定义2.4.2 设X是一个拓扑空 间，AcX.如果A的每一个凝聚点 都属于A,即d(A)CA则称A是一个闭 集 注：离散空间中的任何一个子集都 是闭集； 平庸空间中的闭集只有X
A X d A A ( ) X, 定 义2.4.2 设 X 是一个拓扑空 间， .如果 A 的每一个凝聚点 都属于A,即 则称A是一个闭 集. 注: 离散空间中的任何一个子集都 是闭集; 平庸空间中的闭集只有 . A X d A A ( ) X, 定 义2.4.2 设 X 是一个拓扑空 间， .如果 A 的每一个凝聚点 都属于A,即 则称A是一个闭 集. 注: 离散空间中的任何一个子集都 是闭集; 平庸空间中的闭集只有 . A X d A A ( ) X, 定 义2.4.2 设 X 是一个拓扑空 间， .如果 A 的每一个凝聚点 都属于A,即 则称A是一个闭 集. 注: 离散空间中的任何一个子集都 是闭集; 平庸空间中的闭集只有
定理2.4.2设X是一个拓扑空间， ACX则A是一个闭集，当且仅当A 的补集A'是一个开集. 证明：必要性：设A是一个闭集 对Vx∈A,则x庄A,从而x￠d(A) 这样 x有一个邻域U使得U⌒(A-{x})=p由于 xEA,故U⌒A=中，即UCA,因此 A'是x的一个邻域.所以A是一个开集
定理2.4.2 设 X 是一个拓扑空间， 则 A 是一个闭集，当且仅当 A 的补集 是一个开集. 证明：必要性：设 A 是一个闭集 ， 对 ,则 ，从而 这样 x 有一个邻域 U 使得 由于 ，故 ，即 ,因此 是 x 的一个邻域. 所以 是一个开集. A X A x A x A x d A ( ) U A x − = ( { }) x A U A = U A A A 定理2.4.2 设 X 是一个拓扑空间， 则 A 是一个闭集，当且仅当 A 的补集 是一个开集. 证明：必要性：设 A 是一个闭集 ， 对 ,则 ，从而 这样 x 有一个邻域 U 使得 由于 ，故 ，即 ,因此 是 x 的一个邻域. 所以 是一个开集. A X A x A x A x d A ( ) U A x − = ( { }) x A U A = U A A A