Introduction to Signal Processing 11 h(0)=0.25h(-2)+8(0)=0.25·0+1=1 h(1)）=0.25h(-1t8(1=0 h(2)=0.25h(0+6(2)=0.25=(0.5)2 h(3)=0.25h(1+6(3)=0 h(4)=0.25h(2)+8(4)=0.25×0.25=(0.25)4 因此，对任何n≥0，我们有： h(n)= (0.5)" n为偶数 0 n为奇数 我们也可以写成为： h=[1,0,(0.5)2,0,(0.5),…] 卷积方程为： yn=xm+0.52x(n-2)+0.54x(n-4)+… 例3.4.9求满足下列周期性因果冲激响应的R滤波器/O差分方程： hn)={2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,4,5,…} 解：如果将冲激响应延时四个时间单位，我们得到： hn-4)={0,0,0,0,23,4,5,2,3,4,5,…} 两式相减得到： h(n)-h(n-4)={2,3,4,5,0,0,0,0,0,0,0,0,…} 也就是说，n≥4的项相互抵消。Page114图解释。 我们可以将上式写作： h(n)-h(n-4)=26(n)+3δ(n-1)+46(n-2)+56(n-3) 得到： h(n)=h(n-4)+2δ(n)+36(n-1)+46(n-2)+56(n-3) 用前面例子中所介绍的方法，我们可以得到y()所满足的方程： y(n)=y(n-4)+2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2)+5x(n-3) 这以例子解释了怎样构造数字周期波形发生器。将要产生的波形假设为LTI系统的冲激响应， 在确定好系统的差分方程后，输入端施加冲激脉冲，输出端就是想要的波形。（§81.2） 更一般性，我们所关心的IR滤波器的冲激响应h(n)满足下述差分方程： h(n)= ∑a,hn-)+∑b,n-) i1 i=-0 或这写成显式表达式： h=ah1+azh(n-2)+..+auhy+bo+b+..+b 利用例3.4.7的方法，我们可以把上述两式写成：
Introduction to Signal Processing 11 h(0)=0.25h(-2)+δ(0)=0.25·0+1=1 h(1)=0.25h(-1)+δ(1)=0 h(2)=0.25h( 0)+δ(2)=0.25=(0.5)2 h(3)=0.25h(1)+δ(3)=0 h(4)=0.25h(2)+δ(4)=0.25×0.25=(0.25)4 因此，对任何 n≥0，我们有： = 为奇数 为偶数 n n h n n 0 (0.5) ( ) 我们也可以写成为： h=[1， 0， (0.5)2 ， 0，(0.5)4 ， …] 卷积方程为： yn = xn + 0.52 x(n − 2) + 0.54 x(n − 4) +L 例 3.4.9 求满足下列周期性因果冲激响应的 IIR 滤波器 I/O 差分方程： h(n) = {2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,4,5,L} 解：如果将冲激响应延时四个时间单位，我们得到： h(n − 4) = {0,0,0,0,2,3,4,5,2,3,4,5,L} 两式相减得到： h(n) − h(n − 4) = {2,3,4,5,0,0,0,0,0,0,0,0,L} 也就是说，n≥4 的项相互抵消。Page 114 图解释。 我们可以将上式写作： h(n) − h(n − 4) = 2δ (n) + 3δ (n −1) + 4δ (n − 2) + 5δ (n − 3) 得到： h(n) = h(n − 4) + 2δ (n) + 3δ (n −1) + 4δ (n − 2) + 5δ (n − 3) 用前面例子中所介绍的方法，我们可以得到 y(n)所满足的方程： y(n) = y(n − 4) + 2x(n) + 3x(n −1) + 4x(n − 2) + 5x(n − 3) 这以例子解释了怎样构造数字周期波形发生器。将要产生的波形假设为 LTI 系统的冲激响应， 在确定好系统的差分方程后，输入端施加冲激脉冲，输出端就是想要的波形。(§8.1.2) 更一般性，我们所关心的 IIR 滤波器的冲激响应 h(n)满足下述差分方程： ∑ ∑ = = = − + − M i L i i i h n a h n i b n i 1 0 ( ) ( ) δ ( ) 或这写成显式表达式： hn = a1hn−1 + a2 h n − +L+ aM hn−M + b0δ n + b1δ n−1 +L+ bLδ n−L ( 2) 利用例 3.4.7 的方法，我们可以把上述两式写成：
第三章 离散时间系统 12 y(n)=∑ayn-i)+∑bx(n-i) i-1 =0 或 yn=ayn-1+a2y(n-2)+...+auyn-M +boxn+bxn1+...+bLXn-L 我们将在讨论z变换后再探讨R滤波器的特性。需要提醒的一点是FIR滤波器可以认为是R 滤波其递归项不存在时的特殊情形。也就是说当递归项系数a=a2==a=O时，IR滤波器就是FIR滤 波器。 最后，FR和R滤波器数学上有几种等效的表达方式： I/O差分方程 卷积方程 冲激响应h( 传递函数H② 频域响应H(O)》 零点/极点图 框图和抽样处理算法 前面的这些例子总是在前三种方法之间来回倒换，从差分方程到冲激响应再到滤波的卷积形式。 后面我们将看到，这些例子中时域的繁琐的运算用z变换就可以避免了。 但是每一种表述方式都有不同的目的，并使我们对滤波器特性可以做不同的解释。比方说，我们 可以给滤波器提供我们期望的频域规范，也就是提出期望的H(⊙)。用滤波器设计方法，我们可以设计 一个滤波器的频域响应逼近这一函数。对R滤波器一般的设计手段是传递函数H(z),而FIR滤波器设 计的手段多为冲激响应h()。由传递函数H(z)或冲激响应h(n),我们可以得到实时实现该滤波器的框图。 §3.5因果性和稳定性 离散信号同模拟信号一样，可以划分为因果信号、反因果信号、混合信号。 因果信号咸右边信号引当且仅当n≥0时x(n)存在，n≤一1时，xn)不存在。这种信号是最常见 的信号。 反因果信号或叫佐边信号只有当n≤-1时，x(n)存在，而当n≥0，xn)不存在。混合信号或双边 信号既包含左边信号又包含右边信号。 时间起点，=0的设置完全是一种人为约定。一般说来，我们将时间起点设置为信号发生器合上 开关或我们开始处理的某个时间。因此，相对于某个给定的时间起点而言的双边信号，无非是我们开始 处理之前已经存在的信号。 LTI系统也可以根据其冲激响应h()是否是因果、反因果或双边二可以划分为因果系统、反因果 系统或混合系统。双边的（混合的）的LTI系统的冲激响应h(n),n的取值范围为一∞<n<∞，其I/O方 程为： n)=hm)xn-m） 这种系统不可能实时实现，因为上式可以展开为： y(n)=…+h2x(n+2)+h1x(n+1)+hx(n)+hx(n-1)+h2x(n-2)+…
第三章 离散时间系统 12 = ∑ ∑ − + − = = M i L i i i y n a y n i b x n i 1 0 ( ) ( ) ( ) 或 n n M n M n n L n L y a y a y n a y b x b x b x = 1 −1 + 2 − +L+ − + 0 + 1 −1 +L+ − ( 2) 我们将在讨论 z 变换后再探讨 IIR 滤波器的特性。需要提醒的一点是 FIR 滤波器可以认为是 IIR 滤波其递归项不存在时的特殊情形。也就是说当递归项系数 a1=a2=…=aM=0 时，IIR 滤波器就是 FIR 滤 波器。 最后，FIR 和 IIR 滤波器数学上有几种等效的表达方式： I/O 差分方程 卷积方程 冲激响应 h(n) 传递函数 H(z) 频域响应 H(ω) 零点/极点图 框图和抽样处理算法 前面的这些例子总是在前三种方法之间来回倒换，从差分方程到冲激响应再到滤波的卷积形式。 后面我们将看到，这些例子中时域的繁琐的运算用 z 变换就可以避免了。 但是每一种表述方式都有不同的目的，并使我们对滤波器特性可以做不同的解释。比方说，我们 可以给滤波器提供我们期望的频域规范，也就是提出期望的 H(ω)。用滤波器设计方法，我们可以设计 一个滤波器的频域响应逼近这一函数。对 IIR 滤波器一般的设计手段是传递函数 H(z)，而 FIR 滤波器设 计的手段多为冲激响应 h(n)。由传递函数 H(z)或冲激响应 h(n)，我们可以得到实时实现该滤波器的框图。 §3.5 因果性和稳定性 离散信号同模拟信号一样，可以划分为因果信号、反因果信号、混合信号。 因果信号或右边信号：当且仅当 n≥0 时 x(n)存在，n≤－1 时，x(n)不存在。这种信号是最常见 的信号。 反因果信号或叫左边信号只有当 n≤－1 时，x(n)存在，而当 n≥0，x(n)不存在。混合信号或双边 信号既包含左边信号又包含右边信号。 时间起点，n=0 的设置完全是一种人为约定。一般说来，我们将时间起点设置为信号发生器合上 开关或我们开始处理的某个时间。因此，相对于某个给定的时间起点而言的双边信号，无非是我们开始 处理之前已经存在的信号。 LTI 系统也可以根据其冲激响应 h(n)是否是因果、反因果或双边二可以划分为因果系统、反因果 系统或混合系统。双边的（混合的）的 LTI 系统的冲激响应 h(n)，n 的取值范围为－∞<n<∞,其 I/O 方 程为： ∑ ∞ =−∞ = − m y(n） h(m)x(n m) 这种系统不可能实时实现，因为上式可以展开为： y(n) =L+ h−2 x(n + 2) + h−1 x(n +1) + h0 x(n) + h1 x(n −1) + h2 x(n − 2) +L
Introduction to Signal Processing 13 换句话说，为了计算当前的输出y(n,我们必须知道未来的输入，·，x(叶2)，x(+1),而这些未来 的输入是无法得到的。 反因果系统和双边系统与直觉相反的，是违反因果规律的。比方说，双边系统或反因果系统对于 n=0时刻的单位冲激信号8(n)的响应h(n),如果h(-1)≠0，这就意味着，系统己经在n=-1时刻产生一 个输出，或者说在=0时刻施加单位冲激信号之前就已经有了输出。 但是DSP中又经常遇到或要用到这样一种双边系统或反因果系统。比方说FIR smoothing(平滑) 滤波器、过抽样和逆滤波设计中用到的FIR插值滤波器。 平滑滤波和插值滤波属于一种仅包含有限时间长度反因果的双边系统，或者说其反因果部分的延 时时间长度有限，-D≤n≤-l。这种滤波器如下图所示。 h(n) hp=h(n-D) -D 0 有限反因果系统 调整后的因果系统 这种有限时长的反因果滤波器的/O方程可以表达为： yn)=∑hm)x(n-m) (3.5.2) m=-D 如果将这种系统的延时D,就成为一种因果系统。此时其冲激响应为： hp=h(n-D) 用hp代替h(n),I/O方程可以表达为： yp(n)= ∑ho(m)xn-m） (3.5.3) m= 这种滤波器是可以实时实现的。很容易看出，输出被往右延时时间D而变为： yp(n)=y(n-D) 例3.5.1设有一个五拍(5-tap)的平滑滤波器滤波器的系数为h(n)=1/5(-2≤n≤2)。I/0卷积方程为： y(n)= mrn-m=左0n-m m=-2 5m-2 写n+2)+xn+1)+m)）+x(n-)+x0n-2引 因为是用当前抽样值前后的几个抽样的平均值代替当前时刻的抽样，所以称之为平滑器或平均器， 从一个抽样到下一个抽样之间的波动变得平缓些。其反因果部分为2，通过延时两个时间单位可以变为
Introduction to Signal Processing 13 换句话说，为了计算当前的输出 y(n),我们必须知道未来的输入，…,x(n+2)，x(n+1)，而这些未来 的输入是无法得到的。 反因果系统和双边系统与直觉相反的，是违反因果规律的。比方说，双边系统或反因果系统对于 n=0 时刻的单位冲激信号δ(n)的响应 h(n)，如果 h(-1)≠0，这就意味着，系统已经在 n=-1 时刻产生一 个输出，或者说在 n=0 时刻施加单位冲激信号之前就已经有了输出。 但是 DSP 中又经常遇到或要用到这样一种双边系统或反因果系统。比方说 FIR smoothing(平滑) 滤波器、过抽样和逆滤波设计中用到的 FIR 插值滤波器。 平滑滤波和插值滤波属于一种仅包含有限时间长度反因果的双边系统，或者说其反因果部分的延 时时间长度有限，-D≤n≤-1。这种滤波器如下图所示。 h(n) hD=h(n-D) -D 0 n 0 n 有限反因果系统 调整后的因果系统 这种有限时长的反因果滤波器的 I/O 方程可以表达为： ∑ ∞ =− = − m D y(n） h(m)x(n m) (3.5.2) 如果将这种系统的延时 D，就成为一种因果系统。此时其冲激响应为： hD=h(n-D) 用 hD代替 h(n)，I/O 方程可以表达为： ∑ ∞ = = − 0 ( ( ) ( ) m yD n） hD m x n m (3.5.3) 这种滤波器是可以实时实现的。很容易看出，输出被往右延时时间 D 而变为： yD(n)=y(n-D) [ ( 2) ( 1) ( ) ( 1) ( 2)] 5 1 ( ) 5 1 ( ( ) ( ) 2 2 2 2 = + + + + + − + − = ∑ − = ∑ − =− =− x n x n x n x n x n y n h m x n m x n m m m ） 例 3.5.1 设有一个五拍(5-tap)的平滑滤波器，滤波器的系数为 h(n)=1/5(-2≤n≤2)。I/O 卷积方程为： 因为是用当前抽样值前后的几个抽样的平均值代替当前时刻的抽样，所以称之为平滑器或平均器， 从一个抽样到下一个抽样之间的波动变得平缓些。其反因果部分为 2，通过延时两个时间单位可以变为
第三章离散时间系统 14 因果系统： 2(n)=亏xm+n-)+n-2)+n-3)+xm-4切 当实时处理问题得到解决后（如分批处理方法--一第四章），要处理的输入数据早已收集并分批 存储在存储器或磁带这类介质上，我们就可以直接引用3.5.2式，这也是DSP比模拟信号处理优越的 一点。这种处理方法的一个例子是静态图像的处理，图像的像素信息早已汇聚在样本当中。 LTI系统除了依据其因果属性来划分以外，还可以根据其稳定性来划分。一个LTI系统，当·士 ∞时，h(n)趋近于零的速度足够快，系统的输出y(n)不发散，我们就说该系统是稳定的。或者说对于有 界输入，x(n)≤A,，系统的输出为有界，y()≤B。简而言之，如果有界输入产生有界输出，则系 统是稳定的。 可以证明，LTI系统有界输入产生有界输出的充分必要条件是其冲激响应可以绝对求和： ocn<o 稳定性条件 例3.5.2下列四个冲激响应所表示的分别是： (1) h(n）=(0.5)"u(n- 一稳定、因果系统 (2) h(n)=-(0.5)"(-n-1)- 非稳定、反因果系统 (3) hn)=-2"u(n)- 非稳定、因果系统 (4) hn)=-2"u(-n-1)- 一稳定、反因果系统 (1)、(3)情况，单位阶跃序列u(n)使得h(n)只有n≥0时取非零值，(2)、(4)情况，单位阶跃序列 的翻褶u(-n-1)(注释：（音zhe)衣服摺叠而形成的印痕：百~裙。泛指摺皱重复的部分：~子。~皱） 使得h(n)只有在n≤-1时不为零，其余各点全部为零。所以(1)、(3)为因果系统，(2)、(4)为反因果系统。 n→∞时，(1)趋近于零而收敛，是稳定系统。 (2)发散，这是因为n只能取负值，所以零n=-n,则： hm）=-(0.5)”-n-1)=-0.5u-n-=-2u-n-1) 随n的增加指数增加。 (3)也是随n增加指数增加，所以也是不稳定系统。 (4)当n→-∞时有： hm)）=-2”u(-n-1)=-2mu(-n-1)=-0.5)u(-n-1) 收敛，故此为稳定系统。 也可以用(3.5.4)来判断是否收敛。利用几何级数公式： <1
第三章 离散时间系统 14 因果系统： [ ( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)] 5 1 ( y2 n）= x n + x n − + x n − + x n − + x n − 当实时处理问题得到解决后（如分批处理方法-----第四章），要处理的输入数据早已收集并分批 存储在存储器或磁带这类介质上，我们就可以直接引用 3.5.2 式，这也是 DSP 比模拟信号处理优越的 一点。这种处理方法的一个例子是静态图像的处理，图像的像素信息早已汇聚在样本当中。 LTI 系统除了依据其因果属性来划分以外，还可以根据其稳定性来划分。一个 LTI 系统，当 n→± ∞时，h(n)趋近于零的速度足够快，系统的输出 y(n)不发散，我们就说该系统是稳定的。或者说对于有 界输入， x(n) ≤ A ，系统的输出为有界， y(n) ≤ B 。简而言之，如果有界输入产生有界输出，则系 统是稳定的。 可以证明，LTI 系统有界输入产生有界输出的充分必要条件是其冲激响应可以绝对求和： ∑ ∞ =−∞ < ∞ n h(n) 稳定性条件 例 3.5.2 下列四个冲激响应所表示的分别是： (1) h(n) (0.5) u(n) ————稳定、因果系统 n = (2) h(n) = −(0.5) u(−n −1) ————非稳定、反因果系统 n (3) h(n) 2 u(n) ————非稳定、因果系统 n = − (4) h(n) = −2 u(−n −1) ————稳定、反因果系统 n (1)、（3）情况,单位阶跃序列 u(n)使得 h(n)只有 n≥0 时取非零值，(2)、(4) 情况，单位阶跃序列 的翻褶 u(-n-1)(注释：(音 zhe)衣服摺叠而形成的印痕：百～裙。泛指摺皱重复的部分：～子。～皱) 使得 h(n)只有在 n≤-1 时不为零，其余各点全部为零。所以(1)、(3)为因果系统，(2)、(4)为反因果系统。 n→∞时，(1)趋近于零而收敛，是稳定系统。 (2)发散，这是因为 n 只能取负值，所以零 n = − n ，则： ( ) = −(0.5) (− −1) = −(0.5) (− −1) = −2 (− −1) − h n u n u n u n n n n 随 n 的增加指数增加。 (3)也是随 n 增加指数增加，所以也是不稳定系统。 (4)当 n→-∞时有： ( ) = −2 (− −1) = −2 (− −1) = −(0.5) (− −1) − h n u n u n u n n n n 收敛，故此为稳定系统。 也可以用(3.5.4)来判断是否收敛。利用几何级数公式： ∑ ∑ ∞ = ∞ = < − = − = 0 1 1 1 1 m m m m x x x x x x １ 和
Introduction to Signal Processing 15 我们有： (1)2m=20.5=, =0 1-05 (2) ∑hn=-2(0.5y=22m=o 三一 m=1 (3) 2h(m=22”=o 刀=0 (4) hm=22”=20,5m=,05 1-0.5< 第五章中我们将看到，(1)、(2)的传递函数相同，H()= -0.52·(2)(④有相同的传递函数 1 H()= 一2。仅凭传递函数无法判断是哪一个系统。 1 在硬件实现和软件实现一个LTI系统时，稳定性时绝对必要的。因为稳定性可以保证计算/O方 程的卷积求和运算，或者是计算等效差分方程不会越过某个限定的界限。硬件实现上，不稳定则会很快 使得寄存器饱和溢出。软件实现上，不稳定性会超越大多数计算机的数值范围，使得计算得到的数据毫 无意义。 逻辑上说，稳定性于因果性是相互独立的，但并非总是相互兼容的。也就是说，不可能同时满足 稳定性和因果性，但是在大多数情况下，我们宁可舍弃因果性而保证稳定性。 如果一个稳定系统的反因果部分只有有限时间长度，如上所述，我们可以通过延时使其成为因果 系统。若反因果系统的反因果部分时无限延时的，那么，h()只能采用下述方法来近似。因为h()是稳 定的，对于很大的负数n,h(n)趋近与零。因此，我们可以选择一个足够大的负数，n=-D,对n<-D剪 去h(n)的尾部。也就是说：用剪去尾部的h(n来近似代替h(n)。 h(n)=5 [h(n) n≥-D 0 n<-D 剪去尾部以后的冲激响应其反因果部分是有限时间长度的，延时D后使其变成为因果系统。此时 系统的冲激响应为： hp(n)=h(n-D) 选择适当的D可以时近似误差足够小。为了证明这一点，设()为近似系统（剪尾后的系统） 方(m对于有界输入)≤A的输出。而y为真实系统对于相同有界输入的输出，可以证明，对任意 n,二者的误差： D-1 bn)-n≤A∑h(m)l 由于上式的求和仅仅为3.5.4的一部分，肯定是有限的，且随D的增加而趋于零。例3.5.2中
Introduction to Signal Processing 15 我们有： （1） ∑ ∑ ∞ = ∞ =−∞ < ∞ − = = 0 1 0.5 1 ( ) (0.5) n n n h n （2） ∑ ∑ ∑ −∞ =− ∞ = ∞ =−∞ = = = ∞ 1 1 ( ) (0.5) 2 n m n m n h n （3） ∑ ∑ ∞ = ∞ =−∞ = = ∞ 0 ( ) 2 n n n h n （4） ∑ ∑ ∑ −∞ =− ∞ = ∞ =−∞ < ∞ − = = = 1 1 1 0.5 0.5 ( ) 2 (0.5) n m n m n h n 第五章中我们将看到，(1)、(2)的传递函数相同， 1 1 0.5 1 ( ) − − = z H z 。(2)、(4)有相同的传递函数 1 1 2 1 ( ) − − = z H z 。仅凭传递函数无法判断是哪一个系统。 在硬件实现和软件实现一个 LTI 系统时，稳定性时绝对必要的。因为稳定性可以保证计算 I/O 方 程的卷积求和运算，或者是计算等效差分方程不会越过某个限定的界限。硬件实现上，不稳定则会很快 使得寄存器饱和溢出。软件实现上，不稳定性会超越大多数计算机的数值范围，使得计算得到的数据毫 无意义。 逻辑上说，稳定性于因果性是相互独立的，但并非总是相互兼容的。也就是说，不可能同时满足 稳定性和因果性，但是在大多数情况下，我们宁可舍弃因果性而保证稳定性。 如果一个稳定系统的反因果部分只有有限时间长度，如上所述，我们可以通过延时使其成为因果 系统。若反因果系统的反因果部分时无限延时的，那么，h(n)只能采用下述方法来近似。因为 h(n)是稳 定的，对于很大的负数 n，h(n)趋近与零。因此，我们可以选择一个足够大的负数，n=-D，对 n<-D 剪 去 h(n)的尾部。也就是说：用剪去尾部的 ( ) ~ h n 来近似代替 h(n)。 < − ≥ − = n D h n n D h n 0 ( ) ( ) ~ 剪去尾部以后的冲激响应其反因果部分是有限时间长度的，延时 D 后使其变成为因果系统。此时 系统的冲激响应为： ( ) ~ ( ) ~ hD n = h n − D 选择适当的 D 可以时近似误差足够小。为了证明这一点，设 ( ) ~y n 为近似系统(剪尾后的系统) ( ) ~ h n 对于有界输入 x(n) ≤ A 的输出。而 y(n)为真实系统对于相同有界输入的输出，可以证明，对任意 n，二者的误差： ∑ − − =−∞ − ≤ 1 ( ) ( ) ~ ( ) D m y n y n A h m 由于上式的求和仅仅为 3.5.4 的一部分，肯定是有限的，且随 D 的增加而趋于零。例 3.5.2 中