 Table 1 Crossover frequency and phase marginunder dif- ferent N(N=2) ap/ 28 。60 w 相角裕度/() 截止频率rads 0 37.37 12.54 2 0- 10p 101 10 P 34.90 13.39 颜率/(rads) (a)幅度 10 33.68 13.86 -140 17 31.08 14.95 -150 20 30.40 15.26 -160 要 -170 30 28.97 15.92 -180 40 28.17 16.30 10- 10p 10 10 频率/(rads) (b)相频 从图6和表1可得，预测时域的改变会同时 影响系统的相角裕度和截止频率。N。=2时， 图8w,改变时的Bode图 Fig.8 Bode diagram when w changes N取值较小，系统截止频率小，响应速度慢，但是 相角裕度较大，稳定性较好。 3.3α改变对系统性能的影响 当N=3时，开环系统的Bode图如图7所示。 当a分别取0、0.1、0.2、0.4、0.5、0.6、0.7、 0.9时，取N=17,1=0.005,1w。=8,N=2,K=0.1, 80 K=1,开环系统的Bode图如图9所示。 Bp斯 % N=40 150 20 =17 a=0.5 0 9100 =06 -20L =07 10- 109 101 10 50 =0.4 =0.9 频率/rads) (a)幅度 0 10-2 10- 109 101 103 -140 频率/(rads) -150 (a)幅度 -160 -90 -170 -180 -120 10 10 10 102 -150 频率/(rads) (b)相频 -180 0-2 10 10 101 图7当Nn=3,N改变时的Bode图 频率/rads) Fig.7 Bode diagram when N changes(N=3) (b)相频 实验结果显示，当N=3时，随着N的改变， 图9a改变时的Bode图 系统性能几乎不发生变化。因此N.取值越大， Fig.9 Bode diagram when a changes N的改变对系统性能的影响越不明显。 由图9可得，α取较大值时，系统的截止频率 N改变对系统性能的影响也和N,的取值相 较低，响应速度慢，影响了系统的动态性能，但是 关。应选择合适的预测时域，使控制过程既能得 系统稳定性较好。因此在确定了预测时域值 N的基础上进行参数调节，α应在1附近取值，才 到较快的响应速度，又具有较好的稳定性。 能获得较好的控制效果。 3.2w。改变对系统性能的影响 3.41改变对系统性能的影响 当w。分别取4、5、8、12、18、25、40、60时，取N= 当1分别取1、0.5、0.1、0.05、0.01、0.005、0.001、0 17,1=0.005,a=0.2,N=2,Kp=0.1,K=1,开环系 时，取N=17,a=0.2,w。=8,N.=2,Kp=0.1,K= 统的Bode图如图8所示。 l,开环系统的Bode图如图10所示。 随着"。增加，系统的截止频率和相角裕度几 由图10可得，随着1减小，系统的截止频率 乎不变，但是ESO的精度提高了。即w。起滤波 升高，响应速度变快。但同时系统的相角裕度减 作用，w。越大，系统的输入输出对噪声就越敏 小，稳定性降低，而且也出现了超调。相反，如果 感。因此"。应该限制在一定范围内以获得较好 入增大，则相角裕度增加，超调消失，但响应速度 的控制效果。 减慢。所以实际会选择较小的1
表 1 当 Nu = 2，N 变化时的相角裕度和截止频率 Table 1 Crossover frequency and phase marginunder different N (Nu = 2) N 相角裕度/(°) 截止频率/(rad·s−1) 5 37.37 12.54 8 34.90 13.39 10 33.68 13.86 17 31.08 14.95 20 30.40 15.26 30 28.97 15.92 40 28.17 16.30 从图 6 和表 1 可得，预测时域的改变会同时 影响系统的相角裕度和截止频率。Nu = 2 时 ， N 取值较小，系统截止频率小，响应速度慢，但是 相角裕度较大，稳定性较好。 当 Nu = 3 时，开环系统的 Bode 图如图 7 所示。 80 60 40 20 0 −20 −140 −150 −160 −170 −180 幅值/dB 相角/(°) 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) N=5 N=8 N=10 N=20 N=30 N=40 N=17 (a) 幅度 (b) 相频 图 7 当 Nu = 3，N 改变时的 Bode 图 Fig. 7 Bode diagram when N changes (Nu = 3) 实验结果显示，当 Nu = 3 时，随着 N 的改变， 系统性能几乎不发生变化。因此 Nu 取值越大， N 的改变对系统性能的影响越不明显。 N 改变对系统性能的影响也和 Nu 的取值相 关。应选择合适的预测时域，使控制过程既能得 到较快的响应速度，又具有较好的稳定性。 3.2 wo 改变对系统性能的影响 当 wo 分别取 4、5、8、12、18、25、40、60 时，取 N= 17, λ = 0.005, α = 0.2, Nu = 2, KP = 0.1, KI = 1，开环系 统的 Bode 图如图 8 所示。 随着 wo 增加，系统的截止频率和相角裕度几 乎不变，但是 ESO 的精度提高了。即 wo 起滤波 作用，wo 越大，系统的输入输出对噪声就越敏 感。因此 wo 应该限制在一定范围内以获得较好 的控制效果。 80 60 40 20 0 −20 −140 −150 −160 −170 −180 幅值/dB 相角/(°) 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) 10−1 100 101 102 频率/(rad·s−1) wo=4 wo=5 wo=8 wo=18 wo=25 wo=40 wo=12 wo=60 (a) 幅度 (b) 相频 图 8 wo 改变时的 Bode 图 Fig. 8 Bode diagram when wo changes 3.3 α 改变对系统性能的影响 当 α 分别取 0、0.1、0.2、 0.4、0.5、0.6、0.7、 0.9 时，取 N = 17, λ = 0.005, wo = 8, Nu = 2, KP = 0.1, KI = 1，开环系统的 Bode 图如图 9 所示。 α=0 α=0.1 α=0.2 α=0.4 α=0.5 α=0.6 α=0.7 α=0.9 150 100 50 0 −90 −120 −150 −180 幅值/dB 相角/(°) 10−1 10−2 100 101 102 频率/(rad·s−1) 10−1 10−2 100 101 102 频率/(rad·s−1) (a) 幅度 (b) 相频 图 9 α 改变时的 Bode 图 Fig. 9 Bode diagram when α changes 由图 9 可得，α 取较大值时，系统的截止频率 较低，响应速度慢，影响了系统的动态性能，但是 系统稳定性较好。因此在确定了预测时域值 N 的基础上进行参数调节，α 应在 1 附近取值，才 能获得较好的控制效果。 3.4 λ 改变对系统性能的影响 当 λ 分别取 1、0.5、0.1、0.05、0.01、0.005、0.001、0 时，取 N = 17, α = 0.2, wo = 8, Nu = 2, KP = 0.1, KI = 1,开环系统的 Bode 图如图 10 所示。 由图 10 可得，随着 λ 减小，系统的截止频率 升高，响应速度变快。但同时系统的相角裕度减 小，稳定性降低，而且也出现了超调。相反，如果 λ 增大，则相角裕度增加，超调消失，但响应速度 减慢。所以实际会选择较小的 λ。 ·70· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷