第5期 赵克勤：SPA的同异反系统理论在人工智能研究中的应用 ·25· 般、及格、差5个层次刻划21等等.具体作多少层次 的刻划视具体问题而定 容易看出，尽管一个同异反系统可从理论上作 无穷层次分解，但一些实际的同异反系统层次往往 是有限的.如用百分制记述学生成绩，最多只能设 100个“层次”，超出100个就没有了实际意义，事实 上对学生成绩分为优、良、一般、合格、较差、差这样 6个“层次”时，己满足大部分问题分析的需要.这说 明实际的同异反系统存在“同、异、反”的“最小颗 图6三维同异反系统 粒” Fig.6 Three-dimensional identical- 2.4同异反系统的数学模型 discrepancy-contrary systems 2.4.1一维同异反系统的联系数模型 见的高维同异反系统有四维同异反系统、五维同异 对一维正负型同异反系统来说，其数学模型就 反系统等等.例如在“教师素质·教材。学生素质” 是同异反联系数： 这个三维同异反系统中增加一个研究对象“教学管 u=A +Bi +Cj (4) 理”，则得到一个“教学管理·教师素质·教材-学 式中：A、B、C依次称为同一数、差异数、对立数，以 生素质”四维同异反系统，若再要考虑“教育方法”与 及对式4作归一化处理后得到的联系度： 其他研究对象的同异反关系，则得到一个“教学管理 μ=a+b+g (5) -教师素质·教育方法·教材·学生素质”五维同 式中：a、b、c依次称为同一度、差异度、对立度，它们 异反系统.类似地，把“信息一知识智能“展开为 分别是对一维同异反系统同一程度、差异程度、对立 “信息一知识智能决策—智能行为预期目的”， 程度的刻画，统称为联系分量，式4)和式5)也称为 就得到了一个五维同异反系统，如此等等 三元联系数.为方便计，以下仅以式5)作进一步讨 以上是从同异反系统所具空间维数的角度对常 论，由于式(5)可以写成向量的形式，所以一维同异 见同异反系统的一种分类：还可以根据“反”的分类 反系统还有以下的向量模型： 把同异反系统分成倒数型同异反系统、有无型同异 反系统、正负型同异反系统、虚实型同异反系统、互 6) 补型同异反系统等等，这种类型划分与维数类型结 ci 合，又可以分成更为具体的N维X型对立同异反 2.4.2 二维同异反系统的数学模型 系统，在此不再详述 1)线性模型 概言之，一维到高维同异反系统也可以统称为 ux ax bxi Cxj. (7) N(N)维同异反系统.根据问题要求在N维空 uy =ay byi cyj. (8) 间中定义具体的“同”、“异”、“反”，则常见的N维空 urs.y min(as.ay)+[1-min(as.ay) 间就是一个开放的N维同异反系统 max(cx,cy)li jmax(cx cy) (9) 2.3同异反系统的同异反分解 2)二次函数型 从系统科学的角度看，同异反系统中的同、异、 uxy =f(as,a)+f(bs,b)i+f(cs,cy)j. 反是3个不同的层次.例如在正负型同异反系统中 (10) 同是正的+)，反是负的(-)，异介于正和反之间. 或 u d +Bi+c j. (11) 在虚实型同异反系统中，“同”是实1)的，“反”是虚 3)向量型 (-1)2的，“异”介于实和虚之间等等.但在不少问 C 题中，对2个集合的关系作同异反3个层次刻划仍 (12 ay by cr 显得过于粗糙，不能满足问题要求的精度，因此需要 对同异反这3个层次作进一步的分解，例如对一个 2.4.3 三维同异反系统的数学模型 系统的智能程度作高度智能、一般智能、有些智能、 1)线性模型 没有智能的4个层次刻划，对国民体质作优、良、一 ux as bsi +cxj,(13) 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
图 6 三维同异反系统 Fig. 6 Three2dimensional identical2 discrepancy2contrary systems 见的高维同异反系统有四维同异反系统、五维同异 反系统等等. 例如在“教师素质 - 教材 - 学生素质” 这个三维同异反系统中增加一个研究对象“教学管 理”,则得到一个“教学管理 - 教师素质 - 教材 - 学 生素质”四维同异反系统 ,若再要考虑“教育方法”与 其他研究对象的同异反关系 ,则得到一个“教学管理 - 教师素质 - 教育方法 - 教材 - 学生素质”五维同 异反系统. 类似地 , 把“信息 —知识 —智能“展开为 “信息 —知识 —智能决策 —智能行为 —预期目的”, 就得到了一个五维同异反系统 ,如此等等. 以上是从同异反系统所具空间维数的角度对常 见同异反系统的一种分类;还可以根据“反”的分类 把同异反系统分成倒数型同异反系统、有无型同异 反系统、正负型同异反系统、虚实型同异反系统、互 补型同异反系统等等 ,这种类型划分与维数类型结 合 ,又可以分成更为具体的 N 维 X 型对立同异反 系统 ,在此不再详述. 概言之 ,一维到高维同异反系统也可以统称为 N ( N ≥1) 维同异反系统. 根据问题要求在 N 维空 间中定义具体的“同”“、异”“、反”,则常见的 N 维空 间就是一个开放的 N 维同异反系统. 2. 3 同异反系统的同异反分解 从系统科学的角度看 ,同异反系统中的同、异、 反是 3 个不同的层次. 例如在正负型同异反系统中 , 同是正的( + ) ,反是负的 ( - ) ,异介于正和反之间. 在虚实型同异反系统中“, 同”是实 (1) 的“, 反”是虚 ( - 1) 1/ 2的“, 异”介于实和虚之间等等. 但在不少问 题中 ,对 2 个集合的关系作同异反 3 个层次刻划仍 显得过于粗糙 ,不能满足问题要求的精度 ,因此需要 对同异反这 3 个层次作进一步的分解 ,例如对一个 系统的智能程度作高度智能、一般智能、有些智能、 没有智能的 4 个层次刻划 ,对国民体质作优、良、一 般、及格、差 5 个层次刻划[42 ]等等. 具体作多少层次 的刻划视具体问题而定. 容易看出 ,尽管一个同异反系统可从理论上作 无穷层次分解 ,但一些实际的同异反系统层次往往 是有限的. 如用百分制记述学生成绩 , 最多只能设 100 个“层次”,超出 100 个就没有了实际意义 ,事实 上对学生成绩分为优、良、一般、合格、较差、差这样 6 个“层次”时 ,已满足大部分问题分析的需要. 这说 明实际的同异反系统存在“同、异、反”的“最小颗 粒”. 2. 4 同异反系统的数学模型 2. 4. 1 一维同异反系统的联系数模型 对一维正负型同异反系统来说 ,其数学模型就 是同异反联系数 : u = A + Bi + Cj . (4) 式中 :A 、B 、C 依次称为同一数、差异数、对立数 ,以 及对式(4) 作归一化处理后得到的联系度 : μ = a + bi + cj . (5) 式中 : a、b、c 依次称为同一度、差异度、对立度 ,它们 分别是对一维同异反系统同一程度、差异程度、对立 程度的刻画 ,统称为联系分量 ,式(4) 和式(5) 也称为 三元联系数. 为方便计 ,以下仅以式 (5) 作进一步讨 论 ,由于式(5) 可以写成向量的形式 ,所以一维同异 反系统还有以下的向量模型 : [ a , b, c] 1 i j = a bi cj . (6) 2. 4. 2 二维同异反系统的数学模型 1) 线性模型 ux = ax + bx i + cx j . (7) uy = ay + by i + cy j . (8) u( x , y) = min ( ax , ay ) + [1 - min ( ax , ay ) - max ( cx , cy ) ]i + jmax ( cx , cy ) . (9) 2) 二次函数型 uxy = f ( ax , ay ) + f ( bx , by ) i + f ( cx , cy ) j. (10) 或 u = a 2 + b 2 i + c 2 j. (11) 3) 向量型 U = ax bx cx ay by cy 1 i j = ux uy . (12) 2. 4. 3 三维同异反系统的数学模型 1) 线性模型 ux = ax + bx i + cx j , (13) 第 5 期 赵克勤 :SPA 的同异反系统理论在人工智能研究中的应用 ·25 ·
·26- 智能系统学报 第2卷 4=a,+bi+cj,14) 接和间接的联系， 让=a:+bci+cj,(15) 3)复杂性.同异反系统是复杂系统.这种复杂性 urx.y min(ax ay,a:)+1 min(ax,ay,a:)- 主要体现在不同层次上的同异反相互嵌套。 max(cs,c.c:)Ji,+jmax(cs,cy.c).(16) 4)转化性.同异反系统中的同异反在一定条件 2)三次函数型： 下相互转化. ugyz =f(as,ay.a:)+f(bs,by,b)i+f(cs.cy,c)j. 5)无限可分性.从理论上说，同异反系统具有无 (17) 限可分性，但实际同异反系统可能是有限的，原因是 或 u=d +bi+c j. (18) 实际同异反系统可能存在“同、异、反”的“最小颗 3)向量型 粒” as bx 「 6叠加性.对N个同异反系统作叠加、交叉、加 U= ay by Cy (19) 权等变换，所得的系统一般仍是同异反系统， a:b:c: 7)分形性.体现在同、异、反的每个部分各自都 2.4.4同异反系统分解的数学模型 可以分出“同、异、反” 这里仅给出一维同异反系统分解数学模型： 8)不确定性.二者的区别在于：不确定性系统突 μ=am⊙…⊙an+bi⊙bhih⊙… 出的是不确定性与确定性的联系与转化，同异反系 ⊙bmin+aji⊙aj力⊙…⊙cmjn, 20) 统突出的是在不计不确定性条件下同异反的联系与 或写成μ=∑ak⊙i∑bs⊙j∑ak. 21) 转化， 二维和二维以上的同异反系统分解数学模型读者可 9)同异反系统与系统所在环境的物质、信息、能 自行导出 量交换一般也具有同异反特征： 10)同异反系统状态及其态势，由联系数中同异 3同异反系统理论 反联系分量的大小关系刻划： )层次性.同异反系统是一个层次系统.见图 对于展开后的同异反系统，其同异反系统态势 7.这是由于①从同异反系统的数学模型看，在一级 排序规模庞大；为此，这里对异部bi作“bi+血2” 联系分量中，A是正的，CJ是负的，B1处在正负之 (这里是把bi分成“bi1,bn两部分的意思)展开的 间：②从图7看，每一个二级同异反显然与一级同异 同异反系统作一说明.由于这时的同异反系统数学 反存在层次关系：③下一级的同异反联系与转化与 模型是： 上一级的同异反联系与转化也“层次分明” μ=a+bi+b加n+g 21) 为方便计，把21)式改写成： 同异反系统 μ=a+M+c+dk 22) 同性 [差异性 对立性 式22)也称为同异反四元联系数，简称四元联 司中同中同中 异中异中 异中 反中反中反中 系数，其中a、bi、cj、dk依次称为四元联系数的同 有同有有反 有同有异有反 在同有是有反 部、偏同部、偏反部、反部，根据联系分量a、b、c、d的 同异反互相 同异反互相 同异反互相 大小关系可得到基于四元联系数的同异反系统状态 联系过渡转化 联系过渡转化 联系过渡转化 及态势排序43.44 同异反 需要注意的是：王霞在文献[451中指出了同异 反系统状态的代数排序与数值排序并非一致，数值 同一性 差异性 对立性 排序更为精确，有关代数排序与数值排序的关系还 待进一步研究 图7同异反系统展开示意图 11)同异反系统是发展着的系统，其发展趋势用 Fig.7 Sketch map of expansion of 阶或多阶偏联系数刻划o.46 identical-discrepancy-contrary systems 12)联系熵是同异反系统的一个重要参数.同异 2)网络性.同异反系统是一个网络系统.其网 反系统中有同熵、异熵、反熵概念，但同熵、异熵、反 络性主要体现在同异反系统中的不同层次仍具有直 熵是一个熵系统，称为同异反联系熵或简称联系熵 据此可以把一些概念统一起来？.联系熵己在多 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
uy = ay + by i + cy j , (14) uz = az + bz i + cz j , (15) u( x , y) = min ( ax , ay , az ) + [1 - min ( ax , ay , az ) - max ( cx , cy , cz ) ]i , + jmax ( cx , cy , cz ) . (16) 2) 三次函数型 : uxyz = f ( ax , ay , az ) + f ( bx , by , bz ) i + f ( cx , cy , cz ) j. (17) 或 u = a 3 + b 3 i + c 3 j. (18) 3) 向量型 U = ax bx cx ay by cy az bz cz 1 i j = ux uy uz . (19) 2. 4. 4 同异反系统分解的数学模型 这里仅给出一维同异反系统分解数学模型 : μ = a1 © a2 … © an + b1 i1 © b2 i2 © … © bn i n + c1 j1 © c2 j2 © … © cn j n , (20) 或写成 μ = ∑ak © i ∑bk © j ∑ak . (21) 二维和二维以上的同异反系统分解数学模型读者可 自行导出. 3 同异反系统理论 1) 层次性. 同异反系统是一个层次系统. 见图 7. 这是由于 ①从同异反系统的数学模型看 ,在一级 联系分量中 , A 是正的 , CJ 是负的 , B I 处在正负之 间; ②从图 7 看 ,每一个二级同异反显然与一级同异 反存在层次关系; ③下一级的同异反联系与转化与 上一级的同异反联系与转化也“层次分明”. 图 7 同异反系统展开示意图 Fig. 7 Sketch map of expansion of identical2discrepancy2contrary systems 2) 网络性. 同异反系统是一个网络系统. 其网 络性主要体现在同异反系统中的不同层次仍具有直 接和间接的联系. 3) 复杂性. 同异反系统是复杂系统. 这种复杂性 主要体现在不同层次上的同异反相互嵌套. 4) 转化性. 同异反系统中的同异反在一定条件 下相互转化. 5) 无限可分性. 从理论上说 ,同异反系统具有无 限可分性 ,但实际同异反系统可能是有限的 ,原因是 实际同异反系统可能存在“同、异、反”的“最小颗 粒”. 6) 叠加性. 对 N 个同异反系统作叠加、交叉、加 权等变换 ,所得的系统一般仍是同异反系统. 7) 分形性. 体现在同、异、反的每个部分各自都 可以分出“同、异、反”. 8) 不确定性. 二者的区别在于 :不确定性系统突 出的是不确定性与确定性的联系与转化 ,同异反系 统突出的是在不计不确定性条件下同异反的联系与 转化. 9) 同异反系统与系统所在环境的物质、信息、能 量交换一般也具有同异反特征. 10) 同异反系统状态及其态势 ,由联系数中同异 反联系分量的大小关系刻划. 对于展开后的同异反系统 ,其同异反系统态势 排序规模庞大;为此 ,这里对异部 bi 作“b1 i1 + b2 i2” (这里是把 bi 分成“b1 i1 , b2 i2 两部分的意思) 展开的 同异反系统作一说明. 由于这时的同异反系统数学 模型是 : μ = a + b1 i1 + b2 i2 + cj . (21) 为方便计 ,把(21) 式改写成 : μ = a + bi + cj + dk . (22) 式(22) 也称为同异反四元联系数 ,简称四元联 系数 ,其中 a、bi、cj、dk 依次称为四元联系数的同 部、偏同部、偏反部、反部 ,根据联系分量 a、b、c、d 的 大小关系可得到基于四元联系数的同异反系统状态 及态势排序[43 - 44 ] . 需要注意的是 : 王霞在文献[45 ]中指出了同异 反系统状态的代数排序与数值排序并非一致 ,数值 排序更为精确 ,有关代数排序与数值排序的关系还 待进一步研究. 11) 同异反系统是发展着的系统 ,其发展趋势用 一阶或多阶偏联系数刻划[40 ,46 ] . 12) 联系熵是同异反系统的一个重要参数. 同异 反系统中有同熵、异熵、反熵概念 ,但同熵、异熵、反 熵是一个熵系统 ,称为同异反联系熵或简称联系熵 , 据此可以把一些概念统一起来[47 - 49 ] . 联系熵已在多 ·26 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷