《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第5章 单变量函数的积分学 5.1.6 定积分的计算 5.1.7 用积分定义函数 5.1.8 Taylor展开中余项的积分表示

5.1.6换元法分部积分法5.1.75.1.8例4设f(α）是[a,b]上的可积的凸函数，求证a+b(b - a)ff(a)da2证明因为f(α是凸函数，所以对&E[a,b]有a+bf(α)+f(a+b-α)≥2f2两边积分可得-ba+bf(a +b -) da ≥2(b- a)ff(α)da+2作换元t=a+b一a，可得f(a+b-α)dc=f(t)dt.f(t)dt =h由此即得所证返回全屏关闭退出6/24

5.1.6 5.1.7 5.1.8 †{ ©ÜÈ©{ ~ 4  f(x) ´ [a, b] þŒÈà¼ê, ¦y (b − a)f  a + b 2  6 Z b a f(x) dx. y² Ϗ f(x) ´à¼ê, ¤±é x ∈ [a, b] k f(x) + f(a + b − x) > 2f  a + b 2  . ü>È©Œ Z b a f(x) dx + Z b a f(a + b − x) dx > 2(b − a)f  a + b 2  . Š† t = a + b − x, Œ Z b a f(a + b − x) dx = − Z a b f(t) dt = Z b a f(t) dt. dd=¤y. 6/24 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

换元法5.1.65.1.75.1.8分部积分法例5设f（αc）在R上有定义，在任意有限区间上可积，且满足f(a+y)=f(α)+f(y)求f(α).解考察函数F(α) =f(t) dt.1对任意a,y有ra+yor+y2F(α +y) =f(t) dtf(t) dt =f(t) dt +JoJ0Jrry= F(α) +f(t+α)dt0ry=F(α)+(f(t) +f(αc)) dt1=F(α) + F(y)+yf(α)返回全屏关闭退出7/24

5.1.6 5.1.7 5.1.8 †{ ©ÜÈ©{ ~ 5  f(x) 3 R þk½Â, 3?¿k«mþŒÈ, …÷v f(x + y) = f(x) + f(y). ¦ f(x). )  ¼ê F(x) = Z x 0 f(t) dt. é?¿ x, y k F(x + y) = Z x+y 0 f(t) dt = Z x 0 f(t) dt + Z x+y x f(t) dt = F(x) + Z y 0 f(t + x) dt = F(x) + Z y 0 ￾ f(t) + f(x)
dt = F(x) + F(y) + yf(x). 7/24 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.8换元法5.1.65.1.7分部积分法即对任意&,y有F(α + y) = F(α) + F(y) + yf(α).交换,y得到F(α + y) = F(α) + F(y) + af(y).比较上面二式，得yf(α) = αf(y).取y= l,得f(α) = ac,其中 a= f(1)是任意常数返回全屏关闭退出8/24

5.1.6 5.1.7 5.1.8 †{ ©ÜÈ©{ =é?¿ x, y k F(x + y) = F(x) + F(y) + yf(x). † x, y  F(x + y) = F(x) + F(y) + xf(y). 'þ¡ª,  yf(x) = xf(y).  y = 1,  f(x) = ax, Ù¥ a = f(1) ´?¿~ê. 8/24 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ