小学数学总复习专题讲解及训练(六) 主要内容 比例的意义和基本性质 学习目标 1、使学生初步理解图形的放大和缩小,能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小,初步 体会图形的相似,进一步发展空间观念。 2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用,认识比例的“项”、“内项”和“外项”; 理解并掌握比例的基本性质,会应用比例的基本性质解比例。 3、使学生在认识比例、应用比例的过程中,进一步体会不同领域数学内容的内在联系,增强用 数和图形描述现实问题的意义和能力,丰富解决问题的策略,发展对数学的积极情感。 考点分析 1、把一个图形按一定比放大或缩小,就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例 3、组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内 项 4、在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质 5、根据比例的基本性质,如果已知比例中的任意三项,就可以求出这个比例中的另一个未知项 求比例的未知项,叫做解比例。 典型例题 例1、(把图形按某个比相应放大或缩小,形状没有改变,只是大小变了) (1)长方形A的长是1.5厘米,宽是1厘米:长方形B的长是3厘米,宽是2厘米。这两个长 方形的长有什么关系?宽呢? (2)如果要把长方形A按1:2的比缩小,长和宽应是原来的几分之几?各是多少? 分析与解:(1)长方形B的长是长方形A的2倍,宽也是长方形A的2倍。或者说长方形B和 长方形A长的比是2:1,宽的比也是2:1 把长方形的每条边放大到原来的2倍,放大后的长方形的长和宽与原来长方形 的比是2:1,就是把长方形A的长和宽按2:1的比进行放大。 (2)把长方形A按1:2的比缩小后为长方形C,长、宽缩小为原来的一,图C的长 是0.75厘米,图C的宽是0.5厘米。 由此可见,放大或缩小前后图形形状没有改变,还是长方形,只是大小变了
小学数学总复习专题讲解及训练（六） 主要内容 比例的意义和基本性质 学习目标 1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步 体会图形的相似，进一步发展空间观念。 2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”和“外项”； 理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。 3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用 数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。 考点分析 1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内 项。 4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。 求比例的未知项，叫做解比例。 典型例题 例 1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了） A B C （1）长方形 A 的长是 1.5 厘米，宽是 1 厘米；长方形 B 的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。这两个长 方形的长有什么关系？宽呢？ （2）如果要把长方形 A 按 1:2 的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？ 分析与解：（1）长方形 B 的长是长方形 A 的 2 倍，宽也是长方形 A 的 2 倍。或者说长方形 B 和 长方形 A 长的比是 2:1，宽的比也是 2:1。 把长方形的每条边放大到原来的 2 倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形 的比是 2:1，就是把长方形 A 的长和宽按 2:1 的比进行放大。 （2）把长方形 A 按 1:2 的比缩小后为长方形 C，长、宽缩小为原来的 2 1 ，图 C 的长 是 0.75 厘米，图 C 的宽是 0.5 厘米。 由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了
例2、(根据指定的比,将图形按要求放大或缩小) 先按3:2的比画出长方形A放大后的图形B,再按1:2的比画出长方形A缩小后的图形C。(1) 图B的长、宽各是几格?(2)图C呢?(3)观察这 你有什么发现? 分析与解:(1)按3:2的比将长方形A放大,即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍,那么图 B的长为6×1.5=9格,宽为4×1.5=6格。(2)按1:2的比将长方形A缩小,即 将长方形A的长与宽分别缩小到原来的,那么图C的长为6÷2=3格,宽为4÷ 2=2格。(3)从这三幅大小不同的图形上可以看出,放大或缩小后的图形与原来的 图形比较,大小虽变了,但形状不变,而且各条边长度的变化都符合指定的比。 点评:按比例放大图形或缩小图形,关键是要先根据比确定是放大还是缩小,然后确定好每条 边的长度,画出图形就行了。 例3、(将两个相等比写成一个等式) 图B是由图A放大后得到的,你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗?比较写出的两个 比,你有什么发现? 3厘米 6厘米 4厘米 8厘米 分析与解:(1)图A中长与宽的比是4:3:图B中长与宽的原始比是8:6,而8:6化简后就是 (2)这两个比化简后都是4:3,比值相等,说明这两个比可以写成一个等式。即 4:3=8:6或=-,都读作:4比3等于8比6。 例4、(认识比例)下面哪几组中的两个比能组成比例,把组成的比例写下来 (1)5:6和15:18 (2)0.2:0.1和
例 2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小） 先按 3:2 的比画出长方形 A 放大后的图形 B，再按 1:2 的比画出长方形 A 缩小后的图形 C。（1） 图 B 的长、宽各是几格？（2）图 C 呢？（3）观察这三幅图形，你有什么发现？ A B C 分析与解：（1）按 3:2 的比将长方形 A 放大，即将长方形 A 的长与宽分别扩大 1.5 倍，那么图 B 的长为 6×1.5 = 9 格，宽为 4×1.5 = 6 格。（2）按 1:2 的比将长方形 A 缩小，即 将长方形 A 的长与宽分别缩小到原来的 2 1 ，那么图 C 的长为 6÷2 = 3 格，宽为 4÷ 2 = 2 格。（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的 图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。 点评：按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条 边的长度，画出图形就行了。 例 3、（将两个相等比写成一个等式） 图 B 是由图 A 放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个 比，你有什么发现？ B A 3 厘米 6 厘米 4 厘米 8 厘米 分析与解：（1）图 A 中长与宽的比是 4:3；图 B 中长与宽的原始比是 8:6，而 8:6 化简后就是 4:3。 （2）这两个比化简后都是 4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即 4:3 = 8:6 或 3 4 = 6 8 ，都读作：4 比 3 等于 8 比 6。 例 4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。 （1） 5 ：6 和 15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1
31 (3) 和1.2:0.8(4)6 2 分析与解:分别求出每组中两个比的比值,如果相等就能组成比例,不相等就不能组成比例 (1)因为5:6= 18=-,所以5:6=15:18 6 (2)因为0.2:0.1=2,3:1=3,所以0.2:0.1和3:1不能组成比例。 (3)因为: 1.2:0.8 1-21-8 1.2:0.8。 2 (4)6:2=3 3,所以 88 点评:判断两个比能不能组成比例,可以像题目中的方法一样,求出两个比的比值,比值相等 就能组成比例,否则就不行。这样解题的依据是比例的意义 例5、(比例的各部分名称和比例的基本性质 台织布机3小时织布3.6米,4小时织布4.8米。你能根据数量间的关系写出比例吗? 分析与解:(1)这台织布机织布米数和织布时间的比相等 3.6:3=4.8:4 (2)这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。3.6:4.8=3:4 (3)这台织布机织布时间和织布米数的比相等 介绍“项”组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做 比例的内项。例如: 3.6:3 外项 观察题中的三个比例,你有什么发现? 3.6:3=4.8:43.6:4.8=3:4 :3.6=4:4.8 (1)3.6和4可以同时做比例的外项,也可以同时做比例的内项 (2)3.6×4=3×4.8,可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。 (3)如果把3.6:3=4.8:4改写成分数形式=,等号两边的分子、分母分别 交叉相乘,结果也相等。 (4)如果用字母表示比例的四个项,即a:b=c:d 那么这个规律可表示成ad=bc或bc=ada (5)在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。 例6、(比例基本性质的应用)根据2×7=1.4×10这个等式写出几个比例 分析与解:根据比例的基本性质,可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项 要么同时是比例的内项 1.4:2 1.4:7=2:10
（3） 2 1 ： 3 1 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和 8 3 ： 8 1 分析与解：分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。 （1） 因为 5 ：6 = 6 5 ，15 ：18 = 6 5 ，所以 5 ：6 = 15 ：18。 （2） 因为 0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1 不能组成比例。 （3） 因为 2 1 ： 3 1 = 2 3 ， 1.2 ：0.8 = 2 3 ，所以 2 1 ： 3 1 = 1.2 ：0.8。 （4） 6 ：2 = 3， 8 3 ： 8 1 = 3，所以 6 ：2 = 8 3 ： 8 1 。 点评：判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等 就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。 例 5、（比例的各部分名称和比例的基本性质） 一台织布机 3 小时织布 3.6 米，4 小时织布 4.8 米。你能根据数量间的关系写出比例吗？ 分析与解：（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。 3.6 ：3 = 4.8 ：4 （2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。 3.6 ：4.8 = 3 ：4 （3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。 3 ：3.6 = 4 ：4.8 介绍“项”：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做 比例的内项。例如： 3.6 ：3 = 4.8 ：4 内项 外项 观察题中的三个比例，你有什么发现？ 3.6 ：3 = 4.8 ：4 3.6 ：4.8 = 3 ：4 3 ：3.6 = 4 ：4.8 （1）3.6 和 4 可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。 （2）3.6 × 4 = 3 × 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。 （3）如果把 3.6 ：3 = 4.8 ：4 改写成分数形式 3 3.6 = 4 4.8 ，等号两边的分子、分母分别 交叉相乘，结果也相等。 （4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d， 那么这个规律可表示成 ad = bc 或 bc = ad。 （5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 例 6、（比例基本性质的应用）根据 2 × 7 = 1.4 × 10 这个等式写出几个比例。 分析与解：根据比例的基本性质，可以得出 2 和 7、1.4 和 10 这两组数要么同时是比例的外项， 要么同时是比例的内项。 1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10
10:2=7:1.4 10:7=2:1.4 2:1.4=10:7 2:10=1.4:7 7:1.4=10:2 7:10=1.4:2 点评:像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项,要么同时为外 项,而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。 例7、(按比例放大的含义) 王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大,放大后的图片的长是12.5厘米,你有什么发现? 4厘米 5厘米 分析与解:按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大,放大前后的相关线段 的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例,两张图片中 各自长、宽的比也可以组成比例 12.5:5=宽:4或12.5:宽=5:4 例8、(解比例)上图中宽是多少厘米? 分析与解:在解比例时,根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子,然后再根据等式的 性质来解答 解:设宽是x厘米 12.5:5=x:4 5x=12.5×4 一根据比例的基本性质 5x 答:放大后图片的宽是10厘米 点评:像上面这样求比例中的未知项,叫做解比例 同学们,你会解答125=5这个比例吗?试试看吧! 小学数学总复习专题讲解及训练(六) 模拟试题 1、一张长方形图片,长12厘米,宽9厘米。按1:3的比缩小后,新图片的长是()厘 米,宽是( 厘米,这张图片()不变,大小 2、一块正方形的花手帕,边长10厘米,将其按()的比放大后,边长变为30厘米
10 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.4 2 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7 7 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2 点评：像这样的比例一共可以写 8 个。但它们不变的是 2 和 7 要么同时为内项，要么同时为外 项，而 1.4 和 10 这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。 例 7、（按比例放大的含义） 王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是 12.5 厘米，你有什么发现？ 4 厘米 5 厘米 分析与解：按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段 的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中 各自长、宽的比也可以组成比例。 12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4 例 8、（解比例）上图中宽是多少厘米？ 分析与解：在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式的 性质来解答。 解：设宽是ⅹ厘米。 12.5 : 5 = ⅹ : 4 5ⅹ = 12.5 × 4 ┈┈ 根据比例的基本性质 5ⅹ = 50 ⅹ = 10 答：放大后图片的宽是 10 厘米。 点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。 同学们，你会解答 12.5 = 4 5 这个比例吗？试试看吧！ 小学数学总复习专题讲解及训练（六） 模拟试题 1、一张长方形图片，长 12 厘米，宽 9 厘米。按 1 : 3 的比缩小后，新图片的长是（ ）厘 米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。 2、一块正方形的花手帕，边长 10 厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为 30 厘米
3、按2:1的比画出平行四边形放大后的图形,按1:3的比画出长方形缩小后的图形。 4、应用比例的意义,判断下面哪一组中的两个比可以组成比例? 6:10和9:15 20:5和4:1 5:1和6:2 5、在2:5、12:0.2、310:15三个比中,与56:14能组成比例的一个比是()。 6、在比例里,两个()的积和两个()积相等。 7、如果A×3=B×5,那么A:B=():( 8、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是: ():() 9、根据3×8=4×6写成的比例是( )或( 10、甲数的25%等于乙数的75%,那么甲数与乙数的比是():() 11.把左边的平行四边形技比例缩小后得到右边的平行四边形,求未知数X。 单位:厘米 36厘米 24厘米 12.把左边的梯形技比例扩大后得到右边的平行梯形,求未知数X和Y。 (单位:厘米 X厘米 1厘米 18厘米 27厘米 13、解比例
3、按 2 : 1 的比画出平行四边形放大后的图形，按 1 : 3 的比画出长方形缩小后的图形。 4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？ 6∶10 和 9∶15 20∶5 和 4∶1 5∶1 和 6∶2 5、在 2∶5、12∶0.2、310∶15 三个比中，与 5.6∶14 能组成比例的一个比是( )。 6、在比例里，两个（ ）的积和两个（ ）积相等。 7、如果 A×3=B×5，那么 A∶B= ( ) ∶ ( )。 8、从 6、24、20、18 与 5 这五个数中选出四个数组成一个比例是： ( ) ∶ ( ) = ( ) ∶ ( )。 9、根据 3×8 = 4×6 写成的比例是（ ）、（ ）或（ ）。 10、甲数的 25% 等于乙数的 75%，那么甲数与乙数的比是（ ）∶（ ）。 13、解比例