>>subplot(2,2,l);stem(n,x);title('矩形脉冲) xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([-10,10,0,1.2]) >>subplot(2,2,2);stem(m,xe);title('偶部) >xlabel('n');ylabel('xe(n)');axis([-10,10,0,1.2]) >>subplot(2,2,4);slem(m,xo);title('奇部) >xlabel('n');ylabel('xe(n)');axis([-10,10,-0.6,0.6]) 图2.4清楚地显示了分解的结果。 矩形张冲 锅部 05 鸟 0 -10 10 -10 0 10 奇部 05 -050 -10 0 10 图2.4例2.4中的奇偶分解 在例2.5中给出了复数序列的个类似的分解结果。 几何级数：形如{a”,n≥0（其中α为任意常数）的单边指数序列称为几何级数。在数字 信号处理的许多应用中要用到这个级数和的收敛性和表示式。该级数在Iα丨<1时，其和收敛 F: 对1al<1 (2.4) n0 我]也用得到该级数的有限项之和的表达式： (2.5) 本书从头到尾要用到这两个结果。 16
序列的相关：数字信号处理应用中广泛用到相关运算。用它来度量两个序列柑似的程度 给出两个长度相同，能量有限的序列x(n)和y(n),则x(n)和y(n)的互相关是一个序列ry (),其定义为： r,()=∑x(n)y(n-) (2.6) n=-0 下标1称为移位或滞后参数。当x(n)=y(n)时，得到(2.6)式的特例，称为自相关。其 定义为： rs(1)= ∑x(n)x(n-) (2.7) 是立一 它提供了序列位置不同对准情况下自相似程度的度量。用以计算自相关和互相关的 MATLAB函数将在本章后面讨论。 离散系统 数学上，一个离散时间系统（简称离散系统）可用算子T[.]来描述。它取得·个序列x (n)(称为激励)并将它变换为另一个序列y(n)(称为响应)。即： y(n)=T[x(n)] 在数字信号处理中，我们说系统将输入信号处理成输出信号。离橄系统粗略地分为线 性和非线性系统。我们主要讨论线性系统。 线性系统 离散系统T[.]是线性算子L[.],当且仅当L[.]满足叠加原理，即 L[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1L[x1(n)]+a2L[x2(n)],Va1,a2,x1(n),x2(n)(2.8) 利用(2.)和(2.8)，线性系统在任意输人x(n)下的输出y(n》可表为： 响应L[8(n-k)]可以解释为由于个k时刻的单位脉冲所起的该线性系统在n时 刻的响应。它被称作脉冲响应并表为h(n,)。因而输出可用叠加原理求得： 17
y(n)=∑x(k)h(n,k) (2.9) t三一第 要第出(2.9)情婴知道时变脉冲响应五(，)，在实际上是不方使的。因此数字信号处理 中泛采用时不变（定常）系统。 线性时不变(LTI)系统：-一个线性系统，其输人和输出对x(n),y(n)不随时问移位n而 变，称为线性时不变系统对IT1系统，L[.」和移位算∫是可逆的，表示如下： x(n)一L]→y(n)→移位-→y(n-k) x(n)→移位风→x(n-k)→L[门-*y(n-k) 我们用算了ITI[.1表示L.TI系统。令x(n)和y(n)为一个LTI系统的输入输出对。则 时变函数h(n,k)成为-…个时不变函数h(n-k),而(2.9》式得出的输出成为： y(n)=1TIx(n)]=x(k)h(n-k) (2.10) LT1系统的脉冲响应为(n).(2.10)式的数学运算称为线性卷积和并表为： y(n)△x(n)*h(n） (2.11) 血此，一个1T1系统可以完全用脉冲响应h()在时域中表征，如下所示： x(n)h(n)-y(n)=x(n)*h(n) 我将在：题2.12中讨论卷积的若干特性。 稳定性：在线性系统巾，这是一个很重要的概念。考虑稳定性的主要理中是避免构成有害 的系统或者避免系统工作时发生损害或饱和。如果系统在所有的有界输入下都产生有界的输 出： lx(n)l<o→fy(n)i<∞，Hx,y 则称它是有界输人-有界输出(BBO)稳定的。一个LTI系统是BBO稳定的，当日仅当 其脉冲响应是绝对可加的 BB0稳定性台∑Ih(n)I< (2.12) 18
因果性：要想保证系统可以造出，必须有这个重要概念。如果系统在下标0处的值仅仅 依赖于点及它之前的输人，也就是它的输出不依赖于未来的输人，则系统被称为因果性 的。一个LTI系统是因果的，当且仅当其脉冲啊应： h(n)=0,%<0 (2.13) 这一序列称为因果序列。在信号处理中，除非有专门的说明，总是假定系统的因果的。 卷 积 我们引入了卷积运算来描述一个LTI系统的响应。在数宁信号处理中它是·个重要的 运算，在本书中会看到它有很多别的用处。可以有很多方法来求卷积。如果序列是数学函数 (有限或无限长度)，则可用分析的方法求(2.11)，得到对所有的n都适用的y(n)函数形式。 ☐例2.5：将例2.4巾的矩形脉冲x(n)=u(n)-u(n-10)作为对个脉冲响应为 h(n)=(0,9)u(n) 的LT1系统的输入，求输出y(n)。 解：输入x(n)及脉冲响应h(n)示于图2.5中。由(2.11) y(n)=之(1)(0.9)a-u(n-k)=(0.9y"2(0.9)u(n-k) (2.14) =0 (2.14)中的总和差不多是-个几何级数和，除了u(n一素)项依赖于不同的n和素而取 值。u(n-k)可能在三种不同的情况下取值： 情况ih<0:此时u(n-k)=0,0≤k≤9。因而从(2.14)得 y(n)=0 (2.15) 在此情况下x(n)和(n)的非令值不万相覆盖。 情况ii0≤n<9:则u(n-k)=1,0≤k≤n。两而由(2.14) y(n)=(0.9)(0.9)k=(0.9)2L(0.9）y4 =0 =(0.9）L-(0.9)-(a+1 1-(0.9)-1=10[1-(0.9)n+1小，0≤n<9 在此情况下，脉冲响应h(n)与输入x(n)部分覆盖。 19
输入序列 15 0.5 se3eees3eeeegeeeeatee9eaen 10 20 30 40 脉冲响应 2 15 1 0.5 0 fffYtaassgaorraocepce902acec宽n 10 20 30 40 图2.5例2.5中的输人序列和脉冲响应序列 8 输出序列 6 4 2 TT7s2ax 10 20 30 40 50n 图2.6例2.5的输出序列 情况in≥9：故u(-k)=1,0≤k≤9，并由(2.14) y(n)=(0.9)n(0.9)-k (2.17) k=0 =(0.9)m1-(0.9)-10 1-（0.9-=100.9)-9[1-(0.9)0],n≥9 在此情况下，h(n)完全与x(n)覆盖。 由(2.15)、(2.16)和(2.17)给出了完整的响应式。它表示于在图2.6中，显示了输入脉冲 经过系统发生了崎变。 上面的例子也可以用一种被称为图解卷积的方法来求得，这时(2.11)要用·种图解说明。 在这个方法中h(n-k)要解释为折叠-移位了的h(k)。输出y(n)是落在x(壳)和h(n-片) 澴盖区为样本和求得的。我用一个例子来说明。 20