其傅氏反变换为 f(t)e F(seda 最后得到 F(s)=f(te"sdt (4.1-5) O+10 f(O)=n∫F(sed.(416) 2T j 式(41-5)称为∫(1)的双边拉普拉斯变换( bilateral Laplace Transform),称F(s)是f(t)的象函数。而式(416)是F(s) 的双边拉普拉斯反变换,称f()是F(s)的原函数。 式(41-5)和(4.1-6)称为双边拉普拉斯变换对,可以用 双箭头表示f(t)与FS)之间这种变换与反变换的关系 iEF(s)=Llf(tlf(t=L F(s) f(1)<>F(s)
最后得到 式（4.1-5）称为f (t)的双边拉普拉斯变换(bilateral Laplace Transform)，称F(s）是f ( t )的象函数。而式 (4.1-6) 是F（s） 的双边拉普拉斯反变换，称 f (t) 是F(s)的原函数。 式（4.1-5）和（4.1-6）称为双边拉普拉斯变换对，可以用 双箭头表示f ( t )与F(s)之间这种变换与反变换的关系 其傅氏反变换为 − − = f t e F s e d t j t ( ) 2 1 ( ) − − F s = f t e dt st ( ) ( ) f t ( ) j F s e d s s t j j ( )= − + 1 2 （4.1-5） （4.1-6） F(s) [ f (t)], f (t) [F(s)] - 1 记 = L = L f (t) F(s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出,f (t)的双边拉普拉斯变换F(s)=F(σ+j0)是把f(1)乘以e之后 再进行的傅里叶变换,或者说F(s)是∫(t)的广义傅里叶变换。 而f(t)e较容易满足绝对可积的条件,这就意味着许多原来 不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换,即双边拉普 拉斯变换,于是,拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围。 拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于:傅里叶变换是将 时间域函数f(t)变换为频率域函数f(O),或作相反的变换,此 处时域变量t和频域变量⑩都是实数;而拉普拉斯变换则是 将时间域函数f(t)变换为复频域函数F(s),或作相反的变换, 这里时域变量t是实数,复频变量s是复数。概括地说,傅里 叶变换建立了时域和频域(ω域)间的联系,而拉普拉斯变换 则建立了时域和复频域(S域)间的联系
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出，f ( t ) 的双边拉普拉斯变换F(s)=F( )是把f ( t )乘以e - t之后 再进行的傅里叶变换，或者说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。 而f ( t )e - t 较容易满足绝对可积的条件，这就意味着许多原来 不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换，即双边拉普 拉斯变换，于是，拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围。 拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将 时间域函数f ( t )变换为频率域函数F( )，或作相反的变换，此 处时域变量 t 和频域变量 都是实数；而拉普拉斯变换则是 将时间域函数f ( t ) 变换为复频域函数F(s)，或作相反的变换， 这里时域变量 t 是实数，复频变量 s 是复数。概括地说，傅里 叶变换建立了时域和频域 ( 域) 间的联系，而拉普拉斯变换 则建立了时域和复频域（S域）间的联系。 + j
41.2拉普拉斯变换的收敛域 从以上讨论可知,当信号f()乘以收敛因子e后,就有可能 满足绝对可积的条件。然而,是否一定满足,还要看f()的 性质与σ值的相对关系而定。也就是说,对于某一函数f() 通常并不是在所有的σ值上都能使式(4.1-5)的积分收敛, 即并不是对所有的σ值而言,函数f(t)都存在拉普拉斯 变换,而只是在σ值的一定范围内,f(t)才存在拉普拉斯 变换。通常把使∫(leα满足绝对可积条件的σ值的范围称 为拉普拉斯变换的收敛域(ROC:; region of convergence)。 在收敛域内,函数的拉普拉斯变换存在,在收敛域外,函 数的拉普拉斯变换不存在。 双边拉普拉斯变换对并不一一对应,即便是同一个双边拉 普拉斯变换表达式,由于收敛域不同,可能会对应两个完 全不同的时间函数。因此,双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛因子e -t后，就有可能 满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f (t)的 性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数f (t)， 通常并不是在所有的 值上都能使式(4.1-5)的积分收敛， 即并不是对所有的 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯 变换，而只是在 值的一定范围内，f ( t )才存在拉普拉斯 变换。通常把使 f (t)e-t 满足绝对可积条件的 值的范围称 为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC: region of convergence )。 在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函 数的拉普拉斯变换不存在。 双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉 普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完 全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域
413(单边)拉普拉斯变换 考虑到实际中遇到的信号都是有始(因果)信号,即t<0时 f(t)=0,以及信号虽然不起始于0,而问题的讨论只须考虑信 号≤0的部分。在这两种情况下,式(4.1-5)可改写为 F(s)=f(te-s"at (4.1-8) 上式称为fω)的单边拉普拉斯变换( unilateral Laplace ransform),记为￡f()]。相应的反变换为 (4.1-9) 记为[F()]。即 F(s)=f[f(t)]和f()=￡[F(s)
4.1.3 （单边）拉普拉斯变换 考虑到实际中遇到的信号都是有始（因果）信号，即 t < 0 时 f ( t ) = 0，以及信号虽然不起始于 0，而问题的讨论只须考虑信 号 的部分。在这两种情况下，式（4.1-5）可改写为： （4.1-8） 上 式 称 为 f(t) 的 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 （ unilateral Laplace Transform），记为 £[ f (t) ]。相应的反变换为： t > 0 (4.1-9） 记为£-1 [ F(s)]。即 F(s) =£[ f (t) ] 和 f (t) = £–1 [ F (s) ] 0 − − = 0 F(s) f (t)e dt st f t ( ) j F s e d s s t j j ( )= − + 1 2
式(41-8)中积分下限用0-而不用0,目的是可把t=0 时出现的冲激考虑到变换中去,当利用单边拉普拉斯变换 解微分方程时,可以直接引用已知的起始状态∫(0-)而求得 全部结果,无需专门计算0-到0+的跳变。 由于在分析因果系统,特别是具有非零初始条件的线性 常系数微分方程时,单边拉普拉斯变换具有重要价值,所 以,我们在下文中讨论的拉普拉斯变换(简称拉氏变换) 都是指单边拉普拉斯变换 如果因果信号f(t)满足:(1)在有限区间a<t<b内 (0≤a<b<∞)可积;(2)对于某个G,有 imf()em=0(0>0) (4.1-10) 则对于Res]=σ>a,拉普拉斯变换积分式(41-8)绝对 且一致收敛。即f(t)存在拉普拉斯变换
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋ ，目的是可把t = 0－ 时出现的冲激考虑到变换中去，当利用单边拉普拉斯变换 解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得 全部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。 由于在分析因果系统，特别是具有非零初始条件的线性 常系数微分方程时，单边拉普拉斯变换具有重要价值，所 以，我们在下文中讨论的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 都是指单边拉普拉斯变换。 如果因果信号f ( t )满足：（1）在有限区间a < t < b内 （0 a < b < ）可积；（2）对于某个0，有 ： （4.1-10） 则对于Re[s] = > 0，拉普拉斯变换积分式（4.1-8）绝对 且一致收敛。即f ( t )存在拉普拉斯变换。 lim ( ) 0 ( ) 0 = − → t t f t e