因m的变化是量子化的,故称之为磁量子数。 ih 上式是Φ方程的复数形式,是角动量沿轴分量的算符 的本征函数。但复数不便于作图,不能用图形表示原子轨道及 电子云的分布。 据态叠加原理,将两个独立的特解线性组合仍是Φ方程 的解,其实数解为 cos SIn cos sIne 复函数解和实函数解是线性组合关系,但它们之间没有一一对应 关系。 ④单电子原子的波函数 分别求解R(r)、(0和Φ(q)方程,得到单电子原子的波函数 (r,0,q) 2021/1/21
2021/1/21 16 m m m sinm 1 cos cos 1 sin = = 因m的变化是量子化的，故称之为磁量子数。 据态叠加原理，将两个独立的特解线性组合仍是Φ方程 的解，其实数解为： 复函数解和实函数解是线性组合关系，但它们之间没有一一对应 关系。 ④ 单电子原子的波函数 分别求解R(r)、Θ(θ)和Φ(φ)方程，得到单电子原子的波函数 Ψ(r,θ, φ ) 上式是Φ方程的复数形式，是角动量沿z轴分量的算符 的本征函数。但复数不便于作图，不能用图形表示原子轨道及 电子云的分布。 d ih d 2 −
平n,mn(F,0.,p)=Rn/(r)⊙m()n() 即平由三个量子数n,L,m决定 n=1,2,3, 主量子数 =0,1,2…,(mt-1 角量子数 nF=0,土,±2,磁量子数 n,L,m取值的规定是由解微分方程得到的。 般来说,,,Φ,Y,R都已分别归一化,即: 2兀 dΦ=1 y Ysn eded=1 0 LOOsin 0d0=1 pyr* sin edred=l R Rr dr=1 2021/1/21
2021/1/21 17 ( , , ) ( ) ( ) ( ) n,l,m r = Rn,l r l,m m 1 2 0 = d sin 1 0 = d 1 2 0 = R Rr dr sin = 1 Y Y d d sin 1 2 = r drd d 即Ψ由三个量子数n，l，m决定 n=1,2,3,….. 主量子数 l=0,1,2,…..(n-1) 角量子数 m=0,1, 2,…... l 磁量子数 n，l，m取值的规定是由解微分方程得到的。 一般来说，Ψ，Θ，Φ，Y，R都已分别归一化，即：
2.量子数的物理意义 ①主量子数n 单电子体系:E=- 2 -13.6-,(eV) seth 简并态:对于单电子体系,n相同而l、m不同的状态, ⊥其能量是相同的,称为简并态。 对于一个给定的n,可以有n个不同的值,而对于每个l值,又 有(2H+1)个不同的m值。所以对于单电子体系,能量相同的状态 总数g,即简并度g=m2 ∑24)=1+3+5+…+2-1) (1+2n-1)m2 2021/1/21 18
2021/1/21 18 13.6 ( ) 8 2 2 2 2 2 2 0 4 eV n Z n Z h e En = − = − 2 1 0 2 (1 2 1) (2 1) 1 3 5 (2 1) n n n g l n n l = + − = + = + + ++ − = − = 2. 量子数的物理意义 ① 主量子数n 单电子体系： 简并态：对于单电子体系，n相同而l、m不同的状态， 其能量是相同的，称为简并态。 对于一个给定的n，可以有n个不同的l值，而对于每个l 值，又 有(2l+1)个不同的m值。所以对于单电子体系，能量相同的状态 总数g，即简并度g=n2
主量子数决定体系能量的高低。 这是类氢离子的情况,即v(r) Ze 4兀Enr 当V变为非球形对称(多电子原子)时,m和l决定体系 的能量;在外加磁场作用下,V的球对称性被完全破坏, 体系能量依赖于n,和m。 >维里定理( virial theorem) 对势能服从r规律的体系,其平均势能与平均动能的关系为 T=-ny 2021/1/21
2021/1/21 19 r Ze V r 0 2 4 ( ) = − T nV 2 1 = 主量子数n决定体系能量的高低。 这是类氢离子的情况，即 当V变为非球形对称（多电子原子）时，n和 l 决定体系 的能量；在外加磁场作用下，V的球对称性被完全破坏， 体系能量依赖于n，l和m。 ➢维里定理（virial theorem) 对势能服从r n规律的体系，其平均势能与平均动能的关系为
例2:利用维里定理求氢原子基态(1s的平均势能和平均动能。 解:对于氢原子Vr1 T ∵E,=T+V=--+V= V=2E1;=2×(-13.6e)=-272e T=--V=13.6e动能为正值,即为体系的零点能 2021/1/21 20
2021/1/21 20 T V eV V E eV eV E T V V V V T V s s 13.6 2 1 2 2 ( 13.6 ) 27.2 2 1 2 1 2 1 1 1 = − = = = − = − = + = − + = = − 例2：利用维里定理求氢原子基态(1s)的平均势能和平均动能。 解： 对于氢原子V r -1 动能为正值，即为体系的零点能