16第二章边缘检测20.4N0.30.20.100.10.20.30.4-4-20图2.7高斯滤波器1(2.4)h(a,y)2g2元g2两维信号的一阶微分，应理解为（z，y)的梯度的模，该梯度在工，y方向上的两个分量可分别用以下一阶微分滤波器得到：12dh(x,y)1r(2.5)dxV2元012元0dh(t,y)-14y(2.6)20dyV2元0V2元g高斯-拉普拉斯算子为(+y21+4(2.7)vh(a,y)=2202922元gt式（2.5)或（2.6)为（或)方向上的一阶微分滤波以及y（或α)方向上的平滑滤波，而式（2.7)为具有各向同性的两阶微分滤波2.1.3离信号的差分滤波器实际存储于计算机内的信号为离散信号，一维信号记作f（n），二维图像信号记作f（m，n）（m，n为整数），目前常用的摄像机输出的标准电视信号在M×N个离散点取样，M为总行数，N为总列数，第m行第n列的象素灰度值为f(m，n)，一般M=N=512,对高分辨率的摄像机，M与N更大。离散信号的平滑滤波用离散卷积表示（仍先以一维信号为例）：(2.8)f(n)h(m-n)g(m)=1由于信号的定义域有限（设为0<n<N），运算时可假设当m，n0或m，n>N时，f(n)=0.对应于连续函数的微分运算，离散信号有差分运算.一阶差分运算的定义有三种：.(1）前向差分：h()(n）=h(n+1)一h(n);(2）后向差分：h(1)(n)=h(n）一h(n1)；
172.1边缘检测与微分滤波器A17(3）前后向平均差分：h(1)(n)=h(n+1)-h(n-1)2其中h(1)(n)表示离散函数h(n)的一阶差分.在滤波器设计中，平滑滤波器h(α）一般为对称的偶函数，容易证明，若h（z）为连续的对称偶函数，则它的奇数阶微分为奇函数，偶数阶微分为偶函数，因此，平滑滤波器h（）的一阶微分应为奇函数.但对离散的对称平滑滤波器h(n），它的前向差分与后向差分都不是奇函数，为了保持函数对称性质，可采用前后向平均差分，两阶差分为一阶差分的差分，若都用前后向平均差分的定义，则有：h(n+2)+h(n-2)2h(n))(2)(2. 9)在有些文献中，两阶差分定义为Lh(2)(r) =[h(n + 1) +h(n - 1) - 2h(n)(2.10)A在以后的内容中，如不特殊说明，我们使用前后向平均差分作为差分定义，类似于连续函数微分运算与卷积运算顺序可交换，离散函数的离散卷积与差分运算也可以交换，若g（m）为式（2.8)表示的离散信号经平滑滤波后的信号，我们有g(m+1) -g(m- 1)g(1)(m) =(2(a)h(m +1 m) - ) f(n)h(m - 1 n))= Z(f(n)(h(m + 1 - n) -h(m - 1 - n) f(n)h(1(m - n)我们称h(1)（n）为一阶差分滤波器，它是平滑滤波器h（n）的一阶差分我们仍以高斯滤波器为例，平滑滤波器h(n)可以直接通过对连续高斯函数离散抽样取得，即n(2.11)h(n)=ce~2这里的常数与式（2.1)的连续高斯函数不一样，这是因为与连续平滑滤波器一样，1h(n）=1以使滤波后不改变原信号的均值，因此为归一化常数，使我们希望ce-%=1(2.12)ce2在实际使用上，我们知道，高斯函数h（）当|>3g时，h（）～0，故我们只需在一3g≤n≤3α内取样，若在此范围内整数n的范围为一Nn<N，则h(n）可用一个长度为2N十1的窗口内的值表示，如图2.8所示，离散卷积运算可看作算子运算，即将上述窗口算子沿信号移动，在每一点滤波后的值等于窗口内信号的加权平均，而权值即为图2.8表示的算子的值，对于一阶与两阶高斯差分滤波器，我们可以对式（2.11）表示的离散高斯平滑滤波器求差分得到.除了高斯差分滤波器，早期的图像处理研究中也提出了一些简单的，以有限
18第二章边缘检测2窗口算子表达的差分滤波器，常见的如图2.9~图2.12所示，N0.20.20.4图2.8离散化后的有限窗口函数h（n）图2.9Robert算子Q10图2.10Prewitt算子21-00-2-020-11图2.11Sobel算子-.4甲艺日机现究图2.12拉普拉斯算子北图2.9分别为两个45方向的一阶差分滤波器，称为Robert算子，可以看到，用它们对图像滤波，可计算沿两个45方向的一阶差分，图像的梯度为两个45°方向的梯度的向量和（见图2.9右）该差分滤波器直接计算原图像差分，不包含平滑，故不能抑制噪声，图2.10左为方向一阶差分滤波与方向的平滑滤波，图2.10右为α方向的一阶差分与y2方向的平滑滤波.图2.11表示的Sobel算子与图2.10的Prewitt算子类似，但平滑部分
2.2边缘检测与正则化方法19I的权值有些差异.图2.12表示的是两阶差分滤波器，也称为拉普拉斯算子，该算子是式（2.10）定义的两阶差分的两维形式可见，该算子不包含平滑滤波器，以上滤波器窗口一般都是3X3窗口，也可用。较大的高斯函数的差分或其他平滑函数的差分设计较大窗口的差分算子，以有效抑制噪声，但窗口越大，计算复杂性也越大，关于这个问题，本章以下-的内容中还会讲到2.2边缘检测与正则化方法本节我们将介绍在计算机视觉中经常用到的正则化方法（regularizationmethod），我们还将说明，边缘检测是一个病态问题，必须增加一些条件，从而使它可用正则化方法求解，2.2.1病态问题我们曾讲到，实际信号都是有噪声的，测量到的信号可用f（z）=f（x）十n（r）表示，其中（）为理想的无噪声的信号，n（）为噪声，一般可假定为白噪声，在前面我们曾讲到，边缘检测就是求f（）的最大值或f"（r）的过零点，由于我们不知道f（α），我们只能求f.（α）或f（x）.假如我们可以假设噪声的幅度很小，我们是否也可以假设n（）或n"）也很小，从而f（α）～f（α）及f（）～f"（r）呢?答案是否定的.为了说明问题，我们假定噪声为高频的正弦波n（α）=Asinwz，即使可假定A很小，但由于n（）=Awcoswr，n"（a）=一Asinwz，噪声频率越高，f.（a）或f"（）中噪声的成分就会很高.因此，信号的微分不能由带有噪声的观察信号的微分得到一般来讲，我们定义具备如下条件的问题为“完善定义的问题”（well-posedproblem）FTikhonev1977]（1）问题的解具有存在性与唯一性；（2）数据连续变化时，问题的解也连续变化.这一点保证了问题的解对噪声具有鲁棒性.不符合上述条件的问题称为病态问题，在计算机视觉中，绝大多数问题都是病态问题，例如上述求信号一阶或高阶微分的问题就是病态问题，因为，当信号中加上即使幅度很小但频率很高的噪声时，解都会发生很大的变化.下面我们介绍在计算机视觉中应用很广的一种解病态问题的正则化方法[Tikhonov1977].以下我们将观察信号记作Y，理想信号记作Z，理想信号与观察信号的关系写成一般形式：AZ-Y(2.13)其中，A为某一变换算子，理想信号Z为无噪声时的某物理信号，例如空间某点的运动状态参数，或其三维几何形状参数，而Y是指通过某观察设备观察到的与Z有关的量，Z与Y的关系由式（2.13）描述.由于观察器不理想，Y中也可能包含了噪声，也可能包含了系统误差.在边缘检测问题中，Z可以理解为无噪声下的图像各点的理想灰度值f（m，n），Y为实际灰度值在只有式（2.13）的条件下，由Y求Z就是病态问题（一般来讲算子A不可逆），正则
20第二章边缘检测化求解方法定义稳定算子P及PZ的模：2LIPZZ)da(2.14)一般来讲，PZ描述了Z的平滑程度，式（2.14)描述了Z在全部定义域范围内的总平滑程度，其值越小，Z越平滑，用正则化方法求解Z一般有以下三种方法：（1）在约束PZ<C的条件（C为某一指定常数）下求解Z，使AZ一YJ最小，1AZ-Y表示函数AZ-Y的模，（2）在约束AZ一Y<C的条件下，求Z使PZ最小（3）求解Z使下式表示的E最小E=AZ-Y+PZ(2.15)以上三种方法思想是一致的，只是涉及的算法不同，正则化方法求解的思想是，Y为观察信号，由于观察误差，它与AZ不可能处处相等，但它毕竞是确定Z的唯一依据，因此我们希望所求的Z使AZ一Y尽可能小，同时，由于2为理想物理信号，与噪声比较，它应是一个变化相对缓慢的连续函数，因此，我们定义的稳定泛函PZ也应较小，我们以边缘检测为例来说明以上方法.为书写方便，以一维离散信号为例，设s（）为理想信号，f(n）为观察到的离散信号（n=1～N)，由于在边缘检测中我们要求s(r）的导数，但我们只知带噪声的f(n），因此需先从f(n）中求出s(n），定义如下泛函：NZ(f(n) - s(n)2 +^(s(2)(n))2E=(2.16)式（2.16)中的第一项为式（2.15)中的AZY，第二项中的稳定算子为两阶差分算子，我们用函数s（n）的两阶差分在全定义域中的和表示s(n）的平滑程度.入为常数因子，入的作用以后会提到因此，问题变为：求s(n)使式(2.16)最小.这是一个典型的变分问题，可以证明[Pog-gio1985]，以上变分问题的解为以下卷积：f(n)h(m -n)(2. 17)s(m)=其中h(a）为三次B样条函数，上式表明，s(n）的最优解为对观察信号用三次B样条函数滤波所得的结果，也就是说，消除噪声的最优的平滑滤波器为三次B样条函数.由于三次B样条函数非常接近于高斯函数，故高斯函数是最常用的平滑滤波器.由于s（n）可以理解为去除噪声后的理想信号，故边缘点可以从s(n）的一阶差分局部最大值或二阶差分过零点处得到，并且如上一节指出的，可由f(n）与高斯函数的一阶与二阶差分的卷积直接得到s(n）的一阶与两阶差分事实上，以上推导只是从理论上用正则化方法进一步证实了在边缘抽取中，首先应对观察信号进行滤波，而且滤波器在正则化方法的最优意义上应为三次B样条函数或近似为高斯函数，但一个根本性的问题仍然没有解决，即如何确定式（2.16)中的入.实际上，入的大小决定了式（2.16）中前后两项的权重，分析表明，入越大，则滤波器的的方差。也越