第一节流体微团运动的分析 转动 同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团,转动前流 体微团的各边分别与坐标轴平行,为讨论方便起见,我们先讨 论流体微团绕垂直于xoy平面的轴(z轴)转动的情况,如图4-2所 示。设O点在x轴和y轴方向的速度分量分别为u和u。当A点 在y轴方向的分速度不同于O点在y轴方向的分速度及B点在x轴 方向的分速度不同于O点在x轴方向的分速度时,流体微团才 会发生旋转。A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速 度可按泰勒级数展开,并略去高阶无穷小量而得到,它们分别 为 dx和u.+-d ax
第一节 流体微团运动的分析 二、转动 同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流 体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨 论流体微团绕垂直于xoy平面的轴(z轴)转动的情况，如图4-2所 示。设O点在x轴和y轴方向的速度分量分别为ux和uy。当A点 在y轴方向的分速度不同于O点在y轴方向的分速度及B点在x轴 方向的分速度不同于O点在x轴方向的分速度时，流体微团才 会发生旋转。A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速 度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别 为 y y u x u x u u x x y y d d + + 和
第一节流体微团运动的分析 y au +可y = B B t uy+ d z dx A x 图4-2微团旋转运动分析
第一节 流体微团运动的分析 图4-2 微团旋转运动分析
第一节流体微团运动的分析 它们相对于O点的对应分速度(相对于O点的线速度)分别为 dx和 所以它们相对于O点的角速度(逆时针方向旋转为正)应分别为 A点上Ol ydx/dx=y ax B点dy/dy=-0y 而对于微团中其它各点绕z轴转动的角速度(如C点等)则是由 该点y向的分速度在x轴方向的变化量和x向的分速度在y轴方向 的变化量共同产生的。因此我们可以把整个微团绕z轴转动的
第一节 流体微团运动的分析 它们相对于O点的对应分速度(相对于O点的线速度)分别为 所以它们相对于O点的角速度(逆时针方向旋转为正)应分别为 A点上 B点上 而对于微团中其它各点绕z轴转动的角速度（如C点等）则是由 该点y向的分速度在x轴方向的变化量和x向的分速度在y轴方向 的变化量共同产生的。因此,我们可以把整个微团绕z轴转动的 y y u x x uy x d d 和 y u y y y u x u x x x u x x y y = − − = d / d d / d
第一节流体微团运动的分析 分角速度用OA与OB在xoy平面内的平均角速度来表示,即 ou. a 2 Ox dy 同理,可求得流体微团绕x轴和y轴转动的角速度分量和oye 于是流体微团旋转角速度ω的三个分量分别为 au a 20 az l auau 20z0x 4-1 10a 2 ax a
第一节 流体微团运动的分析 分角速度用OA与OB在xoy平面内的平均角速度来表示，即 同理，可求得流体微团绕x轴和y轴转动的角速度分量ω x和ω y。 于是流体微团旋转角速度ω的三个分量分别为 (4-1) ( ) 2 1 y u x uy x z − = − = − = − = ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 y u x u x u z u z u y u y x z x z y z y x
第一节流体微团运动的分析 而 =、02+2+a 4-2 写成向量形式为 =0、1+O,j+O,k=V×= -rot u k rotu= Ox av az au a y az ax ax 00 式中0x+O为哈米尔顿算子,Ot为速度
第一节 流体微团运动的分析 而 (4-2) 写成向量形式为 (4-3) 式中 为哈米尔顿算子， 为速度 2 2 2 = x +y +z x i y j z k u u rot 2 1 2 1 = + + = = k y u x u j x u z u i z u y u u u u x y z i j k u z y x z y x x y z ( ) ( ) ( ) rot − + − + − = = k z j y i x + + = u rot u