4.2.2FD的逻辑蕴涵 定义4.2设F是在关系模式R上成立的函数依 赖的集合,Ⅹ→Y是一个函数依赖。如果对于 R的每个满足F的关系r也满足X→Y,那么称F 逻辑蕴涵Ⅹ→→Y,记为F卡Ⅹ→Y。 令定义4.3设F是函数依赖集,被F逻辑蕴涵的 函数依赖全体构成的集合,称为函数依赖集F 的闭包( closure),记为F+。即F+= X→Y|记为F=X→Y。}
4.2.2 FD的逻辑蕴涵 ❖ 定义4.2 设F是在关系模式R上成立的函数依 赖的集合，X→Y是一个函数依赖。如果对于 R的每个满足F的关系r也满足X→Y，那么称F 逻辑蕴涵X→Y，记为F ⊨ X→Y。 ❖ 定义4.3 设F是函数依赖集，被F逻辑蕴涵的 函数依赖全体构成的集合，称为函数依赖集F 的闭包（closure），记为F+。即 F+= ｛ X→Y |记为F⊨X→Y。 ｝
4.2.3FD的推理规则(一) 令设U是关系模式R的属性集,F是R上成立的只涉及 到U中属性的函数依赖集。FD的推理规则有以下三 条 冷A1(自反性, reflexivity):若YgXc∪,则X→Y在 R上成立 令A2(增广性, augmentation):若Ⅹ→Y在R上成立, 且ZcU,则XZ→YZ在R上成立 冷A3(传递性, transitivity):若Ⅹ→Y和Yz在R上 成立,则Ⅹ→Z在R上成立
4.2.3 FD的推理规则（一） ❖ 设U是关系模式R的属性集，F是R上成立的只涉及 到U中属性的函数依赖集。FD的推理规则有以下三 条： ❖ A1（自反性，reflexivity）：若YXU，则X→Y在 R上成立。 ❖ A2（增广性，augmentation）：若X→Y在R上成立， 且ZU，则XZ→YZ在R上成立。 ❖ A3（传递性，transitivity）：若X→Y和Y→Z在R上 成立，则X→Z在R上成立
4.2.3FD的推理规则(二) 令定理4.1FD推理规则A1、A2和A3是正确的。也就是,如果 X_→Y是从F用推理规则导出,那么X→Y在F+中。 定理42FD的其他五条推理规则: (1)A4(合并性, union):{X→Y,X→Z}=X→YZ (2)A5(分解性, decomposition):{X→Y,zcY}pX→Z。 (3)A6(伪传递性):{X→Y,WY→z}=WX→z。 (4)A7(复合性, composition):{X→Y,W→z} XW→YZ。 (5)A8{X→Y,W-→2}xU(W-Y)→YZ
4.2.3 FD的推理规则（二） ❖ 定理4.1 FD推理规则A1、A2和A3是正确的。也就是，如果 X→Y是从F用推理规则导出，那么X→Y在F+中。 ❖ 定理4.2 FD的其他五条推理规则: (1) A4（合并性，union）：｛ X→Y，X→Z ｝⊨X→YZ。 (2) A5（分解性，decomposition）：｛ X→Y，ZY ｝⊨X→Z。 (3) A6（伪传递性）：｛ X→Y，WY→Z ｝⊨WX→Z。 (4) A7（复合性，composition）：｛ X→Y，W→Z ｝ ⊨XW→YZ。 (5) A8 ｛ X→Y，W→Z ｝⊨X∪（W－Y）→YZ
4.2.3FD的推理规则(三) 例4.5已知关系模式R(ABC),F={A→B, B→→C},求F+。 根据FD的推理规则,可推出F的F+有43个FD 譬如,据规则A1可推出A→φ(φ表示空属性集), A→A,。据已知的A→B及规则A2可推出 AC→BC,AB→B,A→AB,…。据已知条件及规 则A3可推出A→C等。作为习题,读者可自行推出 这43个FD
4.2.3 FD的推理规则（三） ❖ 例4.5 已知关系模式R（ABC），F=｛ A→B， B→C ｝，求F+。 根据FD的推理规则，可推出F的F+有43个FD。 譬如，据规则A1可推出A→φ（φ表示空属性集）， A→A，…。据已知的A→B及规则A2可推出 AC→BC，AB→B，A→AB，…。据已知条件及规 则A3可推出A→C等。作为习题，读者可自行推出 这43个FD
42.3FD的推理规则(四) 令定义44对于FDⅩ→Y,如果Y∝X,那么称 X→Y是一个“平凡的FD,否则称为“非平 凡的FD” 令定理43如果A1.An是关系模式R的属性集, 那么Ⅹ→>A1.An成立的充分必要条件是XAi (ⅰ=1,…,n)成立
4.2.3 FD的推理规则（四） ❖ 定义4.4 对于FD X→Y，如果YX，那么称 X→Y是一个“平凡的FD”，否则称为“非平 凡的FD”。 ❖ 定理4.3 如果A1…An是关系模式R的属性集， 那么X→A1…An成立的充分必要条件是X→Ai （i=1，…，n）成立