免费下载网址htp:/ Jiaoxie5uys168com 21.2锐角的三角函数值 教法设想: 通过同学们经常使用的三角板,让同学们计算一下,当∠A=30°<4的对边?∠ 斜边 ∠A的对边 斜边 ?由于同学们所使用三角板大小不一,但他(她)们求得的比值都 这是为什么 由相似三角形有关性质得出:在这些直角三角形中,锐角A取一个固定值,∠A的对边 与斜边的比值仍是一个固定值,进而再引入正弦,余弦的概念,并向同学说明0<sinA< 0<cosA<1(∠A为锐角) 再分别求出30°,45°,60°特殊三角函数值并应用其进行计算,进一步研究任意锐 角的正弦值与余角的余弦值关系 根据30°,45°,60°正、余弦值分析,引导同学归纳出:当角度在0°—90°间变化 时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);当角度在0°-90°间变化时, 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 适时介绍正弦和余弦表的构造.结合实例进行查表,知其角度查正弦值或余弦值,反之 亦然.正确处理好修正值. 对学有余力的学生,也可适当介绍“sin2A+cos2A=1”这一重要关系式 在学习正弦、余弦的概念后,再进一步学正切、余切较容易,可仿正弦、余弦的教法进 行,对学有余力的学生也可讲授gA C4、 CUeA CosA Sina 这些重要关系式 在教学中对0°,30°,45°,60°,90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记, 为此,我们可分别列出表并编出口决让学生记易,省时易记 I: 三角函数 45 Sin a √3 11 Cos a √27 tg a 口决: 三,三,二,一,三九二十七 表I 三角函数 60 90° Sin Cos 0 tg a 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 21.2 锐角的三角函数值 一、教法设想： 通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当∠A=30°, = A的对边 斜边 ? ∠ A=45°, = A的对边 斜边 ? 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都 是 1 2 和 2 2 ，这是为什么呢？ 由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角 A 取一个固定值，∠A 的对边 与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明 0< sinA < 1, 0< cosA< 1（∠A 为锐角）. 再分别求出 30°，45°，60°特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐 角的正弦值与余角的余弦值关系. 根据 30°，45°，60°正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在 0°—90°间变化 时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在 0°—90°间变化时， 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. 适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之 亦然. 正确处理好修正值. 对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2 A+ cos2 A = 1”这一重要关系式. 在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进 行，对学有余力的学生也可讲授 tgA ctgA tgA SinA CosA CtgA CosA SinA = = = 1 , , 这些重要关系式. 在教学中对 0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记， 为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记. 表 I： 三角函数 30° 45° 60° Sinα 1 2 1 2 = 2 2 3 2 Cosα 3 2 2 2 1 2 1 2 = tgα 3 3 1 9 3 = 3 27 3 = 口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七. 表 II. 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° Sinα 0 0 2 = 1 2 1 2 = 2 2 3 2 1 4 2 = Cosα 1 4 2 = 3 2 2 2 1 2 1 2 = 0 0 2 = tgα 0 3 3 1 3 = 1 3 ──
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com tg a 口决:0, 二,三,四带根号,比上2要记牢 第二行左右倒,三,四行靠推导. 【指点迷津】 本单元锐角三角函数的引进,使形与数紧密结合为一体,开辟了数形结合的新航向.因 此,在本单元教学中,务必注意数形结合思维方法的引导,应用.用其法解决生活中的实际 问题.达到得心应手. 学海导航 【思维基础】 1.锐角三角函数定义 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=C,BC=a,AC=b,则∠A的正弦,余弦,正切,余切分 别是:SinA Cosa tgA CtgA 它们统称为∠A 的锐角三角函数.(1)一锐角的三角函数值是四个 ;锐角三角函数都不可能取 且A为锐角时,SinA,CosA均在 内取值 2.特殊角的三角函数值(完成下表) 0 45 增减值 函数 Sin a t ctg a 3.互余角间的三角函数关系,△ABC中,∠C=90°,A+B=90°,∠B=90°-A,则 有 Sin(90°-A) 4.同角三角函数关系公式:(∠A为锐角) (1) Sin a+ cosa Cos A Sina= (2)tgA Ctg A 【学法指要】 例1.如果∠A为锐角,CosA 4’那么() B.30°〈A≤4 D.60°<A<90 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ctgα ── 3 1 3 3 1 3 = 0 口决：0，一，二，三，四带根号，比上 2 要记牢. 第二行左右倒，三，四行靠推导. 【指点迷津】 本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向. 因 此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用. 用其法解决生活中的实际 问题. 达到得心应手. 二、学海导航： 【思维基础】 1. 锐角三角函数定义 Rt△ABC 中，∠C= 90°，AB= c，BC= a，AC= b， 则∠A 的正弦，余弦，正切，余切分 别是：SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为∠A 的锐角三角函数. （1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取 _________，且 A 为锐角时，SinA，CosA 均在______~ ______内取值. 2. 特殊角的三角函数值（完成下表） 0° 30° 45° 60° 90° 增减值 Sinα Cosα tgα ctgα 3. 互余角间的三角函数关系，△ABC 中，∠C= 90°，A + B = 90°，∠B =90°－A，则 有： Sin(90°－A) = ___________ Cos(90°－A) = ___________ tg (90°－A) = ___________ Ctg(90°－A) = ___________. 4. 同角三角函数关系公式：（∠A 为锐角）. （1）Sin 2 A + Cos2 A = ___________; Cos2 A = ___________, Sin2 A = ____________. 【学法指要】 例 1. 如果∠A 为锐角，CosA= 1 4 ，那么（ ） A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45° C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90° 三角 函 角度 数 三角函数 值
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 思路分析: 1 1 CosA=,<==Cos60°, COsA=->0=Cos90° 当角度在0°~90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减少)而减小(或增大) ∴60°<A<90°应选D 例2.当45°<X<90°时,有() A. Sin x>Cosx> tg x B. tgx> cos x> Sin x Sin x> tg x D. tg x> Sin x>Cos x 思路分析 取A CosX= Cos60%= 1gX=1g60=√3 > tg x> Sin x> Cos x 解选择题,采取特例法可出奇制胜,如本例取x=60°在45°<ⅹ<90°的范围内,很 快可知Sin60°,Cos60°,tg60°的值,谁大谁小,相形见绌.因之,在解决有关选择题 时,根据题目的限制条件,灵活选取特殊值(也可画特殊图形,特殊点,特殊位置,特殊线 等),可巧夺天工 例3.计算:(√7-Sm36°) Cos30°g60°Sm30°-Cos45°1.Cg4 Cos60°+Siw4s+( Sin600g300 思咯分析:若a≠0时,a°=1 Sin36°≠0 (√7-Sm36°)=1 对此项中的Sin36°是一项干扰支.迷惑同学们,因为Sin36°,不是表内特殊值,求不 出来,至使解题陷入僵局,其实不然.不需要求Sin36°之值,只需要知道∵√7-Sin36°≠0 即可.因而,解题时,必须善于排除干扰支,解除困惑,准确使用数学概念,正确求出答案, 对于特殊角三角函数值的计算,一.要准确无误代入三角函数值:二要按照实数的运算法 则进行运算:三.运算的结果必须是最简关系式.于是对上式便一目了然了 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 思路分析： CosA Cos CosA Cos = = = = 1 4 1 2 60 1 4 0 90 , 当角度在 0°~ 90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）. ∴ 60°< A < 90° 应选 D 例 2. 当 45°< X < 90°时，有（ ） A. Sin x > Cos x > tg x B. tg x > Cos x > Sin x C. Cos x > Sin x > tg x D. tg x > Sin x > Cos x 思路分析： ∵ 45°< x < 90° ∴ 取 A = 60° = = = = = = SinX Sin CosX Cos tgX tg 60 3 2 60 1 2 60 3 3 3 2 1 2 ， ∴tg x > Sin x > Cos x ∴ 应选 D 解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取 x = 60°在 45°< x < 90°的范围内，很 快可知 Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值，谁大谁小，相形见绌. 因之，在解决有关选择题 时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线 等），可巧夺天工. 例 3. 计算： ( 7 36 ) ( ) 30 60 60 45 30 45 60 30 45 0 1 − + + − − Sin Cos tg Cos Sin Sin Cos Sin tg Ctg 思咯分析：若 a≠0 时 , a 0 = 1 7 36 0 7 36 1 0 − Sin ( − Sin ) = 对此项中的 Sin36°是一项干扰支. 迷惑同学们，因为 Sin36°，不是表内特殊值，求不 出来，至使解题陷入僵局，其实不然. 不需要求 Sin36°之值，只需要知道 7 − Sin36 0 即可. 因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案， 对于特殊角三角函数值的计算，一. 要准确无误代入三角函数值；二. 要按照实数的运算法 则进行运算；三. 运算的结果必须是最简关系式. 于 是对上式便一目了然了
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 1√3 原式= (1-√2) =3(√2-1) 3√2-3-1-√2 2√2-4 例4.已知方程3x2-43x+3k=0的两根为tg0,ctg0,求k和0,(0为锐角) 思路分析:∵tg0,ctg0为二次方程3x2-4√3x+3k=0的二根,根据与系数关系式, e6+c8、4√3 gb·cgb=K ∴原方程为3x2-43x+3=0 即tg 3·ctg0=√3或tg0= ctg 锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系,各种知识交织在一起,因而必须把综 合知识进行剖析,分解,然后各个击破,便可打通思路.如本例,首先运用二次方程的有关 知识——根与系数关系;再运用锐角三角函数的倒数关系求出K,又回到解一元二次方程来 解出二根,从中求出tgθ,ctgθ之值,再求出对应的θ之值,总之,善于剖析,化整为零, 个一个解决,对复杂的综合题便可攻破了 例5.在△ABC中,三边之比a:b:c=1:√3:2,则sinA+tgA等于( 3+2 1+2√3 6 3+1 思路分析 可设a=k,b=√3k,c=2k(k>0) a2+b2=k2+(√3k) ∴△ABC是直角三角形,且∠C=90° 根据三角函数定义,可知 a k k√3 , b√3k-3 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 原式 = + + − = + + − = − + − = − − − = − − − 1 3 2 3 1 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 3 1 3 2 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 2 3 1 2 2 2 4 1 1 ( ) ( ) 例 4. 已知方程 3 4 3 3 0 2 x − x + k = 的两根为 tgθ, ctgθ,求 k 和θ，（θ为锐角） 思路分析：∵tgθ, ctgθ为二次方程 3 4 3 3 0 2 x − x + k = 的二根，根据与系数关系式， 得 tg ctg tg ctg K + = = 4 3 3 ∵tgθ· ctgθ=1 ∴k = 1 ∴原方程为 3 4 3 3 0 2 x − x + = x1 = x2 = 3 3 , 3 即 tgθ= 3 3 , ctgθ= 3 或 tgθ= 3 , ctg = 3 3 故θ1=30° θ2 = 60° 锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综 合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关 知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求 出 K，又回到解一元二次方程来， 解出二根，从中求出 tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零， 一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了. 例 5. 在△ABC 中，三边之比 a：b：c = 1： 3 ：2，则 SinA + tgA 等于（ ） A. 3 2 3 6 + B. 1 2 3 2 + C. 3 3 2 D. 3 1 2 + 思路分析：∵ a：b：c = 1： 3 ：2 ∴ 可设 a = k, b = 3 k , c = 2k ( k > 0 ) ∴a 2 + b2 = k2 + ( 3 k)2 = 4k2 = (2k)2 = c 2 ∴ △ABC 是直角三角形，且∠C= 90° 根据三角函数定义，可知： SinA a c k k tgA a b k k = = = = = = 2 1 2 3 3 3
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com ∵.△ABC是直角三角形,且∠C=90° 根据三角函数定义,可知 k√3 Sina c 2k 2 ,2g sina t tg a 1√33+2√3 应选(A) 对于题设是以连比形式出现的,通常都是增设参数K,将未知转化已知,使问题明朗化 进而再研究三角形三边的关系,从而判定为直角三角形,又转化为锐角三角函数问题,找 到思路,这是解决此类问题的常用方法,而且又比较方便,请同学们今后遇到此类问题,可 小试“牛刀 【思维体操】 例1.已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高,在△ADB及△ADC中分别作内接正方形,使 每个正方形有两条边分别在DB,DA及DC,DA上,而两个正方形的第四个顶点E,F各在AB, AC上,求证:AE=AF 揭示思路1:设∠ABC=a.正方形EMXG与正方 形DNFH的边长分别为a,b AD=AH+DH=b·Ctga+b b ctg a +b b(1+ctga) bctga(1+ctga) +iga Ah Ae= AF= cosa cosa cosa ∵AE=AF 揭示思路2: 设BC=a,且∠ABC 则有 ab a cos a AB= AE+BE=AE+E4 EG ae Sina Sina AE cosa Ae+ cosa a cosa= AE(I+ Ae AE= asina. cosa 同理:AF sin a cosa 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴△ABC 是直角三角形，且∠C= 90° 根据三角函数定义，可知： SinA a c k k tgA a b k k = = = = = = 2 1 2 3 3 3 , ∴SinA + tg A = + = 1 + 2 3 3 3 2 3 6 ∴ 应选（A） 对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数 K，将未知转化已知，使问题明朗化， 进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角 形，又转化为锐角三角函数问题，找 到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可 小试“牛刀”. 【思维体操】 例 1. 已知 AD 是直角△ABC 的斜边 BC 上的高，在△ADB 及△ADC 中分别作内接正方形，使 每个正方形有两条边分别在 DB，DA 及 DC，DA 上，而两个正方形的第四个顶点 E，F 各在 AB， AC 上，求证：AE= AF. 揭示思路 1：设∠ABC= α. 正方形 EMDG 与正方 形 DNFH 的边长分别为 a , b ∵AD = AG + DG = a·tgα + a AD = AH + DH = b·Ctgα+b ∴a tgα + a = b ctgα+b ∴ a b ctg tg bctg ctg ctg = + + = + + (1 ) ( ) 1 1 1 = b·ctgα= AH. AE a AF AH a = = = cos , cos cos ∴AE = AF 揭示思路 2： 设 BC = a , 且∠ABC=α，则有 AB = a cosα AB AE BE AE EM Sin AE EG Sin AE AE Sin = + = + = + = + cos = + = + a AE AE cos ( cos sin ) sin cos sin 1 = + AE a sin cos sin cos 同理： AF a = + sin cos sin cos ∴AE = AF