第一节模型的建立 根据流体力学,流场中流体的动量守恒方程为 a(u)1t=-V·[un]-Vp-(V·r)+pg (1.48) 式中,g为重力加速度,x为张力,p为压力,u为速度向量。 方程(1.48)左侧是流场中单位体积内动量变化的速率。右侧第一项是因对 流引起的单位体积动量的净流出量,右侧第二项是因流体内压力或法向应力产 生的单位体积的动量变化,右侧第三项是因流体内粘滞力或切向应力产生的单 位体积的动量变化,右侧第四项是因流体重力产生的单位体积的动量变化。下 面对力程(1.48)右侧的对流项、压力项及粘滞力项分别予以说明: (1)对流项先考虑流体在x方向的动量通量J。J2可以从x,y,x三个 方向进入或离开体元 drdy 在x方向通过平面dydx对流进入体元的流体动量为u2a,dydz,其中 2dydz是单位时间流入的流体体积,乘以密度ρ即得到流体质量,再乘以u2 即为从x方向流入的流体在x方向的动量。单位体积的流入量J则为 Ju=pu_ u, dydz dxdydz=ou,u/dx (1.49) 若体元内流体的流速发生变化,梯度为∂u23x,则流出流体的流速为a (aa,x)dx,[ux+(,/3x)dx]dydz是单位时间流出的流体体积,乘以密度 p即得到流体质量,再乘以wn+(an21ax)dx,可得p[u1+(,3x)dx1[+ (l23x)dr]dydz,即为从x方向流出的流体在x方向的动量。单位体积的 流出量则为 Jar=pl,+au,ax)dx][u2 +(au,/ax)dx] dydz/dx dydz PLu, +(au/ax)d][u+(au /ax)dxdx 流出减流人,可得: Jnr-J2=2[pu (au / x)]+p(au /ax)'dx (1.51) 舍去二次项,可得从x方向进入体元的x方向动量净流出量为2[p,(aax 在y方向通过平面drdz对流进入体元的流体动量为p, u dxdz,其中 t dxdz是单位时间流入的流体体积,乘以密度p即得到流体质量,再乘以u 即为从y方向流入的流体在x方向的动量。单位体积的流入量J则为 Un=pu uy dxdxldxdydz=ou, u,/d 若体元内流体的流速发生变化,梯度为3n,y,bx,12y,则流出流体的流速 为ux+( Bu/ay)dy和ty+(d以lay)dy,则[ay+(auyl3y)dy]dxdz是单位时 间流出的流体体积,乘以密度p即得到流体质量,再乘以a,+(3v/3y)dy,可 得p1+(an,1ly)dl[a3+(aa12y)dy]dxdz,即为从y方向流出的流体在
第一章仿真 x方向的动量。单位体积的流出量J为 JIy=pLu, +(au, /ay)dyl[u+(au, / ay)dy d. dz/dxdydz plu, +(au, ay)dy][uy+(au, /ay)dy J/dy 流出减流入,舍去二次项,可得净流出量为: Jix-j 1.54) 在x方向通过平面dxdy对流入体元的流体动量w,v,dxdy,其中 ,dxdy是单位时间流入的流体体积,乘以密度p郾得到流体质量,再乘以u2 即为从x方向流入的流体在x方向的动量。单位体积的流入量J则为: Jn 荇体元内流体的流速发生变化,梯度为a,13z,3u,x,则流出流体的流速 为2+(a213z)dz和v+(,12)dz,则[+(a213z)dz]dxdy是单位时 间流出的流体体积,乘以密度p即得到流体质量,再乘以M,+(al,{3z)dz可得 pa+(bl,lz)dz][u2+(332)dz]dxdy,即为从z方向流出的流体在x 方向的动量。单位体积的流出量则为 Jn=o[ u, +(a u /az)dz[u,+(au, /az)dz]dxdy/dxdydz Plu, +(au,ax)dx][u,+(au/ax)dx]/dx (1.56) 流出减流入,舍去二次项,可得净流出量为 Jax-j 212z)+pu,(u13 所以,流体在x方向的动量从体元的总净流出量厂为 Jrxr-u+Jy-Ja tr-J=au,[(au /ax)+(au, ay)+(au, 1ax) t pu,(au, /ax)+pu, (au,/ay)+pu (a u /a z) (1.58) 根据连续方程,(u2x)+(u,/y)+(aa,1e)=0 可得流体在x方向因对流产生的净流出动量为: J:=pu (au/ax)+pu, (a u /a y)+ pu, (au, /az) 1.59.1) 同理,流体在y、z方向因对流产生的净流出动量分别为: Jy=p,(au、x)+m,(au,13y)+m(y{3z)(1.59,2 J=P(3u13x)+m(ou13y)+p(au2/az)(1.59.3) 所以,流体因对流产生的总的净流出动量为 了=J+Jy+J=V·[p 因为是净流出,所以在v[wu]前要加上负号,变成-vpw],表示动量的减 少 对于二维流体,从x、y方向的净流出动量方程中删除与z有关的各项,可 得
第一节模型的建立 J=p,(ou,/x)+pu,(au,3y)=(aan2u21bx)+(3m,l2ay)(1.61.1) J=pw,(3u3{3x)+puy(、lby)=(amw,4、3x)+(op、y)(1.61.2) (2)压力及粘滞力项流体都是有粘性的。当体元 drdy内的流体流速 与体元外的流体流速不相同时,体元外的动量就可以通过体元的6个界面借助 于粘滞力传递到体元内,使体元内流体流速产生变化。流体的粘性越大,通过粘 滞力传递的动量也越大。 d r T rr〃dz G 图1.7体元 da: dydz法向应力a和切向应力r示意图 对于图17中的正六面体 dr: dydz前言,若流体为不可压缩,则根据流体力 学可知体元各表面的法向应力分别为 p+2P(u212x) (1.62.1) p+ 2p(au,/ay (1.62.2) a=-p+2p(2u2z) (1.62.3) a1=a1+(21x)dx=-p+2pn(bu2x)-(p/3x)dx+[2y(u213x)x]dx ay=o,+(ao, /ay)dy=-p+2u(au, /ay)-(play)dy+[2a/(a u,/ ay)/ay]dy (1.62.5) 0:=0,+(ao2/az)dz=-P+2u(au, /ax)-(p/ax)dz +[2au(a u, /ax)/ax]dz (1.626) 式中,p为流体粘度,p为压力项。体元x、y、z三方向上的表面相对应某点的 净法向应力分别为: (pla.r)dx+[2ay(au, /ax)/x]dx a-a=…(pay)dy+[2ap(au、ly)/ay]dy (1.63.2)
第一章仿真 o-0=-(p3z)dx+[23n(al、fax)(x]dz (1.63.3) 体元在x、y、之三方向表面的净法向应力分别为: (or-or ) dydz -.(p/ar)dxdydx+[2 au(du,/ar)/ax ]dxdydz (1. 64.1) (o-o,dx:dz=-(p/av)drdydz+[2 du(au, /ay)/ay]dxdydz (1. 64.2) (o?-adrdy=-(p/ax)d.rdydz+[2 du(au/ax)/az]drdydz (1. 64.3) 体元6个表面某点的12个切向应力分别为 uRdu, dz r=r=p[(x21x)+(u,3z)] (1.65.3) ry=z,+(xol3x)dx=p[(3a13y)+(au3x)]+[ar(2y) +du(auy/ax)J/axidx (1.65.4) r-x+(ary1y)dy=n[(o2ly)+(a、/3x)]+{ap(aax/y) +au(duy/ax)j/ayldy (1.65.5) r=za+(azxlz)dz=H[(ar1lz)+(0u23x)]+[g(dax{3z) +au(au,ax)l/azid 1.65.6 zn+(3rx{3x)dx=g[(a21z)+(dv2lx)]+tap(u2/3z +au(dux lar)l/axid (1.65.7 Ix=Iv+(at /ay)dy=ul(du, /az)+(a u, ay)]+[an (a, / ax) +au(au/ay)J/ayld 1.65.8) ry=r+(raz)dz=[(3,13z)+(t|y)]+![b(a,{bz) +du(ou, ay)l/azide 上述表面相对应各点的净切向应力分别为: ILau(au,/ay)+ au(aux/ax)axidx iLau(au, /ay)+au(au,ax)/dyidy (1. 66.2) 2r -tz=lrau(au, 1ax)+ au(au1ax)]/az dx 1.66.3 i[au(au /az)+ aR(au, jax)]axidx ty-ty=lau(au, lax)+ au(au,/ay)]/ayl dy (1.66.5 tau(au, /ax)+aR(au,ay)/azid 体元6个表面的切向应力分别为 (rry- try)dydz=i[aR(a u, /ay)+ aR(au, ax)l/dxldxdydz (1.67.1) (ry-tw)dxdz=lLau(au /ay)+ au(au,/ax)1layid.xdydz (1.67.2) )dxdy=i[du(au, /a u(au, / ax)]azldxdyd )dydz=1[ap(au,1az)+au(a u, ax)l/axidxdyd
第一节模型的建立 (rx-rx)dxda={ip(n,z)+an(b,/3y)]ydxdyd (1.67.5) (Ta -ru)dxdy=l[au(au,ax)+ au(au, /ay)Jlazidrdydz (1.67.6) 单位体积的体元在x、y、z方向的净法向应力和净切向应力之和分别为 i(ar-o, dydz +(tx -t)dxdz+(ru-ru )dxdyl/d.xdydz =-(px)+[23p(n23x)3x1+[ap(aa12y)+a1(u、3x)]/ay 3(u,az)+ap(3v21(3x)]/3x (1.68.1) (play)+[2a u(auy /a y)/ay]+[au(au /ay)tap(au,ax)]/ax [o(ay13)+a1(d21ay)]/7z (1.68.2) )dyde+(t r'dxjdrdydz 1z)+[2an(an13z)|z]+[a 对于二维流体系统,删去与z有关的各项,可得x、y方向的净法间应力和 净切向应力之和,分别为 p,--(P/ax)+2au(au /ax )/ax+au(au, /ay)ay+au(au,/ax)/a y p=-(p10y)+20n(0n21{3y)3y+a(n23y)|x+a(aa,1x)/x (1.69.2) 因此密度为P的流体在二维空间的x方向(水平方向)的动量守恒方程 为 a pu /at+alpu u, -u(au /ax)l/ax+atpuyur-u( u /dy)1/d ap/ax +au(au, 1a.x)J/a.+a[(au, /ax)]/ay-2(a pk/ax)/3 在y方向(垂直方向)的动量守恒方程为: ,at+apu u, -/(au,/ax)J/ax+a[pu, u, -u(au,ay)1/ y a play+au(au /ay)J/ax+au(au /ay)llay-2(a pk/a y)/3+ pg, 式(1.70.1和1.70.2)中的2(mkx)3为动量守恒方程的湍流修正项,这 里不作进一步讨论。mg,是流体重力对体元动量变化的贡献。 若粘滞力项中的非扩散部分可以忽略,则方程(1.70.1,1.70.2)分别变成 (au /ax)/ax+a (v2/3y)]a =-2p3x-2(k}x)/3 (1.71) apu /at+ aL pu u, -u(au, /ax)J/ax+a[pu, u,-R(au/ay)J/ay