第二章土的本构关系 其中ank与an为新坐标系轴与老坐标系轴夹角的余弦。见图222,其中ar1=Cosa,a12=cosB, X 图2-2-2张量的坐标变换 3.应力张量的主应力和应力不变量 在过一点的斜截面上,如果只有法向应力而无剪应力时,这个斜截面就是主应力面。设图2-2-3 中ABC平面为主应力面,此面上法向应力为σ。ABC面的外法线与x、y、z坐标轴夹角的余弦分 别为l、m、n,其中 图22-3作用在主应力面与ABC斜四面体上的应力 cOS a 2.2.5 y 在AOB、BOC、COA面上作用有9个应力分量 TT: OTT: 0. 据力的平衡条件,四面体在三个方向的合力为0: (a,-a川+r,m+rn=0 ∑ r-1+r1m+(G-om=0
第二章 土的本构关系 3 其中 ai′k 与 a j′l 为新坐标系轴与老坐标系轴夹角的余弦。见图 2‐2‐2，其中 a1′1 = cosα ，a1′2 = cos β ， cosγ a1′3 = 。 3. 应力张量的主应力和应力不变量 在过一点的斜截面上，如果只有法向应力而无剪应力时，这个斜截面就是主应力面。设图 2‐2‐3 中 ABC 平面为主应力面，此面上法向应力为σ 。ABC 面的外法线与 x、y、z 坐标轴夹角的余弦分 别为 l、m、n，其中： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = γ β α cos cos cos n m l (2.2.5) 在 AOB、BOC、COA 面上作用有 9 个应力分量： x xy xz σ ,τ ,τ ； y yx yz σ ,τ ,τ ； z zx zy σ ,τ ,τ 。根 据力的平衡条件，四面体在三个方向的合力为 0： ∑x = 0 ( ) σ x −σ l +τ yxm +τ zxn = 0 ∑ y = 0 τ xy l + (σ y −σ )m +τ zyn = 0 (2.2.6) ∑z = 0 τ xzl +τ yzm + (σ z −σ )n = 0
第二章土的本构关系 在式(226)中,若以l、m、n为未知数,它是齐次线性三元方程组,只有其系数行列式为零 时,才能存在l、m、n的非零解。 O :+:O lo.oo.+2T (227 也可写成 1σ+l20-13=0 (228) 此三次方程的三个根,即σ1、2、G3是三个主应力。亦即像ABC这样的斜截面共有三个 它们两两正交,其面上只有法向应力,没有剪应力。这三个法向应力就是三个主应力。由于三个主 应力大小与初始坐标系x、y、z的选择无关,因此I、Ⅰ、是三个标量,亦称应力不变量( Stress invariant),即不随坐标的选择而变的量。三个应力不变量的表达形式为 第一应力不变量: .+,+O 第二应力不变量 1,=σ, (2210) 第三应力不变量 2 (2211) 如果坐标系选择正好使微立方体三对面上作用主应力,剪应力都为零,则 1=σ1+a2+a3 (229 12=012+203+3O1 (22.10) 4.球应力张量与偏应力张量 应力张量σ。可以分解为一个各方向应力相等的球应力张量和一个偏应力张量 O O O 其中球应力张量表示为: 6n3=(on+a2+o3)=(a1+a2+a3)(213) 偏应力张量表示为: (2214)
第二章 土的本构关系 4 在式（2.2.6）中，若以 l、m、n 为未知数，它是齐次线性三元方程组，只有其系数行列式为零 时，才能存在 l、m、n 的非零解。 τ τ σ σ τ σ σ τ σ σ τ τ − − − ∆ xz yz z xy y zy x yx zx ＝ ＝ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx x yz y zx z xy x y z x y y z z x xy yz zx σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ σ + − − − − + + + + + − − − − ＝0 (2.2.7) 也可写成： 2 3 0 2 1 3 σ − I σ + I σ − I = (2.2.8) 此三次方程的三个根，即σ 1 、σ 2、σ 3 是三个主应力。亦即像 ABC 这样的斜截面共有三个， 它们两两正交，其面上只有法向应力，没有剪应力。这三个法向应力就是三个主应力。由于三个主 应力大小与初始坐标系 x、y、z 的选择无关，因此 I1、I2、I3 是三个标量，亦称应力不变量（Stress invariant），即不随坐标的选择而变的量。三个应力不变量的表达形式为： 第一应力不变量： x y z I1 = σ +σ +σ ＝σ kk (2.2.9) 第二应力不变量： 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx I = σ σ +σ σ +σ σ −τ −τ −τ (2.2.10) 第三应力不变量： I 3 = 2 2 2 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy σ σ σ + τ τ τ −σ τ −σ τ −σ τ (2.2.11) 如果坐标系选择正好使微立方体三对面上作用主应力，剪应力都为零，则： 1 = σ 1 +σ 2 +σ 3 I (2.2.9’) 2 = σ 1 σ 2 +σ 2σ 3 +σ 3σ 1 I (2.2.10’) 3 = σ 1 σ 2σ 3 I (2.2.11’) 4. 球应力张量与偏应力张量 应力张量σ ij 可以分解为一个各方向应力相等的球应力张量和一个偏应力张量： σ ij ＝ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 σ σ σ σ σ σ σ σ σ ＝ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ m m m σ σ σ 0 0 0 0 0 0 + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − m m m σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 (2.2.12) 其中球应力张量表示为： σ m ＝ 3 1 σ kk ＝ 3 1 （σ 11 +σ 22 +σ 33）＝ 3 1 （σ 1 +σ 2 +σ 3 ） (2.2.13) 偏应力张量表示为： Sij ＝σ ij － 3 1 σ kk δ ij (2.2.14)
第二章土的本构关系 ∫=0i≠j 其中δ 称为克罗纳克尔d( Kronecker delta) 1 i 当x,y,z方向与主应力方向重合时,即六面体的六个面为主应力面时 =0 2.2.1 可以推导偏应力张量的三个不变量与主应力间的关系 第一偏应力不变量: 第二偏应力不变量: 1 J2=1s=a-a2)2+(2-0)2+(0-a)]210 第三偏应力不变量 J3=,S2SkS6=(201-02-03)(202-01-03)(203-01-02)(2218 5.八面体应力 在xyz坐标系中,如果取OA=OB=OC,则斜截面ABC外法向与三个坐标轴夹角的余弦 =m=n=。如果图2-4中平面AOB,BOC和COA为主应力面,分别作用σ1、σ2、O3,则 ABC为八面体上的一个面。在八个象限中分别绘出与ABC同样的斜截面围成的一个八面体。 图2-24八面体及其应力 取ABC为单位面积,作用在ABC平面上的总应力(它不一定与该面法线重合)sa,它在三个方向 的分量为sx,sy,sz。根据平衡条件
第二章 土的本构关系 5 其中δ ij ⎩ ⎨ ⎧ = = ≠ i j i j 1 ＝0 称为克罗纳克尔δ （Kronecker delta）。 当 x，y，z 方向与主应力方向重合时，即六面体的六个面为主应力面时： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − = − m m m S S S σ σ σ σ σ σ 3 3 2 2 1 1 (2.2.15) 可以推导偏应力张量的三个不变量与主应力间的关系： 第一偏应力不变量： 1 J ＝ Skk ≡0 (2.2.16) 第二偏应力不变量： 2 1 J 2 = Sij S ji ＝ 6 1 [ ] 2 3 1 2 2 3 2 1 2 (σ −σ ) + (σ −σ ) + (σ −σ ) (2.2.17) 第三偏应力不变量： 3 J ＝ Sij S jk Ski 3 1 ＝ 27 1 (2 ) σ 1 −σ 2 −σ 3 (2 ) σ 2 −σ 1 −σ 3 (2 ) σ 3 −σ 1 −σ 2 (2.2.18) 5. 八面体应力 在 xyz 坐标系中，如果取 OA＝OB＝OC，则斜截面 ABC 外法向与三个坐标轴夹角的余弦 l=m=n= 3 1 。如果图 2‐2‐4 中平面 AOB，BOC 和 COA 为主应力面，分别作用σ 1、σ 2 、σ 3，则 ABC 为八面体上的一个面。在八个象限中分别绘出与 ABC 同样的斜截面围成的一个八面体。 取 ABC 为单位面积，作用在 ABC 平面上的总应力（它不一定与该面法线重合）soct，它在三个方向 的分量为 sx，sy，sz。根据平衡条件：
第二章土的本构关系 0,l= (22.19) S=0 将st分解为八面体上的正应力和剪应力: 八面体正应力 sI+ S σ1+σ,+σ 3) 八面体剪应力: G-1)2+(a2-01)2+(01-0)=12(2 可见Oox和Fo与应力不变量及偏应力不变量有一定关系,在土力学中常用另外两个应力不变 量p与 P为平均主应力 (G1+σ,+O3) q称为广义剪应力(或等效剪应力 a1-03y+(2-)+(01-a 2 有时也将p、q分别称为八面体正应力和八面体剪应力。实际上q并不是某一具体平面上的剪应力, 它只是为了在土力学中表达方便而引入的一个表达式。因为在单轴与三轴压缩的情况下,q=或者 q1-σ3,这是很便利的 6.主应力空间与丌平面 对于各向同性的材料,其应力应变关系与具体的坐标系方向无关,只与三个主应力G1、O2、 3的大小有关,所以可以用主应力空间及其应力变量来描述 (1)主应力空间 所谓主应力空间就是以三个主应力为坐标轴,用应力,如kPa为度量尺度形成的一个空间。在 此空间中的一个点P代表一个应力状态(G1,2,a3)(压应力为正);此空间中的一条线表示了 一条应力路径,也就是应力状态连续变化在应力空间形成的轨迹,应力路径可以在不同应力空间或 应力平面中表示。 (2)空间对角线和x平面 图225(a)表示了一个主应力空间。其中射线OS与σ1,2,a3轴夹角相等,即 a=B==5444° (22.25) 或者 (2226) 6
第二章 土的本构关系 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = = 3 3 2 2 1 1 3 1 3 1 3 1 σ σ σ σ σ σ s n s m s l z y x (2.2.19) 则 = 2 oct s 2 2 2 x y z s + s + s ＝ 3 1 （σ 1 2 +σ 2 2 +σ 3 2 ） (2.2.20) 将 soct分解为八面体上的正应力和剪应力： 八面体正应力： σ oct ＝ s xl + s ym + szn＝ ( ) 3 1 σ 1 +σ 2 +σ 3 ＝σ m ＝ 3 1 I (2.2.21) 八面体剪应力： oct τ ＝ 2 2 oct oct s −σ ＝ 3 1 [ ]2 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 (σ −σ ) + (σ −σ ) + (σ −σ ) ＝ 2 1 2 3 2 J (2.2.22) 可见σ oct 和 oct τ 与应力不变量及偏应力不变量有一定关系，在土力学中常用另外两个应力不变 量 p 与 q。 p 为平均主应力： p=σ oct = 3 1 （σ 11 +σ 22 +σ 33）＝ 3 1 （σ 1 +σ 2 +σ 3 ） (2.2.23) q 称为广义剪应力（或等效剪应力）： q= 2 1 [ ]2 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 (σ −σ ) + (σ −σ ) + (σ −σ ) = 2 3 oct τ ＝ 2 3J (2.2.24) 有时也将 p、q 分别称为八面体正应力和八面体剪应力。实际上 q 并不是某一具体平面上的剪应力， 它只是为了在土力学中表达方便而引入的一个表达式。因为在单轴与三轴压缩的情况下，q=σ 或者 q=σ 1 −σ 3 ，这是很便利的。 6. 主应力空间与π 平面 对于各向同性的材料，其应力应变关系与具体的坐标系方向无关，只与三个主应力σ 1、σ 2 、 σ 3的大小有关，所以可以用主应力空间及其应力变量来描述。 （1）主应力空间 所谓主应力空间就是以三个主应力为坐标轴，用应力，如 kPa 为度量尺度形成的一个空间。在 此空间中的一个点 P 代表一个应力状态（σ 1，σ 2 ，σ 3）（压应力为正）；此空间中的一条线表示了 一条应力路径，也就是应力状态连续变化在应力空间形成的轨迹，应力路径可以在不同应力空间或 应力平面中表示。 （2）空间对角线和π 平面 图 2‐2‐5（a）表示了一个主应力空间。其中射线 OS 与σ 1，σ 2 ，σ 3轴夹角相等，即： α＝β＝γ＝54.44○ (2.2.25) 或者 l=m=n= 3 1 (2.2.26)
土的本构关系 b.丌平面 图2-2-5主应力空间与x平面 则OS线为空间对角线( Space diagonal)。与空间对角线垂直的平面被称为x平面(偏应力平 面)。丌平面有无限多,其中过应力点P的丌平面与空间对角线OS相交于Q,连接QP。由于在丌 平面上各点的平均主应力p都相等,所以QP表示偏应力的大小 (3)丌平面的意义和参数 (a)在丌平面上所有点的主应力之和(G1+σ2+O3)(或平均主应力p)是常数。 在丌平面上任一点P(G1,σ2,σ3)向OS投影都是Q点,OP向OS投影的长度都是OQ。 00=0 /+o, m+on 由于l=m=n=-,所以 OQ=(σ1+a2+3)=-l=3om(22) 7
第二章 土的本构关系 7 则 OS 线为空间对角线（Space diagonal）。与空间对角线垂直的平面被称为π 平面（偏应力平 面）。π 平面有无限多，其中过应力点 P 的π 平面与空间对角线 OS 相交于 Q，连接 QP。由于在π 平面上各点的平均主应力 p 都相等，所以 QP 表示偏应力的大小。 （3）π 平面的意义和参数 (a)在π 平面上所有点的主应力之和（σ 1 +σ 2 +σ 3 ）（或平均主应力 p）是常数。 在π 平面上任一点 P（σ 1，σ 2 ，σ 3）向OS 投影都是Q 点，OP 向 OS 投影的长度都是OQ 。 OQ ＝σ x l +σ ym +σ zn (2.2.27) 由于 l=m=n= 3 1 ，所以 OQ ＝ 3 1 （σ 1 +σ 2 +σ 3 ）＝ 3 1 I1= 3 σ oct (2.2.28)