4r2C >0， 4r2C<1 根据近似计算，当x很小时，√1一x≈1- 4效)片 ∴.=Uo(1-e 对上式微分，可得电流过零时的恢复电压上升速度(Vs)为 d u, dt =o L 由上式可知，触头并联电阻r可以降低恢复电压的上升速度，r 越小，恢复电压的上升速度越低
1 4 0 4 1 2 2 − > ∴ < L r C L r C ， 2 1 1 x 根据近似计算，当x很小时， − x ≈ − L r L r C rC rC = − ≈ − + − 2 4 1 2 1 2 1 2 α1 (1 e ) r 0 t L r u U − ∴ = − 对上式微分，可得电流过零时的恢复电压上升速度(V/s )为 0 0 r d d U L r t u t = = 由上式可知，触头并联电阻r可以降低恢复电压的上升速度，r 越小，恢复电压的上升速度越低
®当 时，特征根为共复根。 a-2+±8 -2*2}2发》-a B=(+0) a=)】
②当 L rC LC R 1 1 4 1 2 < − 时，特征根为共轭复根。 0 2 2 1,2 j 1 4 1 1 j 1 2 1 1 1 4 1 1 2 1 β ω α = ± ± − − = − + − ± − = − + L rC R L rC LC R L rC LC R L rC R = − + L rC R 1 2 1 β 2 0 1 4 1 1 = − − L rC R LC ω
将a1、a2代入，得 0 利用欧拉公式化简，得 -可w 可以看出，a1、a2为共轭复根时，弧隙电压恢复过程为衰减的 周期性振荡过程，如图所示，可以看出，周期性振荡过程的恢 。 复电压上升速度较快，幅值较大，给电弧的熄灭带来困难 如果断路器触头没有装设并联电阻，即=oo时，忽略R, B=0,o0=2πf0=- LC
将 α1 、α 2 代入，得 ( ) − − = + t t u U 1 2 e e 1 1 2 1 1 2 r 0 α α α α α α 利用欧拉公式化简，得 = + − t u U t t β ω ω ω β 1 sin cos e 0 0 0 r 0 可以看出，α1、α2为共轭复根时，弧隙电压恢复过程为衰减的 周期性振荡过程，如图所示，可以看出，周期性振荡过程的恢 复电压上升速度较快，幅值较大，给电弧的熄灭带来困难 。 β = 0 , LC f 1 ω0 = 2 π 0 = 如果断路器触头没有装设并联电阻，即r=∞时，忽略R
ur =uc =Uo(1-cos@ot) )周期性振荡过程中的弧隙恢复电压最大值可达2U, 如图所示。 b)上升速度取固有振荡频率的半个周期内的平均速度，由 dur=oosin @ot dt π 得 du du-dt=o dt πJ0 dt πJ0 @0Uo sin@otdt=4foUo ®当 时，为相等的负实根（重根）。 根摄刺始条件布公式，+(4+4 及其微分表达式，可求得41=-U0，A2=U0 不计R,从而得 ur =Uo[1-(1-at)ei]
(1 cos ) r 0 0 u u U t = C = − ω a) 周期性振荡过程中的弧隙恢复电压最大值可达2U0 ， 如图所示。 ③当 L rC LC R 1 1 4 1 2 = − 时，为相等的负实根(重根)。 根据初始条件和公式 t C A A t R r rU u 1 ( )e 1 2 0 α + + + = , 及其微分表达式，可求得 A1 = −U0 A2 = α1U0 不计R，从而得 [1 (1 )e ] 1 r 0 1 t u U t α = − −α b)上升速度取固有振荡频率的半个周期内的平均速度 ，由 U t t u 0 0 0 r sin d d = ω ω 0 0 0 0 π 0 0 r 0 π 0 0 av r sin d 4 π d d d d π d 0 t 0 U t t f U t u t u = = = ∫ ∫ ω ω 得 ω ω ω ω
由罗彼塔法则可知： 当t→o0时，u→U0 在此种情况下，弧隙电压恢复过程仍是非周期性的，但处在 临界情况。忽略R,临界并联电阻值为 a)当r≤r.时，弧隙电压恢复过程为非周期性。在断路 器触头间并联低值电阻（几欧至几十欧），可以改变弧隙电 压恢复过程的上升速度和幅值，可以将弧隙恢复电压由周期 性振荡特性恢复电压转变为非周期性恢复电压，大大降低了 恢复电压的上升速度和幅值，改善了断路器的灭弧条件。 b)当r>r时，弧隙电压恢复过程为周期振荡性过程， 对电弧熄灭不利
a) 当 r ≤ rcr 时，弧隙电压恢复过程为非周期性。在断路 器触头间并联低值电阻（几欧至几十欧），可以改变弧隙电 压恢复过程的上升速度和幅值，可以将弧隙恢复电压由周期 性振荡特性恢复电压转变为非周期性恢复电压，大大降低了 恢复电压的上升速度和幅值，改善了断路器的灭弧条件 。 b) 当 r > rcr 时，弧隙电压恢复过程为周期振荡性过程， 对电弧熄灭不利。 由罗彼塔法则可知： 当 t → ∞ 时，ur → U0 在此种情况下，弧隙电压恢复过程仍是非周期性的，但处在 临界情况。忽略R，临界并联电阻值为 C L r 2 1 cr =