§2多元连续函数 多元函数 定义11.2.1设D是R”上的点集,D到R的映射 D→R, XhZ 称为n元函数,记为z=f(x)。这时,D称为∫的定义域,f(D)= {z∈R|z=f(x),x∈D}称为∫的值域,I={(x,2)∈R|z=f(x),x∈D}称 为f的图象
多元函数 定义 11.2.1 设 D 是 n R 上的点集，D 到 R 的映射 f : D →R， x 6 z 称为 n 元函数，记为 = fz x)( 。这时，D 称为 f 的定义域， f D)( = ∈ R = fzz xx ∈ D}),(|{ 称为 f 的值域，Γ= }),(|),{( 1 R ∈=∈ D + x fzz xx n 称 为 f 的图象。 §2 多元连续函数
例112.1=1 是二元函数,其定义域为 D={(x,y)∈R2|-2+2≤1 函数的图象是一个上半椭球面(见图112.1)。 x y b 图1121
例 11.2.1 2 2 2 2 1 b y a x z −−= 是二元函数，其定义域为 D= ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ),( ≤+∈ 1 22 22 2 by ax yx R ， 函数的图象是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。 z 2 2 2 2 1 b y a x z −−= O y x 图 11.2.1
多元函数的极限 定义112.2设D是R"上的开集,x0=(x,x2…x)∈D为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当x∈O(xn,δ)\{x}时,成 f(x)-A<8, 则称κ趋于x时∫收敛,并称A为∫当κ趋于x时的(n重)极限, 记为 inf(x)=A,或f(x)→A(x→x),或 x→>x0 imf(x1,x2,…,xn)=A x→ xn→x
多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( )∈ 0 0 2 010 ,,, n x " xxx D 为一定 点， = fz x)( 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),,,(lim 0 0 22 0 11 " "
多元函数的极限 定义112.2设D是R"上的开集,x0=(,x2,…x)∈D为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当x∈O(xn,δ)\{x}时,成 f(x)-A<8, 则称κ趋于x时∫收敛,并称A为∫当κ趋于x时的(n重)极限, 记为 imnf(x)=A,或∫(x)→A(x→x),或 x→>x0 imf(x1,x2,…,xn)=A x→ xn→x 注在上面的定义中,“x∈O(x,δ)\{x}”也可以用下面的条件 kδ,|x2-x2k8 k<δ,x≠ 替代
注 在上面的定义中，“ ),( 0 ∈O xx δ \ { 0 x }”也可以用下面的条件 ,||,|| 022 011 δ xxxx <−<− δ ,||, 0 " xx nn <− δ x ≠ 0 x 替代。 多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( )∈ 0 0 2 010 ,,, n x " xxx D 为一定 点， = fz x)( 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),,,(lim 0 0 22 0 11 " "
例112.2设f(xy)2=(x+y)sm2),证明 x +y limf(x,y)=0。 (x,y)→+(0,0) 证由于 f(x,y)-0F(x+y)sin x+y|≤|x|+|y|, x 所以,对于任意给定的>0,只要取δ=6,那么当|x-0k6y-=0k8 且(x,y)≠(0)时, f(x,y)-0≤|x|+|y|<δ+8 这说明了limf(x,y)=0。 (x,y)-(0,0)
例 11.2.2 设 22 sin)(),( yx y yxyxf + += ，证明 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。 证 由于 22 sin)(|0),(| yx y yxyxf + +=− ≤ + yx || ≤ + yx |||| ， 所以，对于任意给定的ε > 0，只要取 2ε δ = ，那么当 − < δ yx − |0|,|0| < δ ， 且 yx ≠ )0,0(),( 时， yxf − |0),(| ≤ ε ε ε δδ =+=+<+ 22 yx |||| 。 这说明了 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx