_第一节精性流体的运动微分方程 推导粘性流体的运动微分方程的方法和过程与推导理想流 体的欧拉运动微分方程相同,都是牛顿第二定律在流体力学中 的应用,只是除了质量力和法向应力(即压力)外,还需要考虑 粘性切应力的影响 在运动着的粘性流体中取出一边长分别为dx、dy和dz的微 元平行六面体的流体微团作为分析对象,如图6-1所示。作用 在平行六面体上的力,不仅有质量力和法向应力,还有切向应 力。因此,作用在流体微团六个表面上的表面力的合力不再垂 直于所作用的表面,而是与作用面成某一倾角。图中σ代表法 向应力,τ代表切向应力。它们都有两个脚标,第一个表示应 力所在平面的法线方向,第二个表示应力本身的方向
第一节 粘性流体的运动微分方程 推导粘性流体的运动微分方程的方法和过程与推导理想流 体的欧拉运动微分方程相同，都是牛顿第二定律在流体力学中 的应用，只是除了质量力和法向应力(即压力)外，还需要考虑 粘性切应力的影响。 在运动着的粘性流体中取出一边长分别为dx、dy和dz的微 元平行六面体的流体微团作为分析对象，如图6-1所示。作用 在平行六面体上的力，不仅有质量力和法向应力，还有切向应 力。因此，作用在流体微团六个表面上的表面力的合力不再垂 直于所作用的表面，而是与作用面成某一倾角。图中σ代表法 向应力，τ代表切向应力。它们都有两个脚标，第一个表示应 力所在平面的法线方向，第二个表示应力本身的方向
第一节粘性流体的运动微分方程 为方便起见,假定所有法向应力都沿着所在平面的外法线方向, 切向应力在经过A(x、y、z)点的三个平面上的方向与坐标轴的 方向相反,其他三个平面上的相同。f代表单位质量力 根据牛顿第二定律,可以写出沿x轴的运动微分方程 O pfdxdydz-Ordydz+orx+xx) d yd z-Tdzdx +(t+- - dxdy+(T2x+ Exdzdxd az pdxdydz du dτ
第一节 粘性流体的运动微分方程 为方便起见，假定所有法向应力都沿着所在平面的外法线方向， 切向应力在经过A(x、y、z)点的三个平面上的方向与坐标轴的 方向相反，其他三个平面上的相同。f代表单位质量力。 根据牛顿第二定律，可以写出沿x轴的运动微分方程 d d d d dz ( d d d d ( d )d d d d d d d ( d )d d d d x z x z x z x yx yx yx xx x xx xx u x y z x y z z x x y y x y z z x x f x y z y z = − + + + + − − + +
_第一节精性流体的运动微分方程 dy x+等y x+跃 dx y dx +"dz /tyz dz y x+2 图6-1粘性流体微元的受力情况
第一节 粘性流体的运动微分方程 图6-1 粘性流体微元的受力情况
_第一节精性流体的运动微分方程 化简后得dl2 1 a 1 ot at zX dτ ax az 同理可得dL 1 a yeJy p dy 01 at. aT (6-1) dτ az ax du 10σ +—( dt p az p ax ay 式(6-1)是以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程。现在的 问题是要寻找粘性流体中关于σ和τ的计算式。我们可以从流体 微团在运动中的变形来获得这些应力和变形速度之间的关系式
第一节 粘性流体的运动微分方程 化简后得 同理可得 (6-1) 式(6-1)是以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程。现在的 问题是要寻找粘性流体中关于σ和τ的计算式。我们可以从流体 微团在运动中的变形来获得这些应力和变形速度之间的关系式。 + + = + + + = + + + = + ( ) 1 1 d d ( ) 1 1 d d ( ) 1 1 d d z x y f u y z x f u x y z f u xz yz z z z z yy z y xy y y xx yx z x x x
_第一节精性流体的运动微分方程 1.关于T的计算: 首先研究切向应力之间的关系。根据达朗伯原理,作用于 微元平行六面体上的各力对于通过中心点M和z轴相平行的轴的 a 十 dy kady °M atty d 不yT孑x x 图6-2切向应力间的关系
第一节 粘性流体的运动微分方程 1.关于τ的计算： 首先研究切向应力之间的关系。根据达朗伯原理，作用于 微元平行六面体上的各力对于通过中心点M和z轴相平行的轴的 图6-2 切向应力间的关系