例21.3均质细长直杆长为L,质量为m,杆的 一段与以质量为M的,外径为2R的,内径为2r 的均质元环相固连,求该刚体对过杆的另 端0且垂直于刚体所在平面的轴的转动惯量 解 (1)设C1,C2分别为杆,圆环的质心
例21.3均质细长直杆长为L,质量为m,杆的 一段与以质量为M的,外径为2R的,内径为2r 的均质元环相固连,求该刚体对过杆的另一 端O且垂直于刚体所在平面的轴的转动惯量 o c1 c2 (1) 设 c1 , c2 分别为杆,圆环的质心, 解:
刚体可看成是由这三部分组成的: #1杆,质量为 MTr m (rr) #2半径为r,中心在C2处的均质圆盘1,质量为 M m2=M+ IR-r) #3半径为R,中心也在C2处的均质圆盘2
刚体可看成是由这三部分组成的: ( ) 2 2 2 1 R r m M r − = − ( ) 2 2 2 2 R r m M r M − = + #2半径为r,中心在 c2 处的均质圆盘1,质量为 #3半径为R,中心也在 c2 处的均质圆盘2 #1杆,质量为
杆 杆 +m(OC)2=m2+m( L -ml O 12 23 圆盘1 圆盘1 O C+m (oc,)'=mir +m, (L+ R)2 圆盘2 圆盘2 O O C2 n2 2)2=m2R+m2(L+R2 2 于是 Jo=J O×y圆盘1,圆盘2 杆 O O 1 =mL +M(r +r)+M(L+ r) 2
于是 J O J O J O J O 杆 圆盘1 圆盘2 = + + 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 1 3 1 = m L + M R + r + M L + R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 3 1 ) 2 ( 12 1 ( ) 2 2 1 OC L R C OC L R C m L L m OC m L m C J J m m R m J J m m r m J J O O O = + = + + = + = + + = + = + = 圆盘 圆盘 圆盘 圆盘 杆 杆
3刚体对任意轴的转动惯量公式 如图所示L为空间任 轴以A为原点建立任 一与刚体固连的直角 坐标系Axyz则轴正 A 余为个方向的 向在Axy xX ['=cosaii+ cos Bi+cosr is 式中p,i12i2i3分别矢量为L,xyz轴正向的单位
3.刚体对任意轴的转动惯量公式 y x z A l 0 L d m r1 如图所示,L为空间任一 轴,以A为原点建立任 一与刚体固连的直角 坐标系 则L轴正 向在 三个方向的 余弦为 Axyz Axyz l i1 i2 i3 0 = cos + cos + cos 式中 l 0 , , , i1 i2 i3 分别矢量为L,x,y,z轴正向的单位
设质量为dm的微元相对于A的矢径为r;它在 Axy中的坐标为(xy,z),该微元到轴的 距离的平方为 2 式中r1=r=xcos+ycos+zcy r-x +y+z cosa+cos2β+cos2y=1 得 p=(y+2)cos a+(z+x)cos B+(x +y)cos n 2xycos a cos B-2 yz cos B cos cos a cosy
设质量为 的微元相对于A的矢径为r,它在 中的坐标为 ,该微元到L轴的 距离的平方为 dm Axyz (x, y,z) 2 2 2 rl = r − 式中 cos cos cos 0 r x y z rl l = • = + + r x y z 2 2 2 2 = + + cos cos cos 1 2 2 2 + + = 得 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y yz x z y z z x x y − − − = + + + + +