2.3.4圆与圆的位置关系 1.己知0<r<Z+1,则两圆x2+y2=2与(x-1)2+0y+1)2=2的位置关系是( A.外切 B.相交 C.外离 D.内含 解析：由题意可知，两圆的圆心距为 12+(-1)2=√2，rV2<2<r+V2,故两圆相交 答案B 2.若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线1对称，则1的方程为) A.x+y=0 B.x+y2=-0 C.x-2=0 D.xy+2=0 解析：两圆的圆心分别为(0,0)和(-2,2)，它们的中点为(-1,1)月 则直线1的斜率k=-2- 0-2 故直线1的方程为x-y+2=0 答案D 3.设两圆C,C2都与两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离1CC2=() A.4 B.4v2 C.8 D.8v2 解析：，两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限，且横坐标与纵坐标相等 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2-=2,(4-b2+(1-b)2=b2 即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根，整理得x2-10x+17=0.∴a+b=10,ab=17, ∴.(a-b)2=-(a+b)2-4ab=100-4×17=32 1C1C2l=2(a-b)2=V2×32-8. 答案：C 4.(多选题)已知点P在圆C1x2+y2.8x-4y+11=0上，点Q在圆C2x2+y2+4x+2y+1=0上，则PQ1 的值可以是( A.5 B.1 C.3V5-5 D.3v5+5V3 解析：圆C1的圆心C为(4,2)，半径n=3 圆C2的圆心C2为(-2，-1)，半径n=2, 则1CC2=3V5,n+n=5,n-n=1. 因为1CC2>n+n,所以两圆相离 所以PQ1的最小值为1CC2-(n+n)=3V5-5, IPQ1的最大值为1CC2+(n+2)=3√5+5. 故选AC 答案：AC 5.两圆C1:x2+y2+4x-4y-1=0,C2x2+y2.4x-10y+13=0的公切线有 条 解析：由已知，得圆C1:(x+2)2+0y2)2=9, 圆C2:(x-2)2+05)2=16, 圆心C1(-2,2),圆心C2(2,5),h=3,n=4 则1CC2=(-2-2)2+(2-5)2=5, 故n-n<|CC2<ntn. 故两圆相交，则它们有2条公切线 答案：2 6.过两圆x2+2-x-2=0与x2+y2+4x-4y-8=-0的交点和点(3,1)的圆的方程 是
2.3.4 圆与圆的位置关系 1.已知 0<r<√2+1,则两圆 x 2+y2=r2 与(x-1)2+(y+1)2=2 的位置关系是( ) A.外切 B.相交 C.外离 D.内含 解析:由题意可知,两圆的圆心距为√1 2 + (-1) 2 = √2,|r-√2|<√2<r+√2,故两圆相交. 答案:B 2.若圆 x 2+y2=4 和圆 x 2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称,则 l 的方程为( ) A.x+y=0 B.x+y-2=0 C.x-y-2=0 D.x-y+2=0 解析:两圆的圆心分别为(0,0)和(-2,2),它们的中点为(-1,1), 则直线 l 的斜率 k=- 0-(-2) 0-2 =1, 故直线 l 的方程为 x-y+2=0. 答案:D 3.设两圆 C1,C2 都与两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( ) A.4 B.4√2 C.8 D.8√2 解析:∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限,且横坐标与纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a) 2+(1-a) 2=a2 ,(4-b) 2+(1-b) 2=b2 , 即 a,b 为方程(4-x) 2+(1-x) 2=x2 的两个根,整理得 x 2 -10x+17=0.∴a+b=10,ab=17, ∴(a-b) 2=(a+b) 2 -4ab=100-4×17=32. ∴|C1C2|=√2(𝑎-𝑏) 2 = √2 × 32=8. 答案:C 4.(多选题)已知点 P 在圆 C1:x 2+y2 -8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x 2+y2+4x+2y+1=0 上,则|PQ| 的值可以是( ) A.5 B.1 C.3√5-5 D.3√5+5√3 解析:圆 C1 的圆心 C1 为(4,2),半径 r1=3, 圆 C2 的圆心 C2 为(-2,-1),半径 r2=2, 则|C1C2|=3√5,r1+r2=5,r1-r2=1. 因为|C1C2|>r1+r2,所以两圆相离. 所以|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3√5-5, |PQ|的最大值为|C1C2|+(r1+r2)=3√5+5. 故选 AC. 答案:AC 5.两圆 C1:x 2+y2+4x-4y-1=0,C2:x 2+y2 -4x-10y+13=0 的公切线有 条. 解析:由已知,得圆 C1:(x+2)2+(y-2)2=9, 圆 C2:(x-2)2+(y-5)2=16, 圆心 C1(-2,2),圆心 C2(2,5),r1=3,r2=4. 则|C1C2|=√(-2-2) 2 + (2-5) 2=5, 故 r2-r1<|C1C2|<r2+r1. 故两圆相交,则它们有 2 条公切线. 答案:2 6.过两圆 x 2+y2 -x-y-2=0 与 x 2+y2+4x-4y-8=0 的交点和点(3,1)的圆的方程 是
解析：设所求圆的方程为(x2+y2-x-2)+1(x2+y2+4x48)=0(≠-1).将，点(3,1)的坐标代入解得 =号故所求圆的方程为2+y2号x++2=0, 答案2+2.号y+2-0 7.已知两圆相交于点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线xy+c=0上，则m+c的值 解析由题意知，线段AB的中点在直线xy+c0上，且加-l,故m=5.所以4B的中点为 (3,1). 因为点(3,1)在直线xy+c=0上， 所以3-1+c=0,即c=-2.所以m+c=3 答案：3 8.求圆心为(2,1)，且与己知圆x2+y2.3x=0的公共弦所在直线经过点(5，-2)的圆的方程 解：设所求圆的方程为(x-2)2+0-1)2=, 即x2+2.4x-2y+5-2=0. ① 又已知圆的方程为x2+y2.3x=0, ② 则②-①得公共弦所在直线的方程为x+25+2=0. 又此直线经过点(5，-2)，所以5-4-5+2=0， 所以2=4 故所求圆的方程为(x-2)2+01)2=4 9.己知圆O1的方程为x2+0y+1)2=4,圆02的圆心O2(2,1) (1)若圆02与圆O1外切，求圆02的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A,B两点，且AB-2VZ,求圆O2的方程 解(1)因为两圆外切，所以O1O2=n+n, 所以n=O1O2-n=2(V2-1), 故圆02的方程为(x-2)2+0-1)2=4(V2-1)2 (2)设圆O2的方程为(x-2)2+01)2=2, 因为圆O1的方程为x2+0+1)2=4, 所以两圆的方程相减，得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x+4y+2-8=0.作O1H⊥AB于点 H,则AH4B=2,0H=V2故圆心01(0，-1到直线AB的距离为2：品=V2解得产=4或 4V2 2=20.故圆02的方程为(x-2)2+0-1)2=4或(x-2)2+012=20
解析:设所求圆的方程为(x 2+y2 -x-y-2)+λ(x 2+y2+4x-4y-8)=0(λ≠-1).将点(3,1)的坐标代入解得 λ=- 2 5 .故所求圆的方程为 x 2+y2 - 13 3 x+y+2=0. 答案:x 2+y2 - 13 3 x+y+2=0 7.已知两圆相交于点 A(1,3)和 B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值 为 . 解析:由题意知,线段 AB 的中点在直线 x-y+c=0 上,且 kAB= 4 1-𝑚 =-1,故 m=5.所以 AB 的中点为 (3,1). 因为点(3,1)在直线 x-y+c=0 上, 所以 3-1+c=0,即 c=-2.所以 m+c=3. 答案:3 8.求圆心为(2,1),且与已知圆 x 2+y2 -3x=0 的公共弦所在直线经过点(5,-2)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 , 即 x 2+y2 -4x-2y+5-r 2=0. ① 又已知圆的方程为 x 2+y2 -3x=0, ② 则②-①得公共弦所在直线的方程为 x+2y-5+r2=0. 又此直线经过点(5,-2),所以 5-4-5+r2=0, 所以 r 2=4. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 9.已知圆 O1 的方程为 x 2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A,B 两点,且 AB=2√2,求圆 O2 的方程. 解:(1)因为两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2, 所以 r2=|O1O2|-r1=2(√2-1), 故圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4(√2-1)2 . (2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 , 因为圆 O1 的方程为 x 2+(y+1)2=4, 所以两圆的方程相减,得两圆公共弦 AB 所在直线的方程为 4x+4y+r2 -8=0.作 O1H⊥AB 于点 H,则 AH=1 2 AB=√2,O1H=√2.故圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为|𝑟 2 -12| 4√2 = √2,解得 r 2=4 或 r 2=20.故圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20