教学建议学习目标第四章积分及其应用84.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质S4.3积分的基本公式84.4换元积分法84.5分部积分法84.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
$4.5分部积分法不定积分的分部积分法是两个函数乘积导数公式案例由乘积的的逆用.被积函数可视为导数公式x cos xdxx和cosx的乘积求入手由于(x·sin x)= sin x+x·cosx两端同时求积分，得用基本积分X·sin x =sin xdx +x·cos xdx.公式可求得移项,有x·cosxdx = x·sin x-sin xdx,转化为x·cosxdx = x ·sin x +cos x +C将案例推广为一般情况
§4.5 分部积分法 不定积分的分部积分法是两个函数乘积导数公式 的逆用. 案 例 求 cos d . x x x 由乘积的 导数公式 入手 被积函数可视为 x 和 cos x 的乘积 由于 (x sin x) = sin x + x cos x, 两端同时求积分,得 sin sin d cos d . x x = x x + x x x 移项,有 cos d sin sin d , x x x = x x − x x 用基本积分 公式可求得 转化为 x cos xdx = x sin x + cos x +C. 将案例推广为一般情况
设函数u = u(x),V = v(x)都有连续的导数,由乘积的导数法则[u(x) · v(x)} = u'(x) · v(x) +u(x) · v(x)两端同时求积分，有易于求得u(x) v(x) = ( u(x) · v(x)dx + [ u(x) V(x)dx,移项,有( u(x) V(x)dx = u(x) : v(x) - ( v(x) ·u'(x)dx.转化为简写作V.u'dx.u·vdx=u·v-分部Iu·dv=u.v-积分或vdu法公式
两端同时求积分,有 移项,有 易于求得 转化为 设函数 都有连续的导数,由乘积的导 数法则 u = u(x), v = v(x) [u(x)v(x)] = u(x)v(x) + u(x)v(x), u(x) v(x) u (x) v(x)dx u(x) v (x)dx, = + u(x)v(x)dx = u(x)v(x) − v(x)u(x)dx. u v dx u v v udx. = − u dv u v v du. = − 分部 积分 法公式 简写作 或
因(x)=1例案 照对案例的计算过程因(sin x) = cos x1Ssin x: 1dxx : cosx dx =x:sin x--/ v(x) · u'(x)dxu(x)·V(x)dx = u(x) ·v(x) -由v(x)求出V(x)由 u(x)求出 u'(x)分部积分法公式
例 案 照 对 分部积分法公式 案例的计算过程 = x cos x dx x sin x − = u(x) v (x)dx u(x)v(x) − sin x 1dx v(x) u (x)dx 因 (sin x) = cos x 由 v(x) 求出 v(x) u(x) 由 求出 u(x) 因 (x) =1
案例的计算过程例案照对这两个因子的乘被积函数是两积易于求出积分个因子的乘积sin x: 1dxx· cosx dx= x · sin x-转化为另外两个因子的乘积u(x)·V(x)dx = u(x) ·v(x) -/ v(x) ·u'(x)dx转化为另外两个因子的乘积分部积分法公式
例 案 照 对 分部积分法公式 案例的计算过程 = x cos x dx x sin x − = u(x) v (x)dx u(x)v(x) − sin x 1dx v(x) u (x)dx 被积函数是两 个因子的乘积 转化为另外两个因子的乘积 这两个因子的乘 积易于求出积分 转化为另外两个因子的乘积