策的规则，但显著性水平的规定可以先后灵活一些。 7.2总体均值的假设检验 7.2.1Z-检验 1,当总体分布为正态分布，总体标准差0为已知时，检验原假设H。:4=山。当品 成立时，由于总体X~N(4,2)：所以样本均值~N(,21)。从而统计量为： 2=F-4 -N(0,1) (7-1) 即它服从标准正态分布，于是可用它来检验原假设 [例7-2】某市历年来对7岁男孩的统计资料表明，他们的身高服从均值为1.32米、标 准差为0.12米的正态分布。现从各个学校随机抽取25个7岁男学生，测得他们平均身高 1.36米，若己知今年全市7岁男孩身高的标准差仍为0.12米，问与历年7岁男孩的身高相 比是否有显著差异（取u=0.05). 解：从题意可知，=1.36米，4，=1.32米，=0.12米 ()建立假设：H:4=1.32,H:4≠1.32 (②)确定统计量： Z=-4=136-1.32 o/W6012/W25=167 (3)Z的分布：Z~N(0,1) (4)对给定的《=0.05确定临界值。因为是双侧备择假设所以查表时要注意。因概率表 是按单侧排列的，所以应查1-0.05/2=0.975的值，查得临界值Z-a2=1.96。 (⑤)检验准则。12≤1.96，接受,反之，拒绝 (6)决策：因Z=1.67<1.96:落在了接受域，因此认为今年7岁男孩平均身高与历年 7岁男孩平均身高无显著差异，即不能拒绝零假设。 【例73】一个生产宇航飞行器的工厂需要经常购置一种耐高温的零件，要求抗热的平 均温度是1250℃，在过去，供货者提供的产品都符合要求，并从大量的数据获知零件抗热 的标准差是150℃，在最近的一批进货中随机测试了100个零件，其平均的抗热为1200℃， 能否接受这批产品？工厂希望对实际产品符合要求而错误地加以拒绝的风险为0.05（即 a=0.05)。 解：检验的步暖如下： (1)建立假设。由于检验的目的是希望产品零件抗热的均值高于1250℃，而把低于 1250℃的加以拒绝，因此是一个单侧的假设检验问题。 H。:4≥1250C H1:4<1250 (2)这个检验中适当的检验统计量是： 6
6 策的规则，但显著性水平的规定可以先后灵活一些。 7.2 总体均值的假设检验 7.2.1 Z－检验 1.当总体分布为正态分布，总体标准差s 为已知时，检验原假设 0 0 H : m = m 。当 H0 成立时，由于总体 2 ~ 0 X N(m ,s ) ；所以样本均值 2 ~ 0 X N(m ,s / n) 。从而统计量为： 0 / X Z n m s - = ~ N(0,1) （7-1） 即它服从标准正态分布，于是可用它来检验原假设。 [例 7-2]某市历年来对 7 岁男孩的统计资料表明，他们的身高服从均值为 1.32 米、标 准差为 0.12 米的正态分布。现从各个学校随机抽取 25 个 7 岁男学生，测得他们平均身高 1.36 米，若已知今年全市 7 岁男孩身高的标准差仍为 0.12 米，问与历年 7 岁男孩的身高相 比是否有显著差异(取a ＝0.05)。 解：从题意可知， X ＝1.36 米，m 0 ＝1. 32 米，s ＝0.12 米。 (1)建立假设：H0：m ＝1.32，H1：m ¹ 1.32 (2)确定统计量： 1.36 1.32 1.67 / 0.12 / 25 X Z n m s - - = = = (3)Z 的分布：Z～N(0,1) (4)对给定的a ＝0.05 确定临界值。因为是双侧备择假设所以查表时要注意。因概率表 是按单侧排列的，所以应查 1-0.05／2＝0.975 的值，查得临界值Z1-a / 2 ＝1.96。 (5)检验准则。|Z|£ 1.96，接受 H0，反之，拒绝 H0。 (6)决策：因 Z＝1.67＜1.96；落在了接受域，因此认为今年 7 岁男孩平均身高与历年 7 岁男孩平均身高无显著差异，即不能拒绝零假设。 【例 7-3】一个生产宇航飞行器的工厂需要经常购置一种耐高温的零件，要求抗热的平 均温度是 1 250℃，在过去，供货者提供的产品都符合要求，并从大量的数据获知零件抗热 的标准差是 150℃，在最近的一批进货中随机测试了 100 个零件，其平均的抗热为 1 200℃， 能否接受这批产品？工厂希望对实际产品符合要求而错误地加以拒绝的风险为 0.05（即 a =0.05）。 解：检验的步骤如下： （1）建立假设。由于检验的目的是希望产品零件抗热的均值高于 1 250℃，而把低于 1 250℃的加以拒绝，因此是一个单侧的假设检验问题。 H 0 ﹕ m ≥1 250℃ H 1 ﹕ m ＜1 250℃ （2）这个检验中适当的检验统计量是：
Z=- Gln (3)根据工厂的要求，显若性水平a=0.05,在这里是指当4=1250时而被拒绝的概 率为a。 (4)根据单侧检验a=0.05时，Z统计量拒绝域的临界值为-Z=-Zs=-1.645。 (5)计算统计量的数值 Z=x-4=1200-1250=-3.3 150/,/100 因为Z<Z。0s拒绝H。,接受H1,表明这一批产品零件的抗高温性能低于1250℃ 而不符合要求，因此不能接受这批产品 2对来自两个正态总体的两个独立样本，已知样本容量、均值和总体方差分别为 ,元，0和m,元2,0，可用Z检验法检验零很设：4=山。 可以证明，若~N(4,/n),x2~N(4,o/m,),则 (-X)N4-4+至 n 所以，在品成立的前提下，有 Z= X-X -N(0,1) (7-2) [例7-4]由长期积累的资料知道，甲、乙两城市20岁男青年的体重都服从正态分布， 并且标准差分别为14.2公斤和10.5公斤，现从甲、乙两城市各随机抽取27名20岁男青年 则测得平均体重分别为65.4公斤和54.7公斤，问甲、乙两城市20岁男青年平均体重有无 显著差异(a=0.05)? 解：从题意可知，元=65.4公斤，0，=14.2公斤，2=54.7公斤，02=10.5公斤： %==27。 ()建立假设：H:4=凸，H:4≠凸 (②)确定统计量： Z=-元 65.4-54.7 =3.15 CLo 14.2210.52 V%2 27+27 (3)Z的分布：Z~N(0,1) (4④)对给定的α=0.05确定临界值。因为是双侧备择假设所以查表时要注意。因概率表 7
7 n x Z / 0 s - m = （3）根据工厂的要求，显著性水平a =0.05，在这里是指当m =1 250 时而被拒绝的概 率为a 。 （4）根据单侧检验a =0.05 时，Z 统计量拒绝域的临界值为 1 .645 - Z = -Z 0. 05 = - 。 （5）计算统计量的数值 3 .33 150 / 100 1200 1250 / 0 = - - = - = n x Z s m 因为Z ＜ Z a=0. 05 拒绝 H 0 ，接受 H 1 ，表明这一批产品零件的抗高温性能低于 1 250℃ 而不符合要求，因此不能接受这批产品。 2.对来自两个正态总体的两个独立样本，已知样本容量、均值和总体方差分别为 2 1 1 1 n , X ,s 和 2 2 2 2 n , X ,s ，可用 Z 检验法检验零假设 H0：m1 = m2 。 可以证明，若 2 2 1 ~ 1 1 1 2 2 2 2 X N(m ,s / n ), X ~ N(m ,s / n ),则 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (X X ) ~ N( , ) n n s s - m - m + 所以，在 H0成立的前提下，有 1 2 2 2 1 2 1 2 ~ (0,1) X X Z N n n s s - = + （7-2） [例 7-4]由长期积累的资料知道，甲、乙两城市 20 岁男青年的体重都服从正态分布， 并且标准差分别为 14.2 公斤和 10.5 公斤， 现从甲、 乙两城市各随机抽取 27 名 20 岁男青年， 则测得平均体重分别为 65.4 公斤和 54.7 公斤，问甲、乙两城市 20 岁男青年平均体重有无 显著差异(a = 0.05)? 解：从题意可知， 1 X = 65.4 公斤，s 1 ＝14.2 公斤，X 2 ＝54.7 公斤，s 2 ＝10.5 公斤； 1 2 n = n = 27 。 (I)建立假设：H0：m1 = m2 ，H1：m1 ¹ m2 (2)确定统计量： 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 65.4 54.7 14.2 10.5 27 27 X X Z n n s s - - = = = + + 3.15 (3）Z 的分布：Z～N(0,1) (4)对给定的a ＝0.05 确定临界值。因为是双侧备择假设所以查表时要注意。因概率表
是按单侧排列的，所以应查1-0.05/2=0.975的值，查得临界值Z2=1.96。 (5)检验准则。z引≤1.96，接受H,反之，拒绝L (6)决策：因2= 15>1.96,落在了拒绝域，因此拒绝零假设。认为甲、乙两城市20 岁男青年平均体重有显著差异。 7.2.2T-检验 使用Z检验法需要知道总体标准差。，而实际问题中常常不知道。，这时必须用样本 标准差s代替总体标准差。，因此便有如下的t检验 t检验法是使用服从t分布的统计量检验正态总体平均值的方法。 1.当正态总体标准差。未知时，检验零假设H:4=%·可以证明，在H成立的前 提下，有： X-6 1=sNn合m-) (7-3) ∑(X-)月 (中，样本标准差S= (例7-5)某制药厂试制某种安定神经的新药，给10个病人试服，结果各病人增加睡 眠量如表7-2所示。 表7-2 病人服用新药增加睡眠量表 病人号码12345678910 增加睡眠（小时）0.7-1.1-0.21.20.13.43.70.81.82.0 试判断这种新药对病人有无安定神经的功效（α=0.05）。 解， (1)建立假设：4≤0（没有功效）。 H:4>0(有功效)（单侧备择假设） (②)计算统计量： ∑ ∑(X,-)2 灭= -=1.24s=1回 -=1.45 n 1.24-0 1= S1n-11.45/W10-1 =2.57 (3)确定统计量分布。本例中，1~1。 (4)对于给定的显著性水平0.05，查自由度为9的t分布表，单侧临界值为1.833 (5)建立检验规贝 t≤1.833，接受, 香则 拒绝 (6)结论。因为本例t=2.57>1.833,所以，拒绝H,即，认为这种新药对病人有安 定神经的功效。 8
8 是按单侧排列的，所以应查 1-0.05／2＝0.975 的值，查得临界值Z1-a / 2 ＝1.96。 (5)检验准则。|Z|£ 1.96，接受 H0，反之，拒绝 H0。 (6)决策：因 Z＝3.15>1.96，落在了拒绝域，因此拒绝零假设。认为甲、乙两城市 20 岁男青年平均体重有显著差异。 7.2.2 T－检验 使用 Z 检验法需要知道总体标准差s ，而实际问题中常常不知道s ，这时必须用样本 标准差 s 代替总体标准差s ，因此便有如下的 t 检验。 t 检验法是使用服从 t 分布的统计量检验正态总体平均值的方法。 1.当正态总体标准差s 未知时，检验零假设 H0：m = m0 。可以证明，在 H0 成立的前 提下，有： 0 ~ ( 1) / 1 X t t n S n - m = - - （7-3） （其中，样本标准差 2 1 ( ) n i i X X S n = - = Â ） 〔例 7-5〕某制药厂试制某种安定神经的新药，给 10 个病人试服，结果各病人增加睡 眠量如表 7-2 所示。 表 7-2 病人服用新药增加睡眠量表 病 人 号 码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 增加睡眠（小时） 0.7 -1.1 -0.2 1.2 0.1 3.4 3.7 0.8 1.8 2.0 试判断这种新药对病人有无安定神经的功效(a ＝0.05)。 解： (1)建立假设 H0：m £ 0(没有功效)。 H1：m ﹥0 (有功效)(单侧备择假设) (2)计算统计量： 1 n i i X X n = = Â ＝1.24 2 1 ( ) n i i X X s n = - = Â ＝1.45 0 1.24 0 / 1 1.45/ 10 1 X t S n - m - = = - - ＝2.57 (3)确定统计量分布。本例中， ~ 9 t t 。 （4）对于给定的显著性水平 0.05，查自由度为 9 的 t 分布表，单侧临界值为 1.833 （5）建立检验规则。|t|£ 1.833，接受 H0，否则，拒绝 H0。 （6）结论。因为本例 t＝2.57﹥1.833，所以，拒绝 H0，即，认为这种新药对病人有安 定神经的功效