第三章水动力学理论基础 本章提要 1.描述液体运动的两种方法 描述液体运动的方法有拉格朗日法和欧拉法两种。拉格朗日法以液体质点为研究对象 研究各液体质点在不同时刻的运动情况,时间是变量;欧拉法是以充满运动液体质点的空间 流场为研究对象,研究流场中各液体质点在同一时刻的运动情况,时间是参变量。学习时 应注意两种研究方法的区别与联系,重点掌握欧拉法的基本思想。 2.研究液体运动的若干基本概念 流场中液体的运动要素不随时间变化的流动称为恒定流(或定常流),反之称为非恒定流 (或非定常流)。恒定流时当地加速度为零 液体质点运动的轨迹称为迹线。若某时刻在流场中画出一条空间曲线在该时刻,曲线 t所有质点的流速矢量均与这条空间曲线相切,则这条空间曲线称为流线。恒定流时流线的 形状不随时间变化且与迹线重合。一般情况下,流线不能相交,且只能是一条光滑曲线 过水面积无限小的流束称为元流。许多元流的有限集合体称为总流 与元流或总流流线正交的横断面称为过水断面。单位时间内通过过水断面的液体体积称 为流量。 总流过水断面上各点的实际流速是不相等的,为了使研究简化,引入断面平均流速的概 念。断面平均流速是假想均匀分布在过水断面上的流速,以它通过的流量与实际流速分布通 过的流量相等 水流的流线是相互平行的直线时称为均匀流,否则称为非均匀流。均匀流时迁移加速度 为零。 当水流的流线几乎是平行的直线,或者虽有弯曲但曲率半径很大,则称为渐变流,否则称 为急变流。渐变流过水断面具有两个重要性质:①过水断面近似为平面;②过水断面上动水 压强近似按静水压强分布,即 P≈常数 3.连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在水力学中的具体体现,属运动学方程,不涉及任何作用力 对理想液体和实际液体都适用。 (1)连续性微分方程
du. du a dxdiag 对于恒定流和非恒定流均适用。凡是实际存在的不可压缩流体流动均应处处满足该方程。 (2)恒定总流的连续性方程 U1 A1=12A2=Q 式中,A为过水断面面积。 对于沿程有流量流进或流出的情况,总流的连续性方程在形式上需作相应的修正,即 Q1±Q=Q2 式中,Q为流进(取正号)或流出(取负号)的流量。 4.能量方程 能量方程(或称伯努利方程)是能量守恒定律在水力学中的具体体现,是水力学的核 心。 能量方程有理想液体方程和实际液体方程之分,还有元流方程和总流方程之分。应重点 掌握实际液体恒定总流的能量方程 a2 U2 深刻理解方程的几何意义物理意义和应用条件。 对于有分又的管流或明渠流能量方程仍可应用,因为能量方程是对单位重量液体而言 的。 对于研究范围内有能量输入或输出时,总流的能量方程应作如下修正 y22n5x+2+h PI aIUt 式中,H为输入(取正号)或输出(取负号)的能量。 5.恒定总流的动量方程 恒定总流的动量方程 ∑F=PQ(月22-月1v1) 是动量守恒定律在水力学中的具体体现。该方程反映了水流动量变化与作用力之间的关系, 对于有些水头损失事先难以确定的水力学问题,用其分析常常是十分方便的。 动量方程是矢量方程应用时宜视其方便选取投影轴,并注意各力和速度的正负号。 恒定总流的连续性方程能量方程和动量方程是分析水流问题,进行水力计算最重要、最 常用的三大基本方程,是水动力学的主干,应熟练掌握并灵活运用。 例题分析 例3-1试判断分析不可压缩液流u1=∫(y,z),4="2=0是否存在?若存在,则属于什 么流动
au. du. du 分析判断液流是否存在,主要看其是否满足连续性微分方程。本题 0,有ax+可z2=0,满足连续性微分方程故该液流存在。 因液流的当地加速度=0,故该液流为恒定流 流速a=f(y,z)与x坐标无关故该液流为-元流 液流的迁移加速度(uV)u=0,故该液流为均匀流 例3-2宽度为b的平坡矩形明渠流速分布的经验公式为 这里h为水 ,y为距渠底的铅垂距离,am为水面流速。试求流量Q和断面平均流速v。 解如图3-1所示,取微面积dA=bdy,则 Q u da b d 7 hh 图3-1 例3-3关于水流流向问题有如下一些说法 ①水一定是从高处向低处流; ②水一定是从压强大处向压强小处流 ③水一定是从流速大处向流速小处流 ④水一定是从机械能大处向机械能小处流 试选择正确的说法。 解④是正确的。据上、下游两过水断面列能量方程,由于水头损失hn>0,故知上游断 面机械能总是大于下游断面机械能。 例3-4水流通过图3-2所示管路流入大气中, 已知U形测压计中水银柱高差b=0.2m,h1=0.72 ,h=5m,管径山=0.0m,d=0.05m,流量Q飞 =0.03m3/s,试求1-1断面至管路喷嘴出口间的水 头损失h 解以2-2为基准面,对1-12--2断面建立 总流的能量方程(计算点均取在管轴上) =0+0 g 式中 图3-2
4Q_4×0.023 3.14X0.7=2.93ms (连续性方程) 40 n:==314×005=112m 因NN为等压面,据水静力学基本方程有 y, hp 取a1=a2=1.0 h,=h2+b-h1+(好-) =5+13.6×0.2-0.72+ (2932-11.72) =0.43mH20 例3-5-U形水银差压计连接于直角弯管,如图3-3所示。已知管径d2=300m,d2= 100mm,当管中流量Q=100/s时,试求水银差压 计读数b(不计水头损失)。 解取00基准面,对1-1,22断面建立 总流的能量方程(计算点均取在管轴上) 0+2+n=2+P2+92吃2+0 g 式中 0 4 d-3.14×0.3 =1.42m/s (连续性方程) Q_4×0.1 rd23.14×0.12 图3-3 =12.74m/s 据水银差压计原理有 P 2 hp =12. 6 h b=i6×24(2-)=n2.6X2X9.812.4-1.42)=0.69m 本题要重点弄清差压计原理,差压计是测两压源的势能(测压管水头)差。 例36离心式通风机借集流器A从大气中汲入空气(如图34所示),在直径d=200 m的国柱形管道部分接一根下端插入盛水容器的玻璃管,若玻璃管中的水上升H=150m 试求通风机流量Q。已知空气的密度P(=1.29kgm。 解取管轴为00基准面,对1-122断面建立总流的能量方程(计算点均取在管轴 上)
Q D 式中,P可据盛水容器由水静力学基本方程求得,即 +y求H=0 取 2g·H=、2g"H Q P水 3.14 4×0.242x9.81.29×0.5=15m/s 本题在选取过流断面时应注意:1-1断面应选在离集流器进口足够远处(为什么?),此处 的流速与集流器内的流速相比,可忽略不计,22断面必须选在图示位置,以便使压强p同已 知条件联系起来 例37图3-5所示为嵌人支座内的-段输水管(俯视图),其直径由d1=15m变到d2 =1.0m。当p1=19kPa(相对压强)流量Q=1.8m/s时,求 支座所受的水平力R。不计水头损失。 解对1-1、2-2断面建立总流的能量方程 22 +0 式中 4Q_4x18 rd3.14×1.53 (连续性方程) d-3,14×1.0 取a1=a2=1.0 p2=p1+号(n2-n)=1900410(1.02-2.9)=19885N