212.3多尺度滤波器与过零点定理大，这说明，入或。，对结果影响很大.一般来说，噪声越大，入（或应取得越大，我们将在下一节更系统地说明这个问题2.3多尺度滤波器与过零点定理虽然我们已经证明，在对有噪声的信号求边缘点时，可以先用平滑滤波器对信号平滑，再对平滑后的信号求一阶或两阶微分，或者等同地，对原信号直接用一阶或两阶微分滤波器进行滤波.但滤波器的方差，在许多文献中称为滤波器的尺度（如高斯滤波器的）究竞与什么有关？对信号用不同尺度的滤波器滤波的结果进行观察，可以看到，需要对边缘的定义作进一步说明。实验表明，用不同。的高斯滤波器检测边缘，越大，检测到的边缘点越少.这一点可用滤波器的频率特性说明.图2.13给出了不同c的高斯平滑滤波器，图2.14给出了它们1e-的傅的频率特性（图中曲线所标数字为α的值），容易证明，高斯函数g（tio）=2元gwo2，可见，高斯平滑滤波器为低通滤波器，但。越大，频带越窄，对较氏变换为F(wa)=e高频率的噪声有很大抑制作用，从而避免了假的边缘点的检出，但同时，信号的边缘处也被平滑，使某些边缘点检测不出来.事实上，从这里可以看到，“边缘”检测的困难还是在于边缘的定义不明确，信号中的一些高频小波动，如果认为是噪声，则许多检测出来的边缘点是假边缘点，如果认为是有意义的信号的细节处，则这些边缘点正是所需要的，为了充分刻划信号在不同分辨率下的边缘点，Witkin[Witkin1983]等首次提出了用多尺度滤波器得到的“过零点指纹图”.我们将某一维信号用不同。的两阶微分滤波器进行滤波，并标出过零点的位置，设不同尺度。的两阶微分滤波器为h（，o），滤波后的信号为g（α，o）=f(r)?h（r，），则以下点的集合称为零交叉图或零交叉指纹图（见图2.15）0.40.350.30.250.20.150.1 0.05o101505-15-10-5图2.13不同。的高斯函数
22第二章边缘检测0.90.80.70.60.50.4 0.30.20.10.523.-图2.14不同。的高斯函数的频率特性f (x)图2.15零交叉指纹图(2.18)z(f(),o)=((α,o):g(x,o)=0,a>0)零交叉图Z(f（r），a)给出了f"(）在不同尺度滤波器平滑后的过零点位置，Yuille与
232.3多尺度滤波器与过零点定理Poggio首先证明了，在一定条件下，给定零交叉图Z(f(α)o),f(r)可在相差一个常数因子的意义下唯一确定［Yuille1986]，吴立德[Wu1990]进一步给出了更简便的条件，而且给出了由Z（f（r），o）构造f"（）的方法.Babaud[Babaud1986]和Yuille[Yuille1986］等还发现用高斯两阶微分滤波器求指纹图时，有很好的单调性质，即当。增大时，成对的零交叉点会如图2.16（a）所示交汇在一起而消失，从而使零交叉点逐渐减少，但零交叉点在指纹图中不会发生如图2.16(b），(c)，(d)的情况，在图2.16(b)与(c)中，虽然在α=时，二个或三个零交叉点减少为一个，但非成对消失，Yuille等证明了，用高斯两阶微分滤波器得到的零交叉图中的曲线的导数是唯一确定的，因此不会发生2.16图中（b），（c）所示的情况.图2.16（d）中在a,处产生新的零交叉点的情况也不会发生.Babaud与Yuille还证明了在一定条件下高斯两阶微分滤波器是唯一具有这种单调零交叉点性质的线性两阶微分滤波器，但证明中必须假设滤波器核函数是光滑的，吴立德等给出了更强的证明，无需核函数光滑的条件.二维情况下的零交叉图具有类似的性质，但二维情况下的零交叉图是三维空间的曲面，不容易直观显示出来a(a)(b)0A(d)(c)图2.16零交叉图的单调性质在用多尺度滤波器方法检测边缘时，存在的另一个问题是检测到的边缘位置会发生偏离，从零交叉图2.16中可以看到，一对边缘点当尺度。增大时分别向左与向右偏离，最后交汇于一点，这种偏离的原因有两个，一是相邻的边缘点会互相影响，容易证明，当信号
第二章边缘检测24为如图2.17(a)所示的理想阶跃边缘时，无论。多大，零交叉点始终在=。处，但如果信号如图2.17（b）所示，相邻的边缘会互相影响，使信号在1。，1，3，工处的边缘点当。增大时发生如图2.17(b）所示的偏离，X(a)X3fexiX2(b)图2.17边缘点偏离零交叉点偏离的另一个原因是噪声，下面我们考虑2.17(a)所示的理想信号在有噪声时的零交叉点偏离.设2.17(a)所示信号为A, α>xo(2.19)f(r) = Aμ(x) :0,r<ro而观察信号为f（z）：(2.20)f(αr) =f(α) +n(αr)其中n()是均值为零、方差为e的白噪声，对f()用两阶微分滤波器h()滤波，得到g(α) =于(r)h(a) = f(x)@h(r) + n(r)@h(r) = fa(α) + n(r)(2. 21)其中f(),n()分别为理想信号f()和白噪声n(）与h（)的卷积.我们只能检测g（α）的过零点，设过零点为，则有(2. 22)g()=()+()=0将f（）在r=。处用泰勒级数展开，并忽略二次以上的项得(2.23)f(r)=fr(co)+f(zo)(a-a)将上式代人式（2.22)，由于f（α）为理想阶跃信号，h（r）为两阶微分滤波器，f（r）=f(α)?h(α)l-z=0，，因此得到零交叉点偏移量为na(to)(2.24)t-afr(ao)上式中分母为常数，分子为随机变量，其均值为E（t一。）=0，由于(2.25)h2(r)dx =eg?E(()) = e?其中。为滤波器h（）的均方差，于是得到零交叉点偏移量的方差为e?g?(2.26)8" = E( - 20)) = (F(c0)
252.4最优边缘检测滤波器可见，过零点偏移量是均值为零、方差为2的随机变量，而且，方差与噪声信号的方差成正比，与滤波器h（z）的均方差也成正比，以上分析表明，用大尺度滤波器求边缘点，可避免出现由高频噪声引起的虚假边缘点，但检测出的边缘点（即零交叉点）的定位精度差，因此，我们可以用多尺度滤波得到零交叉指纹图，在较大的。处（图2.18中的）检测所有过零点，它们不包括噪声引起的过零点，但定位精度差.然后将这些过零点在指纹图上用它们所在的曲线向下追索它们在较小下的位置（见图2.18).丛、马领德[Cong1996］提出的用非线性滤波器求解的零交叉指纹图有一些很好的优点，减少或在一定条件下消除过零点偏移量，o4图2.18在指纹图中找寻边缘准确位置2.4最优边缘检测滤波器综上所述，边缘检测就是用一阶或两阶微分滤波器对信号滤波并检测局部最大值或过零点，那么什么是边缘检测的最优滤波器？2.2节中曾讲到，用正则化方法可以证明，最优平滑滤波器的脉冲响应函数为三次B样条函数或近似为高斯函数，但证明中没有涉及边缘检测问题本身的优化准则，只是证明了，在使平滑后信号保持一定平滑度的约束条件下使观察信号与平滑后信号尽量接近的滤波器为三次B样条函数.近年来，不少研究者([Canny1983,1986],[Shen1985,1992],[Deriche1987],[Sarkar1991],[Ma1995])由一定的边缘模型及噪声模型出发，提出了边缘抽取的最优滤波器，这些研究者都采用最简单的阶跃边缘（见公式（2.19））与可加性的白噪声模型（见公式（2.20）），在这些模型假设下，Canny[Canny1983]在他的硕士论文中首次提出了用于边缘检测的一阶微分滤波器h（α）的三条最优化准则，即最大信号噪声比准则、最优过零点定位准则与多峰值响应（MRC)准则，并用变分原理推出h'（α)的函数形式应近似为高斯函数的一阶微分.Canny在推导中假设了滤波器为有限脉冲响应滤波器，而Deriche[Deriche1987］则用相同的最优化准则推出了无限脉冲响应滤波器的函数形式应为Csinwre-all或近似为Cae-all，沈