第十六章二次根式 教学目标 1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子; 2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算 教学重点和难点 重点:含二次根式的式子的混合运算 难点:综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子 教学过程设计 、复习 1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质?用式子表示出来,并说明各式成立的条件 指出:二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的,主要应用于化简二次 根式 2.二次根式的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来 指出:二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除 √a 先写成分式形式,即+Mbv·再运用二次根式的除法法则进行计算,计算, 计算结果要把分母有理化 3.在二次根式的化简或计算中,还常用到以下两个二次根式的关系式 1)a=(a)2(a≥0);(2)al=√a2 4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中,常运用三个可逆的式子: (1)(√a)2=a(a>0)与a=(√a)2(a>0); (2)的b=√a·√b(a>0,b>0)与a√6=√ab(a>0,b>0); a√a a (a>0,b>0)与 (a≥0,b>0)
第十六章 二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次 根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
例如,化简 7 可以用3种方法 √7 (1)直接约分 77 (2)分母有理化 √()2 (3)看作二次根式的除法 7√49 5.a不一定能化成(:.Vy7 当a≥0时,如(√5)2=32=(5)2,(√)2=√02=(√6)2,此时,√a (a)2;当a<0时,√(-2)2=2=(2)2,但、2无意义,所以√(-2)2≠(√-2)2,此 时a2≠(a)2 例题 例1x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义 (3-x+x-2,()2x 3)√2z+√=2 2 分析 (1)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (2)题中,式子的分母不能为零,即x不能取使1-√x2=0的值 (3)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义; (4)题的分子是二次根式,分母是含x的单项式,因此x的取值必须使二次根式有 意义,同时使分母的值不等于零 解(1)要使3-有意义,必须3-x>0,即x≤3;要使x-2有意义,必须x-2>0, 即x≥2.所以使式子√3-x+z-2有意义的x值为2≤x3 (2)因为1-x2=11x,当x=±1时,12=0,原式没有意义,所以当x≠±1时
二、例题 例 1 x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含 x 的单项式，因此 x 的取值必须使二次根式有 意义，同时使分母的值不等于零．
式子 有意义 (3)因为使√2x有意义的x值为x>0,使=2x有意义的取值为x≤0,所以使、2x +√-2x有意义的x值为x=0 (4因为使√x+2有意义的取值为x+2>0,即x>-2,而分母3≠0,即x≠0,所 以使式子有意义的x取值为 X≥-2且x≠0 9+ +4 例2已知m,n为实数,且满足m= 求6m-3n的值 分析:先根据己知条件求出m与n的值,冉求多项式6m-3n的值.二次根式√n2-9 与9-n2有意义的条件分别是n2-9>0及9-n2>0,从中求得n的值,从而确定m的值 解因为n2-9≥0,9-n2≥0,且n-3≠0,所以n2=9且n≠3,所以 √9-n2+442 n 6m-3n=6×(-2)-3(-3)=5 指出:例和例2主要复习二次根式的意义,即当a≥0时,二次根式a有意义 例3 计算 分析:第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分 解因式后,再利用二次根式的基本性质把式子化简,化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a>0
x≥-2 且 x≠0． 解因为 n 2 -9≥0，9-n 2≥0，且 n-3≠0，所以 n 2 =9 且 n≠3，所以 例 3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分 解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件 3-a ≥0 和 1-a＞0．
解因为1-a>0,3-a≥0,所以 (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0 a2-4a+3a-2√1-a(a-1(a-3)a-2 (a-1(a-3a-2 √a-1)(a-3 2-a 3-a1 √1-a√1 指出:由于二次根式的基本性质√a=a要由a的取值范围确定,即 0) √6 成立的条件是a>0及b≥0(a≥0,b>0),因此在运用 这些性质化简含二次根式的式子时,要注意上述条件,并要阐述清楚是怎样满足 这些条件的. 例4已知 求 4的值 问:上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式? 答(-)+4-2+-2(192-2
解 因为 1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足 这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
问:如何确定a+及a的值是正值还是负值? 答,可由已知条件a=万+、V3-、>0,2-+,知a+>0. a--=(√/3 (√3-√2)-(3+√2) =22<0 解 -- 当 a=+ 时 原式=2a=2(3-√2)=23-2√2 分析:先把第二个式子化简,再把两个式子进行通分,然后进行计算 例5计算+x+一x+-2-1+x 解 1+ X √1+x+√1-x√1+x2-1+x √1 1+x2-1+x +X 1+x(+x-√1 -x)+1 x(√1+x+√1-x) (√1+x+√1-x)(√1+x
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算． 解