z5=p51x1+52x2+53x3+p54z4 [ps1+ps2p21+ps3(p3+p3p21)+ps4(p41+p4221+p4 p31+p43p32p21)]z1 (p51+ps2p21+ps3p31+p5力32p21+p54p41+p54p2p21+p54力43 p31+ps4p43p32p21)21 (2-4’) 在这一简化型中,我们可以看出括号内第一项仍然表示z1对z5的直接影 响,其他各项均表示z1通过某种途径传递到z5上的间接影响。比如,第三项间 接影响是x1通过x2、再通过z3传递至x5的间接影响。七项间接影响的代数和 即为总间接影响。而直接影响与总间接影响的代数和就是总影响。这个总影响实 际上就是z5对z1简单回归的标准化系数 根据通径分析,可以知道在从一个简单回归模型(实际上是一个最简单的通 径分析模型)到一个有较多中间变量的通径分析模型,外生变量对最终结果变量 之间的总影响是不变的。可见,通过通径分析的分解,我们能够对于简单回归结 果有了更进一步的理解,并且我们可以将其标准化回归系数分解为直接作用与各 项间接作用,进一步了解这些作用部分的相对大小和作用方向。毫无疑问,这种 分解可以大大加深我们对事物的理解,十分有助于实际决策的制定。 在有多个外生变量的情况下,用同样的方法可以将内生变量表达以多个外生 变量表达的简化型。 3.在控制某些变量的条件下的总影响的分解工作 在研究工作中,除了需要分析一个原因变量对结果变量的总影响并将其分解 为直接作用、各种间接作用以外,常常还需要知道在控制某些中间变量的作用以 后上述各种影响的强度和方向。这一需要导致了本小节所要介绍的分析技术的产 生。 关于“控制”这一概念是整个统计研究的一个极为重要的内容。这里所说的 控制的目的是为获得净作用,并且采取的是统计调整法手段。在多元回归中我们 已经介绍了这种控制的概念。在通径分析中的控制,实际上是分析如果控制变量 处被阻断以后,原因变量还能发挥哪些作用。 有了这个原则,我们再用前一个例子来示范在控制某些变量的条件下的总影 响的分解工作。比如,当上例中的x2为控制变量时,那么凡是经z2发出或传递 的影响全要表达为z2的函数,其他的影响则表达为z1的函数。 先将式2代入式23中,将x4转换为x1或z2的函数表达式 z4=p4121+p422+p43(p3121+p322) 155
=(p41+p43p31)x1+(内42+p4332)x2 (23’) 再将式22和式2-3’代入式24中分别取代z3和4,于是将zs转换为c1 或x2的函数表达式 s5=ps1x1+psx2+ps(p311+p3x2)+ps;[(p41+p43t31)x1+(p2 (p51+p53P31+ P54 p4l+ p54 p43 p31)21+(p5+p5 P32+ psp+ +ps4p43p32) (2-4”’) 这时我们就得到了最终反映变量以z1或z2的函数表达式。这个表达式在通 径分析中称为偏简化式( partial reduced form)。如果我们将两个括号中的内容只 看做一个系数,可以将其理解是x5对x1和x2的回归方程,即在控制条件下 z1和z2各自对x5的净影响。那么,两个括号里的内容可以理解为标准化的偏 回归系数。但是偏简化式又与一般的多元回归不同,因为它对这两个标准化的偏 回归系数进行了进一步的分解,明确表示了一个变量在控制另一个变量的条件下 对于结果变量的种种不同影响部分。当然我们可以得到每一通径上的影响作用 总的间接影响和总影响。 4.标准化与非标准化的通径系数 前面所介绍的通径分析中,全都采用了标准化的变量,各联立方程回归时截 距都等于0,因此这一项被省略了。这种方式在公式表达时显得十分简明。然 而,通径分析也完全可以采用非标准化的变量。我们仅举一简单例子加以说明。 对应本节第一小节的联立方程组通径模型,如果采用原始变量x1,x2和 那么有联立方程组 x2=a2+p21x1 p31x1-p32 (1-2) 用式1-1代入式1-2以后,我们有 x3=a3+p31x1+p32(a2+p21x1) =a3+p31x1+p32a2+p3221x1 (a3+p2a2)+(p31+p2p21)x1 于是,我们看到在式12中最终反映变量x3被表达为x1的函数时,除了 将非标准化的简单回归系数分解为直接影响和间接影响以外,还表示出x3对x 进行简单回归时所得到的截距也可以分解为两部分:一部分是x3对x1、x2进 行多元回归时产生的截距a3,另一部分是中间变量x2对x1进行回归时产生的