《金属塑性变形理论》课程授课教案（讲稿）力学部分（绪论、第一章 应力状态分析、第二章 应变状态分析）

下面我们分析微分斜面上的应力。该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦为：cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,2)=n则三个垂直面的面积可以表示为：SoBC = SABc cos(n, x)= ds - ISoac = SABc cos(n, y)= ds- mSoBA = S ABc Cos(n,z)= ds -n由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即X=0、ZY-0、 ZZ=0。在x方向：Smds-o,.ds.l-Twds·m-txds·n=0在y方向：Smds-Tyds.l-,ds·m-Ty*ds·n=C在=方向：Sm.ds-t,.ds.l-t,.dsm-o..dsn=0整理后得：Sm=o,I+tum+tan(1-6)Sm=T,l+o,m+t,nSm-=t,/+t,m+o.n用矩阵表示为：(Smx)0Tyx(1-7)Snyatn(Sm)nTxTr0.把微分斜面上的合应力S，向法线N方向投影，便可求出微分斜面上的正应力α，，或将Snx、Say、Sm=分别投影到法线N上，也同样得到微分斜面上的正应力n，即O,=Sm/+Smm+S.n将式1-6代入上式，则j?+o,m+o.n+2t,lm+2t,mn+2tnl(1-8)O,=O1l微分面上的剪应力为t, =S, -o,(1-9)

下面我们分析微分斜面上的应力。该微分斜面面积为 ds，外法线方向的方向余弦 为： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n 则三个垂直面的面积可以表示为： S S (n x) ds l OBC ABC = cos , =  SOAC = S ABC cos(n, y) = dsm SOBA = S ABC cos(n,z) = ds n 由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即 X = 0、 Y = 0、 Z = 0。 在 x 方向： Snx  ds − x  dsl − yx  ds m − zx  ds n = 0 在 y 方向： Snx  ds − xy  dsl − y  ds m − zy  ds n = 0 在 z 方向： Snx  ds − xz  dsl − yz  ds m − z  ds n = 0 整理后得：      = + + = + + = + + S l m n S l m n S l m n nz xz yz z ny xy y zy nx x yx zx          （1-6） 用矩阵表示为：                      =           n m l S S S xz yx z xy y zy x yx zx nz ny nx          （1-7） 把微分斜面上的合应力 Sn，向法线 N 方向投影，便可求出微分斜面上的正应力  n ， 或将 Sn x、Sn y、Snz 分别投影到法线 N 上，也同样得到微分斜面上的正应力  n ，即  n = Snxl + Snym + Snzn 将式 1-6 代入上式，则 l m n lm mn nl n x y z xy yz zx     2 2 2 2 2 2 = + + + + + （1-8） 微分面上的剪应力为 2 2 2 n Sn  n  = − （1-9） x z   n

综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点具平行于坐标面的三个微分面上的丸介应力分量、、、、xa、a来表示或者说通过变形体内任意点垂真于坐标轴所截取的三个相互垂真的微分面上各应力，己知时，便可确定该点的应力状态。2.主坐标系下应力关系的建立若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由O,=o,?+o,m+o.n+2t,m+2t,mn+2tgnl可得0, =0,? +02m? +0,n?S,=o1+o,m?+on?而T =(o, -0,)1m +(0, -0,)mn? +(0, -0,)n212所以综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。Ox,Ty=txTy=tyT=t或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力，已知时，便可确定该点的应力状态。3.应力边界条件方程如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力分别为px、py、pz，则Px=o,/+tym+tnP,=t,l+o,m+t,nP.=t./+tm+o,n应力边界条件方程的物理意义：建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。课堂练习：已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线1=m=n=1//3方向与三个坐标轴夹角余弦时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上的分量Sxr、Sy、S-及斜1面上的法线应力sn和切应力tn。解：首先确定各应力分量sr=10、Sy=10、sz=0、txy=tyx=5、txz=tzx=5、Tyz=tzy=0（单位MPa)。由.1_20方+5·云+5.S,=o/+tum+tn=10.万V3V3115126+10..+o,m+t.,n=5.+0.S,=tV3V33V335111+0+0S,=t,.l+t,m+o,n=5.3-73V3V3

综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分 面上的九个应力分量  x 、  y 、  z 、 xy yx  =  、 yz zy  =  、 zx xz  =  来表示。或者说， 通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力  ij 已知 时，便可确定该点的应力状态。 2. 主坐标系下应力关系的建立 若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由 可得 而 所以 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九 个应力分量来表示。 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的 三个相互垂直的微分面上各应力 已知时，便可确定该 点的应力状态。 3.应力边界条件方程 如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的 微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向 的分力分别为 px、py、pz，则 应力边界条件方程的物理意义： 建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。 课堂练习： 已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线 方向与三个坐标轴夹角余弦 时，求该斜面上的全应力 S，全应力 在坐标轴上的分量 Sx、Sy、Sz 及斜 面上的法线应力 sn 和切应力 tn。 解：首先确定各应力分量 sx=10、sy=10、sz=0、txy=tyx= 5、txz=tzx=5、 tyz=tzy=0（单位 MPa）。由  x  y  z xy yx   = yz zy  = zx xz   =  ij      = + + = + + = + + p l m n p l m n p l m n z xz yz z y xy y zy x x yx zx          l m n = = =1 3 2 2 2 26 5 3 x y z S S S S = + + = 2 2 2 2 2 2 n x y z xy yz zx        = + + + + + l m n lm mn nl 2 3 2 2 2  n =1 l + m + n 2 2 3 2 2 2 2 2 Sn =1 l + m + n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 l m m n n l  n =  − +  − +  −          = + + =  +  +  = = + + =  +  +  = = + + =  +  +  = 3 5 3 1 0 3 1 0 3 1 5 3 15 3 1 0 3 1 10 3 1 5 3 20 3 1 5 3 1 5 3 1 10 S l m n S l m n S l m n z xz yz z y xy y z y x x yx z x         

,=o,?+0m?+n?+2t,lm+2t,mn+2tn1_ 40=(10+10+2·5+2·5)333(40)2350650.J14T,=/53-03933人7应力坐标变换公式1212GrmTyxTyxT:OxTax12Txyo,T.ymm2n2m2aymTxy=yngn八9.)(n)n2a(3mTxTya'Tye其中li、mi、ni为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦xJZ11x'mln1J'12m2n2Z13m3n3ylyUy0UxUx'+【本讲课程的小结】今天我们主要讲了应力之间的关系，包括任意状态和主坐标系两种状态，应力边界条件方程及其物理意义，通过例题对所学应力之间的关系进行了具体的练习【本讲课程的作业】作业：习题集P2习题8。；预习：第一章第三节应力张量和求和约定

应力坐标变换公式 其中 li、mi、ni 为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦。 x y z x' l1 m1 n1 y' l2 m2 n2 z' l3 m3 n3 【本讲课程的小结】今天我们主要讲了应力之间的关系，包括任意状态和主坐标系两种状态， 应力边界条件方程及其物理意义，通过例题对所学应力之间的关系进行了具体的练习。 【本讲课程的作业】 作业：习题集 P2 习题 8。； 预习：第一章第三节应力张量和求和约定。 3 40 3 1 (10 10 2 5 2 5) 2 2 2 2 2 2 = + +  +   = = l + m + n + lm + mn + nl n x y z xy yz z x        14 3 5 9 350 3 40 3 650 2 2 2  = =       n = S − n = − 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 x y x z x x yx zx x y y z y xy y zy x z y z z xz yz z l m n l l l l m n m m m l m n n n n                                                  =                         y x' y' u ux uy ux' uy' o

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第22讲次摘要第一章应力状态分析授课题目（章、节）第三节应力张量和求和约定本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉应力张量、零阶应力张量、一阶应力张量和二阶对称应力张量的基本概念，掌握求和约定的应用。【重点】应力张量的概念，求和约定的应用。【难点1二阶对称应力张量的理解。内容【本讲课程的引入】上讲课我们学习了应力之间的关系以及应力边界条件方程，今天我们来学习应力张量和求和约定。【本讲课程的内容】第三节应力张量和求和约定1：应力张量在斜面上的应力分析中，我们得到S=o,I+tm+tnSm=txyl+o,m+t,nSm=Txl+tym+o,n用矩阵表示为S.orTrS.QyTtSmTxzTyO由图1-4可以看到，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示OrTyTexTyO,Tay图1-4应力张量分量Tx Tyo.O2根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。---1*4J面面面rTE-防向向-方向

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》 第 周，第 22 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第一章 应力状态分析 第三节 应力张量和求和约定 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉应力张量、零阶应力张量、一阶应力张量和二阶对称应力张量的 基本概念，掌握求和约定的应用。 【重 点】应力张量的概念，求和约定的应用。 【难 点】二阶对称应力张量的理解。 内 容 【本讲课程的引入】上讲课我们学习了应力之间的关系以及应力边界条件方程，今天我们来学习 应力张量和求和约定。 【本讲课程的内容】 第三节 应力张量和求和约定 1．应力张量 在斜面上的应力分析中，我们得到 用矩阵表示为 由图 1-4 可以看到，变形体内任意点的应力状 态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上 的九个应力分量来表示 x yx zx    xy y zy    xz yz  z   根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新 的方法来表示它们，如下表所示。 x y z 图 1-4 应力张量分量      = + + = + + = + + S l m n S l m n S l m n nz xz yz z ny xy y zy nx x yx zx                               =           n m l S S S xz yz z xy y zy x yx zx nz ny nx                    xz yz z xy y zy x yx zx          x 面 y 面 z 面 z方向 y方向 x方向

去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。oTxT, =TxyO,Ty1=i(1-10)TxzTyo.该矩阵的特点：由材料力学剪切应力互等定律，有t=tr、=y=，则以上九个分量中，六个是独立的。这些应力分量排列为一对称矩阵：这个对称矩阵所表示的量称为二阶对称应力张量，矩阵中的元素称为应力张最分量。张量在力学中是一个十分重要的概念。标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。失量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标变换。u=au,u,=aua为正交矩阵，有[a,]’ =[a,} =aj矢量可以称之为一阶张量。而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一失量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。uixU2xU3xT=(u, iz, is)=uly u2y UsyOs2U.O',=aimOmanjC,=amiOmmajin具有如此坐标变换的张量称为二阶张量。直角坐标系下的应力张量：oxyTxT=Txya,Ty=Q(TxT0.柱坐标系下的应力张量：o.TrToOT.=TrO,Tor=i(T0TreCe

去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。 （1-10） 该矩阵的特点： 由材料力学剪切应力互等定律，有 xy yx  =  、 yz zy  =  、 zx xz  =  ，则以上九个分量 中，六个是独立的。这些应力分量排列为一对称矩阵： 这个对称矩阵所表示的量称为二阶 对称应力张量 ，矩阵中的元素称为应力张量分 量 。 张量在力学中是一个十分重要的概念。 标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。 矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。 张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。 标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。 矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标 变换。 为正交矩阵，有 矢量可以称之为一阶张量。 而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的 相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。 具有如此坐标变换的张量称为二阶张量。 直角坐标系下的应力张量： 柱坐标系下的应力张量： ui = aiju j  i ji j u = a u  ij a ji T aij = aij = a − [ ] [ ] 1 { , , } T u1 u2 u3    =           = z z z y y y x x x u u u u u u u u u 1 2 3 1 2 3 1 2 3  ij = aim mnanj   ij ami mnajn =  ij xz yz z xy y zy x yx zx           =           T =  T = =  ij           xz yz z xy y zy x yx zx          T = ij z r zr r r z rz z                =          